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摘 要： 研究了下游竞争环境下同时进行流程创新投资和产品创新投资的企业最优决策问题。上下游厂商主要采取收益共享契约，并与一体化和分散化的合作契约进行比较分析。研究发现，与上下游一体化和分散化的合作契约相比，收益共享契约下的下游竞争强度提高会使企业流程创新和产品创新投资提高。但只有当下游竞争强度较高时，产业链才会随下游竞争程度提高而同时增加两种创新投资。当下游竞争强度较低时，下游竞争强度提高会导致两种创新投资减少。对于产业链而言，选择一体化的合作契约可实现最高的创新投资和产业链绩效，选择收益共享契约次之。对于下游厂商而言，如果没有一体化的倾向，选择收益共享契约可以获得在产业链中比分散化更高的绩效分配。
关键词： 下游竞争;流程创新;产品创新;收益共享;产业链绩效
中图分类号： F 270.5
文献标志码： A
The Research of Process Innovation and Product Innovationin the Downstream Competitive Environment
ZHANG Kun PAN Xiaojun
（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200030， China）
Abstract： This paper focuses on the optimal decision problem of process innovation investment and product innovation investment in the downstream competitive environment. The industrial chain adapts the revenue-sharing contract compared with the integration and decentralization contract. It shows that， increasing downstream competition intensity under the revenue sharing contract will promote the investment of enterprise process innovation and product innovation. However， only when the downstream competition intensity is high， the industrial chain will promote two kinds of innovation investment with the increase of downstream competition intensity. If the downstream competition intensity is low， the situation is on the opposite. For the industrial chain， the choice of integrated cooperation contract can achieve the highest innovation investment and supply chain performance， followed by the revenue sharing contract. For the retailers in the downstream， if there is no forward integration tendency， choosing revenue sharing contract can obtain higher performance distribution in the industrial chain than decentralization.
Key words： downstream competition; process innovation; product innovation; revenue share; industrial chain performance
1 研究假設
本文基于一个上游厂商对应两个下游厂商构成的垂直产业链模型，分别采取上下游一体化、上下游分散化以及收益共享的纵向合作创新机制，探讨下游竞争对于流程创新和产品创新的影响。本文的上下游关系既包括供应商与制造商，也包括制造商与零售商。下游厂商在本文中占据主导地位，决定产品的订货量。此外，本文中的流程创新与产品创新投资同时进行。
假设一个上游垄断厂商承担单位生产成本c∈（0，a），并向两个寡头下游厂商分别按照批发价w1和w2出售产品。之后两个下游厂商进行古诺价格竞争，按照订单数量q1和q2决定各自的零售价p1和p2，再将产品按照零售价出售给消费者。假设a为最高可行零售价格且a>c，ε表示基准商品。s表示产品创新投资，e表示流程创新投资，θ表示单位商品可以提高的质量水平;且s>0，e>0，θ>0。γ表示两种产品的替代程度，0<γ<1，如果γ越大则产品替代性越强，下游竞争程度越大。将产品创新对于消费者效用的影响进行线性化处理，消费者的效用函数为：
U（qi，qj）=a∑iqi-12∑iq2i-γ∑i，jqiqj+θs∑iqi+ε（1）
可得到零售商i的逆需求函数：
pi=a-qi-γqj+θs（2）
当单位流程创新投资为e时，流程创新投资系数为α（α>0）时，流程创新的投资额为αe2，经过流程创新之后的单位生产成本为c-e。当单位产品创新投资为s，产品创新投资系数为β（β>0）时，产品创新的投资额为βs2。因此进行流程创新和产品创新投资之后，上游厂商的生产成本函数为： C=（c-e）q1+（c-e）q2+αe2+βs2（3）
本文做出以下假设：①上游垄断厂商与下游厂商i和j之间的纵向研发合作及价格合同对彼此保密，不存在技术的横向溢出;②上游厂商的生产量恰好等于下游厂商的订货量，因此上游厂商不存在库存;③本文主要研究对象为流程创新和产品创新，因此假定产业链的其他成本为零，如上下游厂商的运输成本、人力成本和库存成本;④本文的垂直产业链绩效主要指产出绩效，即收益减去成本之后的利润。
在以下模型中，π代表利润，上标I、D和R分别代表上下游一体化、上下游分散化和上下游收益共享三种契约模式;下标M代表上游厂商，R1和R2代表下游厂商1和下游厂商2，SC代表垄断上游厂商和两个寡头下游厂商作为一个整体的垂直产业链。
2 模型分析
2.1 下游竞争环境下采取分散化契约的决策分析
上下游分散化指仅由上游厂商进行流程创新和产品创新投资，下游厂商不与上游厂商分担创新投资成本。 在下游厂商占主导地位的产业链中，首先根据上游厂商的批发价w1和w2，下游厂商在经过古诺竞争之后，各自决定其产品的零售价p1和p1与订货量q1和q2，以最大化其绩效，即
maxp1，p2πR1=（p1-w1）q1（4）
maxp1，p2πR2=（p2-w2）q2（5）
之后，上游厂商根据订货量，决定产品的批发价w1和w2，以及单位流程创新投资e和单位产品创新投资s以最大化其绩效，即
maxp1，p2πM=（w1-c+e）q1+（w2-c+e）q2-αe2-βs2（6）
引理1：上下游分散化且下游竞争的情况下，最优流程创新和产品创新投资为
SD=（a-c）αθ2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2
eD=（a-c）β2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2（7）
最优产业链绩效为：
πDSC=αβ（a-c）2[2αβ（γ+1）（-2γ+3）-β-αθ2][2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2（8）
證明：下游厂商根据对方的逆需求函数，决定订货量，联立求解
p1=a+θs-q1-γq2
p2=a+θs-q2-γq2（9）
可得到下游厂商订货量：
q1=a-p1-αγ+p2γ+sθ-sγθ1-γ2
q2=a-p2-αγ+p1γ+sθ-sγθ1-γ2（10）
下游厂商进行古诺价格竞争，得到零售价，将（10）代入（4）和（5），再联立求解πR1p1=0和πR2p2=0，可得到最优零售价
