【摘 要】
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随着经典通信技术的不断发展与应用,有限域上经典纠错码理论日臻完善。众所周知,经典纠错码是传统通信的重要保障。类似地,量子纠错码是实现可靠量子计算和量子通信的必要前提。量子纠错码与经典纠错码既有本质的区别,又有着密不可分的联系。随着有限域上量子纠错码的深入研究,量子同步码和纠缠辅助量子码也备受关注。本文首先研究了有限域上LCD（Linear complementary dual）码的等价性、存在性和
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随着经典通信技术的不断发展与应用,有限域上经典纠错码理论日臻完善。众所周知,经典纠错码是传统通信的重要保障。类似地,量子纠错码是实现可靠量子计算和量子通信的必要前提。量子纠错码与经典纠错码既有本质的区别,又有着密不可分的联系。随着有限域上量子纠错码的深入研究,量子同步码和纠缠辅助量子码也备受关注。本文首先研究了有限域上LCD（Linear complementary dual）码的等价性、存在性和计数等;其次研究了有限域上一类循环码;然后构造了一系列参数达到码表的对偶包含循环码,并利用它们构造了大量新的量子稳定子码和量子同步码;最后构造了三类常循环MDS（Maximum distance separable）码,进而构造了三类纠缠辅助量子MDS码。具体内容如下:（1）证明了有限域（GF（2）,GF（3）和GF（4））上LCD码与非LCD码是不等价的。基于线性码的Griesmer界,给出有限域上给定维数和码长的LCD码的界,进而证明了达到该界的LCD码的存在性,并得到了等价意义下最优LCD码的计数。在有限域GF（3）和GF（4）上,在给定码长和维数时,确定了 LCD码的极小距离的最大值。（2）研究了有限域GF（q）上码长为n=2pe的循环码,其中p是一个奇素数,e是一个正整数。通过对模n的q-分圆陪集进行分类,得到了循环码的相关计数;通过研究其对偶码的相关性质,确定了循环码与其对偶码交的维数,且在给定维数时,得到了该类循环码的计数。此外,定义了一类新的二阶广义分圆类,构造了一些长为n=2pe的最优循环码。（3）通过分析r阶分圆类的性质,得到了大量的最优的或者几乎最优的对偶包含循环码,其码长为素数且满足n≡r+1（mod2r）,进而构造了一些新的量子稳定子码和新的量子同步码。因为循环码一般是最优的或者几乎最优的,构造的量子同步码一般具有很好的纠错能力。（4）通过研究常循环码的定义集,构造了三类常循环MDS码。再对定义集进行合理分割,确定纠缠态c的个数,进而构造了三类纠缠辅助量子MDS码。与已知的纠缠辅助量子码相比,得到的纠缠辅助量子MDS码具有更灵活的参数。
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