【摘 要】
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分数阶扩散方程及其反问题在许多科学与工程领域具有广泛的应用前景,因此对带有分数阶的扩散方程不适定问题的研究具有数学理论研究意义和科学意义.本文主要考虑时间t上带有Caputo分数阶导数的扩散方程反问题中的两类不适定问题,即分别研究时间分数阶扩散方程的源项反演问题及初值反演问题.第一章介绍了分数阶扩散方程反问题的研究意义和现状、本文的主要研究内容与创新点.第二章介绍了分数阶微积分的相关定义和数值解正
【基金项目】
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国家自然科学基金（Nos.11861007,11961002）； 江西省主要学科学术,技术带头人资助计划（20172BCB22019）；
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分数阶扩散方程及其反问题在许多科学与工程领域具有广泛的应用前景,因此对带有分数阶的扩散方程不适定问题的研究具有数学理论研究意义和科学意义.本文主要考虑时间t上带有Caputo分数阶导数的扩散方程反问题中的两类不适定问题,即分别研究时间分数阶扩散方程的源项反演问题及初值反演问题.第一章介绍了分数阶扩散方程反问题的研究意义和现状、本文的主要研究内容与创新点.第二章介绍了分数阶微积分的相关定义和数值解正问题的一种有限差分方法.第三章在有界域中考虑时间分数阶扩散方程源项反演问题.首先,分析了源项反演问题的不适定性和条件稳定性.然后,针对带噪声的测量数据构造了一种指数阶正则化方法来重建源项,证明了先验选取正则化参数和后验选取正则化参数策略下正则化解的收敛率.最后,给出了若干数值算例,计算结果表明本文提出的算法是有效的.第四章利用指数阶正则化方法考虑时间分数阶扩散方程初值反演问题.类似于第三章,分析了初值反演问题的不适定性和条件稳定性.构造了指数阶正则化方法来重建初始分布,并证明了先验选取正则化参数和后验选取正则化参数策略下正则化解的收敛率.最后,通过数值模拟方法来验证所提出的算法是有效的.第五章为上述研究主题确定之前开展的一部分研究工作,即考虑非线性方程求根问题.从一类特殊的积分出发获得了非线性方程求根的方法,所得方法推广了已有结果.将所得方法与变形的牛顿迭代法相结合,获得了非线性方程求根的实用的预测-校正格式,并证明了当β=2~1时格式至少具有局部平方收敛.第六章则是对全文的总结及对未来的展望.
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