pD1=2w1+w2γ-α（γ2+γ-2）+2sθ-sγθ-sγ2θ4-γ2
pD2=2w2+w1γ-α（γ2+γ-2）+2sθ-sγθ-sγ2θ4-γ2（11）
之后上游厂商根据下游厂商的最优订货量和零售价格，确定批发价和流程创新与产品创新投资，联立求解πMw1=0和πMw2=0，可得到：
wD1=12（a+c-e+sθ），wD2=12（a+c-e+sθ）（12）
上游厂商负责承担创新投资成本，将（10）和（12）代入（6），联立求解πMe=0和πMs=0，得到式（7）流程创新投资和产品创新投资的最优解，此时πDM的Hessian矩阵H1（e，s）如下：
H1（e，s）=2πDMe22πDMes2πDMse2πDMs2=2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（γ-2） θ（γ+1）（2-γ）θ（γ+1）（2-γ） 2β（γ+1）（2-γ）-θ2（γ+1）（γ-2）（13）
一阶顺序主子式
D1=2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（2-γ）
二阶顺序主子式
D2=4αβ（γ+1）（2-γ）-2αθ2-2β（γ+1）（2-γ）
当2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（γ-2）<0
且4αβ（γ+1）（2-γ）-2αθ2-2β（γ+1）（2-γ）>0
即（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α时，πDM的Hessian矩阵H1（e，s）是负定矩阵，从而eD*和sD*是该绩效函数的唯一最优解。将最优流程创新投资与产品创新投资eD*和sD*代入式（9）～（12），可得到上游厂商的最优批发价、下游厂商的最优零售价与订货量 （具体结果可见表1），易得上下游厂商的最优绩效：
πD*R1=πD*R2=αβ（a-c）2（1-γ2）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
πD*M=αβ（a-c）22αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2（14）
将上下游厂商的最优绩效加总可得到产业链最优绩效（8），证毕。
推论1：当下游竞争程度较低时，即γ∈0，12时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效随下游竞争程度γ提高而减少;当下游竞争程度较高时，即γ∈12，1时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效πDM随下游竞争程度γ提高而增加。
证明：
sDγ=2（a-c）α2βθ（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
eDγ=2（a-c）αβ2（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
πDMγ=2（a-c）2α2β2（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
当γ∈0，12时，sDγ、eDγ和πDMγ均小于0;当γ∈12，1时，sDγ、eDγ和πDMγ均大于0。证毕。
2.2 下游竞争环境下采取一体化契约的决策分析 本文的上下游一体化是指下游厂商的后向一体化，如华为和荣耀作为手机制造商，向上游拓展芯片的生产。此时，产业链上下游将作为一个整体，共同决策产品的零售价和流程创新与产品创新投资。因此假设批发价w1和w2为0，产品直接以零售价p1和p2出售给消费者。整合后产业链的绩效函数为：
maxp1，p2πSC=（p1-c+e）q1+（p2-c+e）q2-αe2-βs2（15）
采用逆向递归法求解，可得到引理2。
引理2：上下游分散化且下游竞争的情况下，当下游竞争强度γ>θ22β+12α-1时，最优流程创新和产品创新投资为：
sI=（a-c）αθ2αβ（γ+1）-β-αθ2
eI=（a-c）β2αβ（γ+1）-β-αθ2（16）
最优产业链绩效为：
πISC=（a-c）2αβ2α（γ+1）-αθ2-β（17）
證明：将式（10）下游厂商订货量代入（15），再联立求解πISCp1=0与πISCp2=0，可以得到最优零售价：
pI*1=12（a+c-e+sθ），pI*2=12（a+c-e+sθ）（18）
将式（18）最优零售价代入式（15），再联立求解πISCeI=0和πISCsI=0，可得到最优流程创新和产品创新投资即式（16），此时πISC的Hessian矩阵H2（e，s）如下：
H2（e，s）=2πISCe22πISCes2πISCse2πISCs2=-2α+1γ+1 θγ+1θγ+1 -2βθ2γ+1（19）
一阶顺序主子式D1=1γ+1-2α，二阶顺序主子式D2=4αβ（1+γ）-2αθ2-2βγ+1，因此当1γ+1-2α<0且2αβ（1+γ）-αθ2-β>0时，即γ>θ22β+12α-1，此时的Hessian矩阵H2（e，s）是负定矩阵，从而eI*和sI*是该绩效函数的唯一解。将式（16）代入式（18）可得最优零售价，将最优零售价与最优创新投资代入式（15），可得最优产业链绩效即式（17）。上下游一体化和分散化情况下全部的均衡解见表1如下。
推论2：在上下游一体化的情况下，流程创新投资eI、产品创新投资sI以及产业链绩效πISC随下游竞争程度γ提高而减少。
证明：
sIγ =-（a-c）α2βθ[2αβ（γ+1）-β-αθ]2<0
eDγ =-2（a-c）α2β2[2αβ（γ+1）-β-αθ2]2<0
πDMγ =-2（a-c）2α2β2[2αβ（γ+1）-β-αθ2]2<0
流程创新投资eI、产品创新投资sI以及产业链绩效πISC在参数范围内单调递减。证毕。
推论3说明在上下游一体化的情况下，由于产业链绩效属于统一企业内部，下游竞争程度提高会导致垂直产业链的边际收益下降，厂商对流程创新和产品创新投资的积极性降低，整个产业链的绩效也随之下降。
2.3 上下游收益共享且下游竞争时的决策分析
上下游收益共享即下游厂商与上游厂商分享一定比例的产品销售收入，下游厂商以分享的收益来承担上游厂商的生产成本。上游厂商和下游厂商的绩效函数为：
maxp1，p2πRM=（w1-c+e）q1+（1+λ1）p1q1+（w2-c+e）q2+（1-λ2）p2q2-αe2-βs2（20）
maxp1，p2πRR1=（λ1p1-w1）q1，maxp1，p2πRR2=（λ2p2-w2）q2（21）
上下游的博弈方式主要有三种：下游厂商实现纳什均衡后决定收益共享系数、下游厂商合谋后决定收益共享系数与下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价决定收益共享系数。根据三种博弈方式求解（20）、（21），可得到引理3。
引理3：当λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），最优收益共享比例在下游厂商纳什均衡、下游厂商合谋与下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价三种情况下分别为：
λR1*=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ）（γ+1）2
λR2*2=2αβ（γ+1）-β-αθ24αβ（1-γ2）
λR3*3=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ2）（22）
最优流程创新和产品创新投资为：
sR*=（a-c）αθ2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2
eR*=（a-c）β2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2（23）
最优产业链绩效为：
πR*SC=（a-c）2αβ[4αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（1+γ）-β-αθ2][2αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（1+γ）-β-αθ2]2（24）
