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在非线性的 liquidus 和先令的库上，为大批， undercooled 融化的树突生长的一个扩大模型在接口并且在体积液体在本地非平衡条件下面被开发。以阶段图的热力学的计算，模型预言身体上是相对现实主义的，自从很少恰当的参数在模型预言被使用。采用三典型速度，即绝对溶质稳定性的批评速度( VC *)，最大的尖端半径( VRm )的速度，和体积液体散开( VD )的速度，一个量的协议在 undercooled Ni-0.7%B 和 Ni-1%Zr (臼齿的部分)在模型预言和试验性的结果之间被获得合金，和