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随着金融衍生品市场的发展以及数理金融理论研究的深入,相关期权产品及其期权定价理论日益复杂。例如:芝加哥期权交易所(CBOE)在2004年专门成立期货交易所CFE(CBOE Future Exchange)并开始交易S&P500(SPX)波动率指数VIX的期货,2006年又推出了 VIX期权。之后的近20年里波动率已经被交易员、投资者和基金经理广泛接受为一种资产类型,并用于投资、分散和对冲资产组合中的集中度和尾部风险。波动率衍生品交易量已经取得了稳步的提升,受到了绝大多数投资者的亲睐,这直接促使波动率期权的定价理论也随之蓬勃发展,定价的方法也不断推层出新。本文就基于之前模型,再推广和发展用随机波动率模型定价VIX衍生品。早期传统的期权定价模型来自于1997年诺贝尔经济学奖获得者罗伯特·默顿和迈伦·斯克尔斯创立和发展的Black-Scholes模型(简称:BS模型)。鉴于该模型的相对简单并且高效,现今任然占据主流地位,甚至现在学术界比较前沿的模型都是基于此模型建立和延伸的。用随机波动率模型定价VIX衍生品的方法可大致分为两种:一致性建模和独立性建模。对VIX采用一致性建模是以S&P500指数和它的随机波动率建模为起点,并且根据这个动态随机偏微分方程和VIX的定义,推导出VIX指数的表达式,从而可以基于这个表达式对VIX衍生品进行定价。另外一种受到广泛关注的方法是独立性建模方法,它是指直接指定随机偏微分方程就是VIX指数动态过程,再基于这个动态过程对VIX期权和VIX期货进行定价。本文只采用一致性建模方法,独立性建模只是顺带提及。因为考虑到VIX始终是S&P500的波动率指数,必须要考虑到S&P500和VIX之间的内在联系,而采用回避S&P500的独立性建模就显得不那么实际。这篇文章所做的工作主要有:1.首先利用李对称理论在偏微分方程上的运用,推广一个已知的贝塞尔过程的结论。我们构造了一个新的4/2随机波动率框架,把著名的Heston随机波动率和3/2随机波动率作为仅仅是4/2随机波动率下参数形式。Heston的瞬时方差是一个均值回复的平方根贝塞尔过程(也叫做CIR过程或者简称平方根过程,因为其扩展项的指数是一个平方根)。而CIR过程的倒数过程依旧是一个均值回复过程,由此发展出3/2随机波动率模型,因该过程的扩展项指数是3/2。所以我们的模型是考虑两个过程的线性叠加,这就解释了为什么我们的波动率取名叫4/2(=1/2+3/2)随机波动率。在此波动率上,我们构造了一个全新的拥有两个经典模型优点的4/2随机波动率加跳模型,记为4/2SVJ模型。为了确保我们的模型是合理定义的,我们要证明两点。第一我们先证明在此模型下资产的贴现过程是一个鞅而不仅仅是局部鞅。第二我们还需要证明该随机偏微分方程不会随着时间而爆破或者到达零。通过将实际方差过程定义为对数资产的二次变差过程,我们推导出资产和实际方差的傅立叶-拉普拉斯变换(Fourier-Laplace Transform)的闭形式解(Closed-form Solutions)。事实上只要得到该闭形式解,无论是利用快速傅立叶变换算法(FastFourier Transform Algorithm,简称:FFT算法)还是傅立叶COS算法都能很快计算出关于该标的资产衍生品和方差衍生品,例如:欧式期权、美式期权和方差互换。2.使用S&P500数据,利用Hansen在1982年提出的广义矩估计法对各个模型进行一次参数估计,并且通过假设检验考察模型是否被过度限制。我们发现在不同时期,模型中用于模拟随机波动率Vt的指数参数并不是一层不变的1/2或者3/2。固定随机波动率的指数在1/2和3/2都被认为是模型被过度限制。由此在推广贝塞尔过程的结论下,我们推导了另外一种全新的模型,自由随机波动率模型,记为FSV模型。该模型打破以往常规,把随机波动率指数数值设置在一个固定区间上的自由变量,让数据指向这个指数到一个真实的具体值。而这个区间的宽度下,取特别的数值又将著名的Heston模型和3/2模型作为FSV模型下的特例,并且我们还证明在此宽度下,保证FSV模型中贴现的资产过程依旧是一个鞅且不会爆破。最后在此基础上构造出了只带下跳的和带有不对称跳的自由随机波动率模型,分别记为FSV-DJ模型和FSV-AJ模型。在这三种模型下我们给出了 VIX期权和期货的定价公式。3.为了使资产模型更好的与实际收益分布相符,许多纯跳勒维过程被人为的构建出来,这些纯跳过程可在有限时间内产生无限(高频)的跳跃,即拥有无限活跃度(Infinite Activity)。我们通过时变的构造方法将4/2随机波动率嵌入指数勒维过程来模拟随机波动率,并将新模型记为NTS-4/2SV模型。为了反应杠杆效应,我们采取了 Heston模型的方法,即在NTS-4/2SV模型中添加与4/2随机波动率相关的扩散项,实现了资产价格与波动率的相关性,这个新模型我们记为NTS-4/2SVR模型。事实上,并不局限于4/2随机波动率类的模型环境,1/2和3/2随机波动率也可以嵌入指数勒维过程来模拟资产随机波动率结构,并且带上杠杆效应。我们记为NTSSV与其带有杠杆效应的NTSSVR,和NTS-3/2SV与其带有杠杆效应的NTS-3/2SVR。最后我们不仅推导了各种模型下的期权期货定价公式,还推导了在连续对冲交易条件下,方差最优对冲策略的数值解法。