证明：①下游厂商实现纳什均衡后决定收益共享系数，即联立求解πRR1λ1=0与πRR2λ2=0，解出λ1与λ2。下游厂商进行古诺价格竞争，得到零售价，再联立求解πR1p1=0和πR2p2=0，可得最优零售价。上游厂商根据下游厂商的订货量和订货价格决定批发价、流程创新和产品创新投资，联立求解πMw1=0和πMw2=0以及πMe=0和πMs=0，可得到最优批发价和最优流程创新投资与产品创新投资：
eR=（a-c）β[2+（γ+1）（λ1+λ2）]4αβ（γ+1）（λ2+1）+4αβ（γ+1）λ1[1+（1-γ2）λ2]-（αθ2+β）[2+（γ+1）（λ1+λ2）]
sR=（a-c）αθ[2+（γ+1）（λ1+λ2）]4αβ（γ+1）（λ2+1）+4αβ（γ+1）λ1[1+（1-γ2）λ2]-（αθ2+β）[2+（γ+1）（λ1+λ2）]（25） πRM的Hessian矩阵H3（s，e）一阶顺序主子式
D1=γ（λ1+λ2）+λ1+λ2+2-4α（1+γ）[1+λ1+λ2+（1-γ2）λ1λ2]2（1+γ）[1+λ1+λ2+（1-γ2）λ1λ2]
二阶顺序主子式
D2=4αβ（1+γ）[1+λ2+λ1（1+λ2-γ2λ2）]-（αθ2+β）（2+λ1+γλ1+λ2+γλ2）（1+γ）[1+λ2+λ1+（1+λ2-γ2λ2）]
当D1<0且D2>0时，πRM的Hessian矩阵H3（s，e）是负定矩阵，从而eR和sR是该绩效函数的唯一解。
下游厂商各自根据批发价和创新投资，决定与上游厂商收益共享的比例λ1和λ2，联立求解πRR1λ1=0与πRR2λ2=0，可得到：
λ1=λ2=2αβ（γ+1）-αθ2-β2αβ（γ+1）2（1-γ）（26）
由于两个下游厂商的绩效函数（23）和（24）完全对称，因此
λ1=λ2=λ（27）
将（27）代入最优批发价、零售价及创新投资，再代入绩效函数（20）和（21），可得到最优上下游厂商绩效：
πRM=（a-c）2αβ2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2（28）
πRR1=πRR2=（ααβ-cαβ）2（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（γ+1）-β-αθ2]2（29）
②下游厂商合谋后决定收益共享系数，假设λ1=λ2=λ，此时πRR1=πRR2=πRR，求解πRRλ=0，解出λR2*2=2αβ（γ+1）-β-αθ24αβ（1-γ）。
③下游厂商合谋后再与上下游厂商讨价还价决定收益共享系数，假设λ1=λ2=λ，此时πRR1=πRR2=πRR。令k=πRR*πRM為讨价还价函数，求解kλ=0，解出λR3*3=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ2）。
上下游收益共享合作契约情况下的全部均衡解见表2如下。
推论3：收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高，当下游竞争强度γ超过一定范围时，收益共享比例λ大于1，由上游企业补贴下游企业研发。
证明：
λ1γ=4αβγ（γ+1）+（αθ2+β）（1-3γ）22（1-γ2）αβ（1-γ）（γ+1）22α（γ+1）-αθ2-β
λ2γ=αβ（γ+1）2-（αθ2+β）γ2αβ（1-γ2）2，
λ3γ=αβ（γ+1）2-（αθ2+β）γαβ（1-γ2）2（30）
当一体化、分散化与收益共享的合作契约下有均衡解时，即0<γ<1、γ>θ22β+12α-1且（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α时，λγ>0。因此在参数条件范围内，收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高。下游合谋时，当γ∈（4+9+42）-α4αβ，1，λ>1;下游合谋再与上游讨价还价时，当γ∈αβ（2β+αβ+2αθ2）-αβ2αβ，1，λ>1。
如果下游竞争强度越强，则产品间的差异越大，直接面向消费者的下游企业掌握更多的市场信息。下游企业在收益分配时具有更多的话语权，可以分配到更多的收益。当下游竞争强度较高时，则由下游企业来主导产业链内部资源的配置，由上游企业补贴下游企业一定比例的收益，因此收益分配比例λ大于1。
推论4：当下游竞争程度较低时，即γ∈0，12λ时，流程创新投资eR、产品创新投资sR以及上游厂商绩效πRM随下游竞争程度γ提高而减少; 当下游竞争程度较高时，即γ∈12λ，1时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效πDM随下游竞争程度γ提高而增加。
证明：采用与推论1类似的推导方法，推论5同理可证。推论1可看作λ=1的特殊情况。
推论1和推论5说明，在上下游分散化和收益共享情况下，当下游竞争强度γ没有超过12λ时，上游厂商缺乏进行流程创新和产品创新的动力;当下游竞争强度超过12λ后，市场竞争压力会促进上游厂商投入创新投资来提高自身的绩效。
因此，当下游竞争强度较高时，竞争强度提高会促进企业流程创新投资、产品创新投资和上游厂商绩效同时增加;而下游竞争强度较低时，竞争强度提高则会促进企业流程创新投资、产品创新投资和上游厂商绩效同时减少。
推论5：在下游竞争环境下，流程创新投资与产品创新投资战略互补。
证明：在产业链上下游分散化的情况下，分别求解πDMeD=0和πDMsD=0，用sD和eD互相表示对方，可得到：
sD=（a-c+eD）θ2β（2-γ）（γ+1）-θ2
eD=a-c+sDθ2β（2-γ）（γ+1）-θ2（31）
将sD对eD求导，并将eD对sD求导，得到二者对彼此求导的偏导数：
sDeD=θ2β（2-γ）（γ+1）-θ2
eDsD=θ2α（2-γ）（γ+1）-1（32）
根据H1（s，e）是负定矩阵的条件（2-γ）（γ+1）>θ22β+12α，所以（2-γ）（γ+1）>θ22β且（2-γ）（γ+1）>12α，因此sDeD>0且eDsD>0。
在产业链上下游一体化的情况下，分别求解πISCeI=0和πISCsI=0，用sI和eI互相表示对方，可得到：
sI=（a-c+eI）θ2β（1+γ）-θ2
eI=a-c+sIθ2α（1+γ）-1（33）
将sI对eI求导，并将eI对sI求导，得到二者对彼此求导的偏导数：
sIeI=θ2β（1+γ）-θ2
eIsI=θ2α（1+γ）-1（34） 根据H2（s，e）是负定矩阵的条件γ>θ22β+12α-1，所以γ>θ22β-1且γ>12α-1，因此sIeI>0且eIsI>0。同理可证收益共享情况下，sReR>0且eRsR>0。
因此在三种合作契约下，投入一种创新投资均可以促进另一种创新投资的提高，两种创新投资是互补关系。流程创新的正外部性导致生产成本减少，随着流程创新投资增加，边际生产成本递减，产业链绩效提高，导致产业链有动力去获得更多的消费者。而产品创新可以增加消费者效用，从而提高消费者支付意愿，所以企业也会重视提高产品创新投资，因此应该同时进行产品创新投资与流程创新投资。推论5说明当生产流程得到优化时，往往也伴随着产品性能的提升，所以可以通过提高流程创新投资的方式，促进产品创新投资的提高。
推论6：当下游竞争程度较高时，选择一体化的纵向合作契约可实现最高的创新投资以及产业链绩效，选择收益共享契约次之。
选择一体化纵向合作契约的下游竞争强度的范围为γ∈θ22β+12α-1，1;上下游企业没有一体化倾向，选择收益共享契约的下游竞争强度范围为γ∈0，θ22β+12α-1。
证明：比较上下游一体化与收益共享契约下的创新投资大小，将两种方式下的创新投资相减，可得到：
eI-eR=2（a-c）αβ2（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（1+γ）-2αβ（1+γ）（1-γ）λ]
sI-sR=2（a-c）α2βθ（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]（35）
因为一体化契约下有唯一均衡解的条件是γ>θ22β+12α-1且收益共享契约下有唯一均衡解的条件是λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），所以2αβ（γ+1）-αθ2-β>0且2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ>0，因此eI>eR且sI>sR，上下游一体化合作契约下的两种创新投资大于收益共享契约下的两种创新投资。
再比较收益共享契约与分散化下的创新投资大小，将这两种方式下的创新投资相减，因为上下游分散化契约下有唯一均衡解的条件是（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α且收益共享契约下有唯一均衡解的条件是λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），所以2αβ（2-γ）（γ+1）-αθ2-β>0且2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ>0，同理可得到：
eR-eD=2（a-c）αβ2（1-γ2）（1-λ）[2αβ（2-γ）（1+γ）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]>0
sR-sD=2（a-c）α2βθ（1-γ2）（1-λ）[2αβ（2-γ）（1+γ）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]>0（36）
所以eR>eD且sR>sD，收益共享契约下的两种创新投资大于上下游分散化契约下的两种创新投资。因此在参数范围内，eI>eR>eD和sI>sR>sD。
比较上下游一体化与收益共享契约下的垂直产业链绩效大小，以及上下游一体化与上下游分散化契约下的垂直产业链绩效大小，将两种方式下的产业链绩效相减;如果产业链上下游没有一体化倾向，比较收益共享契约与上下游分散化契约下的垂直产业链绩效大小，将两种方式下的产业链绩效相减，证明过程与创新投资类似，因此在参数范围内，πISC>πRSC>πDSC。证毕。
推论6说明当下游竞争强度较高时，上下游一体化可以提高市场信息沟通的效率，整合上下游的研发和渠道资源，集中资源去提高自身产品的质量和性能，从而提高流程创新和产品创新投资，进而提高产业链绩效。当下游竞争强度适中时，如果上下游的企业没有一体化的倾向，选择收益共享契约，可以提高下游企业参与研发的积极性，下游企业会为上游企业研发提供一手数据，从而提高流程创新和产品创新投资以及产业链绩效。
推论7：对于下游厂商而言，当与其他厂商竞争程度较高时，下游厂商选择收益共享契约可以在垂直产业链中有更高的绩效分配;当下游竞争程度较低时，则更适合选择分散化的合作契约。
证明：比较收益共享契约与上下游分散化契约下的下游厂商绩效占垂直产业链绩效的比例：
πRR1+πRR2πRSC-πDR1+πDR2πDSC=2αβ[2αβ（γ+1）-αθ2-β]（λ-1）（1-γ2）[4αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（γ+1）（3-2γ）-αθ2-β]（37）
由推论4可知，当下游竞争强度γ超过一定范围时，收益共享比例λ>1，此时πRR1+πRR2πRSC-πDR1+πDR2πDSC>0，下游厂商选择收益共享契约可获得在垂直产业链中更高的绩效分配。因此，当下游竞争强度较高时，下游厂商可获得来自上游厂商的绩效补贴，更适合选择收益共享契约来提高自身在垂直产业链中的绩效分配比例。
2.4 数值仿真模拟
本节通过数值仿真分析下游竞争强度γ对收益共享比例λ的影响，再分析下游竞争强度γ对流程创新投资e和产品创新投资s的影响，以及下游竞争强度γ对产业链绩效πSC的影响和对下游厂商绩效分配比例δ的影响，从而验证推论1～推论7。
根据能使均衡解成立的参数约束条件：γ>θ22β+12α-1，（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α，λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），取參数a=2，c=1，α=1.1，β=1，θ=0.95，即λ>-0.2073-2.2γ2.2-2.2γ2。 由图1可知，在参数约束条件范围内，收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高。而当下游竞争强度γ1>0.7247（下游厂商纳什均衡）、γ2>0.7577（下游厂商合谋）、γ3>0.5751（下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价）时，收益共享比例λ>1，验证了推论4。
由图2可知，在上下游一体化的合作契约下，流程创新投资和产品创新投资随着下游竞争强度的提高而下降，验证了推论3。在上下分散化和收益共享契约下，流程创新投资和产品创新投资在参数约束范围内先下降后上升，验证了推论1和推论5。
在一体化、分散化和收益共享三种合作契约下，上下游一体化的流程创新投资和产品创新投资始终最高。在下游竞争程度较低时，收益共享契约下的流程创新投资和产品创新投资高于分散化契约下的创新投资。而随着下游竞争强度的提高，产品替代性增强，当超过极小值点γ1=0.7247、γ2=0.7577、γ3=0.5751时，分散化契约下的流程创新投资和产品创新投资逐渐回升，并超过收益共享契约下的流程创新投资和产品创新投资，验证了推论6。
由图3可知，在一体化、分散化和收益共享三种合作契约下，上下游一体化的垂直产业链绩效始终最高。在上下游一体化的合作契约下，垂直产业链绩效随着下游竞争强度的提高而下降，验证了结论1。在上下游分散化和收益共享契约下，垂直产业链绩效在参数约束范围内先下降后上升。因此当下游竞争强度较低时，在收益共享契约下的垂直产业链绩效比在分散化契约下的垂直产业链绩效高。随着下游竞争强度的提高，在收益共享契约下的垂直产业链绩效低于在分散化契约下的垂直产业链绩效，验证推论6。
令δ1=πDR1+πDR2πDSC、δ2=πR′R1+πR′R2πRSC、δ3=πR″R1+πR″R2πR″SC，δ4=πRR1+πRR2πRSC。由图4可知，当γ3>0.5751时，δ4>δ1，下游厂商选择收益共享的契约以及下游合谋后再与上游厂商讨价还价的博弈方式，可以获得最高的产业链绩效分配。因此当下游竞争强度较高时，下游厂商更适合选择收益共享契约，验证了推论7。
3 结论与展望
本文在下游竞争的环境下，将流程创新投资和产品创新投资作为研究对象，讨论了上下游一体化、分散化和收益共享三种合作契约，并将收益共享分为了下游厂商纳什均衡、下游厂商合谋和下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价三种博弈方式，探究下游竞争对流程创新投资、产品创新投资、垂直产业链以及下游厂商选择与上游厂商合作契约与博弈方式的影响，得到的结论如下。
（1）与上下游一体化和分散化的合作契约相比，收益共享契约下的下游竞争强度提高会使企业流程创新和产品创新投资提高。但只有当下游竞争强度较高时，即超过门槛γ=12λ时，产业链才会随下游竞争程度提高而同时增加两种创新投资。当下游竞争强度较低时，下游竞争强度提高会导致两种创新投资减少。
（2）对于产业链而言，选择一体化的合作契约可实现最高的创新投资和产业链绩效，选择收益共享契约次之。
（3）对于下游厂商而言，如果没有一体化的倾向，选择收益共享契约可以获得在产业链中比分散化更高的绩效分配。
（4）在下游競争的环境下，流程创新投资与产品创新投资战略互补。产业链中的厂商提高一种创新投资会促进另一种创新投资的增加。
（5）当下游竞争强度较高时，下游企业在产业链资源配置中占主导地位，由上游企业补贴下游企业一定比例的收益。
此外，本文在研究中仍然存在一些局限问题，未来可进一步关注。首先，本文采用静态的方式研究流程创新和产品创新相对简单，未来可采用动态的分析方法;其次，本文为了抽象简化问题，仅仅讨论了一个垄断上游厂商与两个寡头下游厂商的关系，未来可关注多对多的上下游关系;最后，本文假设需求函数是关于流程创新投资的线性函数，未来可以采用更加一般的需求函数形式或者对流程创新投资的其他处理方式。
参考文献：
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[4] ROSENKRANZ S. Simultaneous choice of process and product innovation when consumers have a preference for product variety[J]. Journal of Economic Behavior & Organization， 2003， 50（2）： 183-201.
关键词： 下游竞争;流程创新;产品创新;收益共享;产业链绩效
中图分类号： F 270.5
文献标志码： A
The Research of Process Innovation and Product Innovationin the Downstream Competitive Environment
ZHANG Kun PAN Xiaojun
（Antai College of Economics and Management， Shanghai Jiao Tong University， Shanghai 200030， China）
Abstract： This paper focuses on the optimal decision problem of process innovation investment and product innovation investment in the downstream competitive environment. The industrial chain adapts the revenue-sharing contract compared with the integration and decentralization contract. It shows that， increasing downstream competition intensity under the revenue sharing contract will promote the investment of enterprise process innovation and product innovation. However， only when the downstream competition intensity is high， the industrial chain will promote two kinds of innovation investment with the increase of downstream competition intensity. If the downstream competition intensity is low， the situation is on the opposite. For the industrial chain， the choice of integrated cooperation contract can achieve the highest innovation investment and supply chain performance， followed by the revenue sharing contract. For the retailers in the downstream， if there is no forward integration tendency， choosing revenue sharing contract can obtain higher performance distribution in the industrial chain than decentralization.
Key words： downstream competition; process innovation; product innovation; revenue share; industrial chain performance
1 研究假設
本文基于一个上游厂商对应两个下游厂商构成的垂直产业链模型，分别采取上下游一体化、上下游分散化以及收益共享的纵向合作创新机制，探讨下游竞争对于流程创新和产品创新的影响。本文的上下游关系既包括供应商与制造商，也包括制造商与零售商。下游厂商在本文中占据主导地位，决定产品的订货量。此外，本文中的流程创新与产品创新投资同时进行。
假设一个上游垄断厂商承担单位生产成本c∈（0，a），并向两个寡头下游厂商分别按照批发价w1和w2出售产品。之后两个下游厂商进行古诺价格竞争，按照订单数量q1和q2决定各自的零售价p1和p2，再将产品按照零售价出售给消费者。假设a为最高可行零售价格且a>c，ε表示基准商品。s表示产品创新投资，e表示流程创新投资，θ表示单位商品可以提高的质量水平;且s>0，e>0，θ>0。γ表示两种产品的替代程度，0<γ<1，如果γ越大则产品替代性越强，下游竞争程度越大。将产品创新对于消费者效用的影响进行线性化处理，消费者的效用函数为：
U（qi，qj）=a∑iqi-12∑iq2i-γ∑i，jqiqj+θs∑iqi+ε（1）
可得到零售商i的逆需求函数：
pi=a-qi-γqj+θs（2）
当单位流程创新投资为e时，流程创新投资系数为α（α>0）时，流程创新的投资额为αe2，经过流程创新之后的单位生产成本为c-e。当单位产品创新投资为s，产品创新投资系数为β（β>0）时，产品创新的投资额为βs2。因此进行流程创新和产品创新投资之后，上游厂商的生产成本函数为： C=（c-e）q1+（c-e）q2+αe2+βs2（3）
本文做出以下假设：①上游垄断厂商与下游厂商i和j之间的纵向研发合作及价格合同对彼此保密，不存在技术的横向溢出;②上游厂商的生产量恰好等于下游厂商的订货量，因此上游厂商不存在库存;③本文主要研究对象为流程创新和产品创新，因此假定产业链的其他成本为零，如上下游厂商的运输成本、人力成本和库存成本;④本文的垂直产业链绩效主要指产出绩效，即收益减去成本之后的利润。
在以下模型中，π代表利润，上标I、D和R分别代表上下游一体化、上下游分散化和上下游收益共享三种契约模式;下标M代表上游厂商，R1和R2代表下游厂商1和下游厂商2，SC代表垄断上游厂商和两个寡头下游厂商作为一个整体的垂直产业链。
2 模型分析
2.1 下游竞争环境下采取分散化契约的决策分析
上下游分散化指仅由上游厂商进行流程创新和产品创新投资，下游厂商不与上游厂商分担创新投资成本。 在下游厂商占主导地位的产业链中，首先根据上游厂商的批发价w1和w2，下游厂商在经过古诺竞争之后，各自决定其产品的零售价p1和p1与订货量q1和q2，以最大化其绩效，即
maxp1，p2πR1=（p1-w1）q1（4）
maxp1，p2πR2=（p2-w2）q2（5）
之后，上游厂商根据订货量，决定产品的批发价w1和w2，以及单位流程创新投资e和单位产品创新投资s以最大化其绩效，即
maxp1，p2πM=（w1-c+e）q1+（w2-c+e）q2-αe2-βs2（6）
引理1：上下游分散化且下游竞争的情况下，最优流程创新和产品创新投资为
SD=（a-c）αθ2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2
eD=（a-c）β2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2（7）
最优产业链绩效为：
πDSC=αβ（a-c）2[2αβ（γ+1）（-2γ+3）-β-αθ2][2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2（8）
證明：下游厂商根据对方的逆需求函数，决定订货量，联立求解
p1=a+θs-q1-γq2
p2=a+θs-q2-γq2（9）
可得到下游厂商订货量：
q1=a-p1-αγ+p2γ+sθ-sγθ1-γ2
q2=a-p2-αγ+p1γ+sθ-sγθ1-γ2（10）
下游厂商进行古诺价格竞争，得到零售价，将（10）代入（4）和（5），再联立求解πR1p1=0和πR2p2=0，可得到最优零售价
pD1=2w1+w2γ-α（γ2+γ-2）+2sθ-sγθ-sγ2θ4-γ2
pD2=2w2+w1γ-α（γ2+γ-2）+2sθ-sγθ-sγ2θ4-γ2（11）
之后上游厂商根据下游厂商的最优订货量和零售价格，确定批发价和流程创新与产品创新投资，联立求解πMw1=0和πMw2=0，可得到：
wD1=12（a+c-e+sθ），wD2=12（a+c-e+sθ）（12）
上游厂商负责承担创新投资成本，将（10）和（12）代入（6），联立求解πMe=0和πMs=0，得到式（7）流程创新投资和产品创新投资的最优解，此时πDM的Hessian矩阵H1（e，s）如下：
H1（e，s）=2πDMe22πDMes2πDMse2πDMs2=2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（γ-2） θ（γ+1）（2-γ）θ（γ+1）（2-γ） 2β（γ+1）（2-γ）-θ2（γ+1）（γ-2）（13）
一阶顺序主子式
D1=2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（2-γ）
二阶顺序主子式
D2=4αβ（γ+1）（2-γ）-2αθ2-2β（γ+1）（2-γ）
当2α（γ+1）（2-γ）-1（γ+1）（γ-2）<0
且4αβ（γ+1）（2-γ）-2αθ2-2β（γ+1）（2-γ）>0
即（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α时，πDM的Hessian矩阵H1（e，s）是负定矩阵，从而eD*和sD*是该绩效函数的唯一最优解。将最优流程创新投资与产品创新投资eD*和sD*代入式（9）～（12），可得到上游厂商的最优批发价、下游厂商的最优零售价与订货量 （具体结果可见表1），易得上下游厂商的最优绩效：
πD*R1=πD*R2=αβ（a-c）2（1-γ2）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
πD*M=αβ（a-c）22αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2（14）
将上下游厂商的最优绩效加总可得到产业链最优绩效（8），证毕。
推论1：当下游竞争程度较低时，即γ∈0，12时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效随下游竞争程度γ提高而减少;当下游竞争程度较高时，即γ∈12，1时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效πDM随下游竞争程度γ提高而增加。
证明：
sDγ=2（a-c）α2βθ（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
eDγ=2（a-c）αβ2（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
πDMγ=2（a-c）2α2β2（2γ-1）[2αβ（γ+1）（-γ+2）-β-αθ2]2
当γ∈0，12时，sDγ、eDγ和πDMγ均小于0;当γ∈12，1时，sDγ、eDγ和πDMγ均大于0。证毕。
2.2 下游竞争环境下采取一体化契约的决策分析 本文的上下游一体化是指下游厂商的后向一体化，如华为和荣耀作为手机制造商，向上游拓展芯片的生产。此时，产业链上下游将作为一个整体，共同决策产品的零售价和流程创新与产品创新投资。因此假设批发价w1和w2为0，产品直接以零售价p1和p2出售给消费者。整合后产业链的绩效函数为：
maxp1，p2πSC=（p1-c+e）q1+（p2-c+e）q2-αe2-βs2（15）
采用逆向递归法求解，可得到引理2。
引理2：上下游分散化且下游竞争的情况下，当下游竞争强度γ>θ22β+12α-1时，最优流程创新和产品创新投资为：
sI=（a-c）αθ2αβ（γ+1）-β-αθ2
eI=（a-c）β2αβ（γ+1）-β-αθ2（16）
最优产业链绩效为：
πISC=（a-c）2αβ2α（γ+1）-αθ2-β（17）
證明：将式（10）下游厂商订货量代入（15），再联立求解πISCp1=0与πISCp2=0，可以得到最优零售价：
pI*1=12（a+c-e+sθ），pI*2=12（a+c-e+sθ）（18）
将式（18）最优零售价代入式（15），再联立求解πISCeI=0和πISCsI=0，可得到最优流程创新和产品创新投资即式（16），此时πISC的Hessian矩阵H2（e，s）如下：
H2（e，s）=2πISCe22πISCes2πISCse2πISCs2=-2α+1γ+1 θγ+1θγ+1 -2βθ2γ+1（19）
一阶顺序主子式D1=1γ+1-2α，二阶顺序主子式D2=4αβ（1+γ）-2αθ2-2βγ+1，因此当1γ+1-2α<0且2αβ（1+γ）-αθ2-β>0时，即γ>θ22β+12α-1，此时的Hessian矩阵H2（e，s）是负定矩阵，从而eI*和sI*是该绩效函数的唯一解。将式（16）代入式（18）可得最优零售价，将最优零售价与最优创新投资代入式（15），可得最优产业链绩效即式（17）。上下游一体化和分散化情况下全部的均衡解见表1如下。
推论2：在上下游一体化的情况下，流程创新投资eI、产品创新投资sI以及产业链绩效πISC随下游竞争程度γ提高而减少。
证明：
sIγ =-（a-c）α2βθ[2αβ（γ+1）-β-αθ]2<0
eDγ =-2（a-c）α2β2[2αβ（γ+1）-β-αθ2]2<0
πDMγ =-2（a-c）2α2β2[2αβ（γ+1）-β-αθ2]2<0
流程创新投资eI、产品创新投资sI以及产业链绩效πISC在参数范围内单调递减。证毕。
推论3说明在上下游一体化的情况下，由于产业链绩效属于统一企业内部，下游竞争程度提高会导致垂直产业链的边际收益下降，厂商对流程创新和产品创新投资的积极性降低，整个产业链的绩效也随之下降。
2.3 上下游收益共享且下游竞争时的决策分析
上下游收益共享即下游厂商与上游厂商分享一定比例的产品销售收入，下游厂商以分享的收益来承担上游厂商的生产成本。上游厂商和下游厂商的绩效函数为：
maxp1，p2πRM=（w1-c+e）q1+（1+λ1）p1q1+（w2-c+e）q2+（1-λ2）p2q2-αe2-βs2（20）
maxp1，p2πRR1=（λ1p1-w1）q1，maxp1，p2πRR2=（λ2p2-w2）q2（21）
上下游的博弈方式主要有三种：下游厂商实现纳什均衡后决定收益共享系数、下游厂商合谋后决定收益共享系数与下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价决定收益共享系数。根据三种博弈方式求解（20）、（21），可得到引理3。
引理3：当λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），最优收益共享比例在下游厂商纳什均衡、下游厂商合谋与下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价三种情况下分别为：
λR1*=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ）（γ+1）2
λR2*2=2αβ（γ+1）-β-αθ24αβ（1-γ2）
λR3*3=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ2）（22）
最优流程创新和产品创新投资为：
sR*=（a-c）αθ2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2
eR*=（a-c）β2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2（23）
最优产业链绩效为：
πR*SC=（a-c）2αβ[4αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（1+γ）-β-αθ2][2αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（1+γ）-β-αθ2]2（24）
证明：①下游厂商实现纳什均衡后决定收益共享系数，即联立求解πRR1λ1=0与πRR2λ2=0，解出λ1与λ2。下游厂商进行古诺价格竞争，得到零售价，再联立求解πR1p1=0和πR2p2=0，可得最优零售价。上游厂商根据下游厂商的订货量和订货价格决定批发价、流程创新和产品创新投资，联立求解πMw1=0和πMw2=0以及πMe=0和πMs=0，可得到最优批发价和最优流程创新投资与产品创新投资：
eR=（a-c）β[2+（γ+1）（λ1+λ2）]4αβ（γ+1）（λ2+1）+4αβ（γ+1）λ1[1+（1-γ2）λ2]-（αθ2+β）[2+（γ+1）（λ1+λ2）]
sR=（a-c）αθ[2+（γ+1）（λ1+λ2）]4αβ（γ+1）（λ2+1）+4αβ（γ+1）λ1[1+（1-γ2）λ2]-（αθ2+β）[2+（γ+1）（λ1+λ2）]（25） πRM的Hessian矩阵H3（s，e）一阶顺序主子式
D1=γ（λ1+λ2）+λ1+λ2+2-4α（1+γ）[1+λ1+λ2+（1-γ2）λ1λ2]2（1+γ）[1+λ1+λ2+（1-γ2）λ1λ2]
二阶顺序主子式
D2=4αβ（1+γ）[1+λ2+λ1（1+λ2-γ2λ2）]-（αθ2+β）（2+λ1+γλ1+λ2+γλ2）（1+γ）[1+λ2+λ1+（1+λ2-γ2λ2）]
当D1<0且D2>0时，πRM的Hessian矩阵H3（s，e）是负定矩阵，从而eR和sR是该绩效函数的唯一解。
下游厂商各自根据批发价和创新投资，决定与上游厂商收益共享的比例λ1和λ2，联立求解πRR1λ1=0与πRR2λ2=0，可得到：
λ1=λ2=2αβ（γ+1）-αθ2-β2αβ（γ+1）2（1-γ）（26）
由于两个下游厂商的绩效函数（23）和（24）完全对称，因此
λ1=λ2=λ（27）
将（27）代入最优批发价、零售价及创新投资，再代入绩效函数（20）和（21），可得到最优上下游厂商绩效：
πRM=（a-c）2αβ2αβ（γ+1）[（1-γ）λ+1]-β-αθ2（28）
πRR1=πRR2=（ααβ-cαβ）2（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（γ+1）-β-αθ2]2（29）
②下游厂商合谋后决定收益共享系数，假设λ1=λ2=λ，此时πRR1=πRR2=πRR，求解πRRλ=0，解出λR2*2=2αβ（γ+1）-β-αθ24αβ（1-γ）。
③下游厂商合谋后再与上下游厂商讨价还价决定收益共享系数，假设λ1=λ2=λ，此时πRR1=πRR2=πRR。令k=πRR*πRM為讨价还价函数，求解kλ=0，解出λR3*3=2αβ（γ+1）-β-αθ22αβ（1-γ2）。
上下游收益共享合作契约情况下的全部均衡解见表2如下。
推论3：收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高，当下游竞争强度γ超过一定范围时，收益共享比例λ大于1，由上游企业补贴下游企业研发。
证明：
λ1γ=4αβγ（γ+1）+（αθ2+β）（1-3γ）22（1-γ2）αβ（1-γ）（γ+1）22α（γ+1）-αθ2-β
λ2γ=αβ（γ+1）2-（αθ2+β）γ2αβ（1-γ2）2，
λ3γ=αβ（γ+1）2-（αθ2+β）γαβ（1-γ2）2（30）
当一体化、分散化与收益共享的合作契约下有均衡解时，即0<γ<1、γ>θ22β+12α-1且（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α时，λγ>0。因此在参数条件范围内，收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高。下游合谋时，当γ∈（4+9+42）-α4αβ，1，λ>1;下游合谋再与上游讨价还价时，当γ∈αβ（2β+αβ+2αθ2）-αβ2αβ，1，λ>1。
如果下游竞争强度越强，则产品间的差异越大，直接面向消费者的下游企业掌握更多的市场信息。下游企业在收益分配时具有更多的话语权，可以分配到更多的收益。当下游竞争强度较高时，则由下游企业来主导产业链内部资源的配置，由上游企业补贴下游企业一定比例的收益，因此收益分配比例λ大于1。
推论4：当下游竞争程度较低时，即γ∈0，12λ时，流程创新投资eR、产品创新投资sR以及上游厂商绩效πRM随下游竞争程度γ提高而减少; 当下游竞争程度较高时，即γ∈12λ，1时，流程创新投资eD、产品创新投资sD以及上游厂商绩效πDM随下游竞争程度γ提高而增加。
证明：采用与推论1类似的推导方法，推论5同理可证。推论1可看作λ=1的特殊情况。
推论1和推论5说明，在上下游分散化和收益共享情况下，当下游竞争强度γ没有超过12λ时，上游厂商缺乏进行流程创新和产品创新的动力;当下游竞争强度超过12λ后，市场竞争压力会促进上游厂商投入创新投资来提高自身的绩效。
因此，当下游竞争强度较高时，竞争强度提高会促进企业流程创新投资、产品创新投资和上游厂商绩效同时增加;而下游竞争强度较低时，竞争强度提高则会促进企业流程创新投资、产品创新投资和上游厂商绩效同时减少。
推论5：在下游竞争环境下，流程创新投资与产品创新投资战略互补。
证明：在产业链上下游分散化的情况下，分别求解πDMeD=0和πDMsD=0，用sD和eD互相表示对方，可得到：
sD=（a-c+eD）θ2β（2-γ）（γ+1）-θ2
eD=a-c+sDθ2β（2-γ）（γ+1）-θ2（31）
将sD对eD求导，并将eD对sD求导，得到二者对彼此求导的偏导数：
sDeD=θ2β（2-γ）（γ+1）-θ2
eDsD=θ2α（2-γ）（γ+1）-1（32）
根据H1（s，e）是负定矩阵的条件（2-γ）（γ+1）>θ22β+12α，所以（2-γ）（γ+1）>θ22β且（2-γ）（γ+1）>12α，因此sDeD>0且eDsD>0。
在产业链上下游一体化的情况下，分别求解πISCeI=0和πISCsI=0，用sI和eI互相表示对方，可得到：
sI=（a-c+eI）θ2β（1+γ）-θ2
eI=a-c+sIθ2α（1+γ）-1（33）
将sI对eI求导，并将eI对sI求导，得到二者对彼此求导的偏导数：
sIeI=θ2β（1+γ）-θ2
eIsI=θ2α（1+γ）-1（34） 根据H2（s，e）是负定矩阵的条件γ>θ22β+12α-1，所以γ>θ22β-1且γ>12α-1，因此sIeI>0且eIsI>0。同理可证收益共享情况下，sReR>0且eRsR>0。
因此在三种合作契约下，投入一种创新投资均可以促进另一种创新投资的提高，两种创新投资是互补关系。流程创新的正外部性导致生产成本减少，随着流程创新投资增加，边际生产成本递减，产业链绩效提高，导致产业链有动力去获得更多的消费者。而产品创新可以增加消费者效用，从而提高消费者支付意愿，所以企业也会重视提高产品创新投资，因此应该同时进行产品创新投资与流程创新投资。推论5说明当生产流程得到优化时，往往也伴随着产品性能的提升，所以可以通过提高流程创新投资的方式，促进产品创新投资的提高。
推论6：当下游竞争程度较高时，选择一体化的纵向合作契约可实现最高的创新投资以及产业链绩效，选择收益共享契约次之。
选择一体化纵向合作契约的下游竞争强度的范围为γ∈θ22β+12α-1，1;上下游企业没有一体化倾向，选择收益共享契约的下游竞争强度范围为γ∈0，θ22β+12α-1。
证明：比较上下游一体化与收益共享契约下的创新投资大小，将两种方式下的创新投资相减，可得到：
eI-eR=2（a-c）αβ2（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（1+γ）-2αβ（1+γ）（1-γ）λ]
sI-sR=2（a-c）α2βθ（1-γ2）λ[2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]（35）
因为一体化契约下有唯一均衡解的条件是γ>θ22β+12α-1且收益共享契约下有唯一均衡解的条件是λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），所以2αβ（γ+1）-αθ2-β>0且2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ>0，因此eI>eR且sI>sR，上下游一体化合作契约下的两种创新投资大于收益共享契约下的两种创新投资。
再比较收益共享契约与分散化下的创新投资大小，将这两种方式下的创新投资相减，因为上下游分散化契约下有唯一均衡解的条件是（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α且收益共享契约下有唯一均衡解的条件是λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），所以2αβ（2-γ）（γ+1）-αθ2-β>0且2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ>0，同理可得到：
eR-eD=2（a-c）αβ2（1-γ2）（1-λ）[2αβ（2-γ）（1+γ）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]>0
sR-sD=2（a-c）α2βθ（1-γ2）（1-λ）[2αβ（2-γ）（1+γ）-αθ2-β][2αβ（1+γ）+2αβ（1+γ）（1-γ）λ]>0（36）
所以eR>eD且sR>sD，收益共享契约下的两种创新投资大于上下游分散化契约下的两种创新投资。因此在参数范围内，eI>eR>eD和sI>sR>sD。
比较上下游一体化与收益共享契约下的垂直产业链绩效大小，以及上下游一体化与上下游分散化契约下的垂直产业链绩效大小，将两种方式下的产业链绩效相减;如果产业链上下游没有一体化倾向，比较收益共享契约与上下游分散化契约下的垂直产业链绩效大小，将两种方式下的产业链绩效相减，证明过程与创新投资类似，因此在参数范围内，πISC>πRSC>πDSC。证毕。
推论6说明当下游竞争强度较高时，上下游一体化可以提高市场信息沟通的效率，整合上下游的研发和渠道资源，集中资源去提高自身产品的质量和性能，从而提高流程创新和产品创新投资，进而提高产业链绩效。当下游竞争强度适中时，如果上下游的企业没有一体化的倾向，选择收益共享契约，可以提高下游企业参与研发的积极性，下游企业会为上游企业研发提供一手数据，从而提高流程创新和产品创新投资以及产业链绩效。
推论7：对于下游厂商而言，当与其他厂商竞争程度较高时，下游厂商选择收益共享契约可以在垂直产业链中有更高的绩效分配;当下游竞争程度较低时，则更适合选择分散化的合作契约。
证明：比较收益共享契约与上下游分散化契约下的下游厂商绩效占垂直产业链绩效的比例：
πRR1+πRR2πRSC-πDR1+πDR2πDSC=2αβ[2αβ（γ+1）-αθ2-β]（λ-1）（1-γ2）[4αβ（γ+1）（1-γ）λ+2αβ（γ+1）-αθ2-β][2αβ（γ+1）（3-2γ）-αθ2-β]（37）
由推论4可知，当下游竞争强度γ超过一定范围时，收益共享比例λ>1，此时πRR1+πRR2πRSC-πDR1+πDR2πDSC>0，下游厂商选择收益共享契约可获得在垂直产业链中更高的绩效分配。因此，当下游竞争强度较高时，下游厂商可获得来自上游厂商的绩效补贴，更适合选择收益共享契约来提高自身在垂直产业链中的绩效分配比例。
2.4 数值仿真模拟
本节通过数值仿真分析下游竞争强度γ对收益共享比例λ的影响，再分析下游竞争强度γ对流程创新投资e和产品创新投资s的影响，以及下游竞争强度γ对产业链绩效πSC的影响和对下游厂商绩效分配比例δ的影响，从而验证推论1～推论7。
根据能使均衡解成立的参数约束条件：γ>θ22β+12α-1，（γ+1）（2-γ）>θ22β+12α，λ>β+αθ2-2αβ（γ+1）2αβ（1-γ2），取參数a=2，c=1，α=1.1，β=1，θ=0.95，即λ>-0.2073-2.2γ2.2-2.2γ2。 由图1可知，在参数约束条件范围内，收益共享比例λ随下游竞争强度γ的提高而提高。而当下游竞争强度γ1>0.7247（下游厂商纳什均衡）、γ2>0.7577（下游厂商合谋）、γ3>0.5751（下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价）时，收益共享比例λ>1，验证了推论4。
由图2可知，在上下游一体化的合作契约下，流程创新投资和产品创新投资随着下游竞争强度的提高而下降，验证了推论3。在上下分散化和收益共享契约下，流程创新投资和产品创新投资在参数约束范围内先下降后上升，验证了推论1和推论5。
在一体化、分散化和收益共享三种合作契约下，上下游一体化的流程创新投资和产品创新投资始终最高。在下游竞争程度较低时，收益共享契约下的流程创新投资和产品创新投资高于分散化契约下的创新投资。而随着下游竞争强度的提高，产品替代性增强，当超过极小值点γ1=0.7247、γ2=0.7577、γ3=0.5751时，分散化契约下的流程创新投资和产品创新投资逐渐回升，并超过收益共享契约下的流程创新投资和产品创新投资，验证了推论6。
由图3可知，在一体化、分散化和收益共享三种合作契约下，上下游一体化的垂直产业链绩效始终最高。在上下游一体化的合作契约下，垂直产业链绩效随着下游竞争强度的提高而下降，验证了结论1。在上下游分散化和收益共享契约下，垂直产业链绩效在参数约束范围内先下降后上升。因此当下游竞争强度较低时，在收益共享契约下的垂直产业链绩效比在分散化契约下的垂直产业链绩效高。随着下游竞争强度的提高，在收益共享契约下的垂直产业链绩效低于在分散化契约下的垂直产业链绩效，验证推论6。
令δ1=πDR1+πDR2πDSC、δ2=πR′R1+πR′R2πRSC、δ3=πR″R1+πR″R2πR″SC，δ4=πRR1+πRR2πRSC。由图4可知，当γ3>0.5751时，δ4>δ1，下游厂商选择收益共享的契约以及下游合谋后再与上游厂商讨价还价的博弈方式，可以获得最高的产业链绩效分配。因此当下游竞争强度较高时，下游厂商更适合选择收益共享契约，验证了推论7。
3 结论与展望
本文在下游竞争的环境下，将流程创新投资和产品创新投资作为研究对象，讨论了上下游一体化、分散化和收益共享三种合作契约，并将收益共享分为了下游厂商纳什均衡、下游厂商合谋和下游厂商合谋后再与上游厂商讨价还价三种博弈方式，探究下游竞争对流程创新投资、产品创新投资、垂直产业链以及下游厂商选择与上游厂商合作契约与博弈方式的影响，得到的结论如下。
（1）与上下游一体化和分散化的合作契约相比，收益共享契约下的下游竞争强度提高会使企业流程创新和产品创新投资提高。但只有当下游竞争强度较高时，即超过门槛γ=12λ时，产业链才会随下游竞争程度提高而同时增加两种创新投资。当下游竞争强度较低时，下游竞争强度提高会导致两种创新投资减少。
（2）对于产业链而言，选择一体化的合作契约可实现最高的创新投资和产业链绩效，选择收益共享契约次之。
（3）对于下游厂商而言，如果没有一体化的倾向，选择收益共享契约可以获得在产业链中比分散化更高的绩效分配。
（4）在下游競争的环境下，流程创新投资与产品创新投资战略互补。产业链中的厂商提高一种创新投资会促进另一种创新投资的增加。
（5）当下游竞争强度较高时，下游企业在产业链资源配置中占主导地位，由上游企业补贴下游企业一定比例的收益。
此外，本文在研究中仍然存在一些局限问题，未来可进一步关注。首先，本文采用静态的方式研究流程创新和产品创新相对简单，未来可采用动态的分析方法;其次，本文为了抽象简化问题，仅仅讨论了一个垄断上游厂商与两个寡头下游厂商的关系，未来可关注多对多的上下游关系;最后，本文假设需求函数是关于流程创新投资的线性函数，未来可以采用更加一般的需求函数形式或者对流程创新投资的其他处理方式。
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