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我从小就喜欢数学，喜欢做数学题与读数学书，读完师范后教小学数学至今，成了名副其实的“孩子王”。二十多年的数学教学经历，从最初的依样画葫芦到逐步的认识和理解，我觉得“小学不小”，小学数学教学也是一门大学问，它涉及对数学的理解，对教学的理解，对儿童的理解，而且它们之间往往交织在一起，使小学数学教学这个领域变得复杂而又迷人。多年来我在学习、教学和研究中有了一些感性的认识和零碎的理解，但远没有达到系统化的层次。现就把自己的思想轨迹和实践探索回忆并加以整理，以求得指导。
一、工作之初：努力使知识的传授有趣一些、简单一些
我毕业分配到宜兴市实验小学工作，在老校长徐瑞龙和教导主任王秀惠的指导下上了很多研究课。其中印象比较深的有三堂课：
第一堂是“正反归一应用题”。这个内容在上世纪80年代的人教版教材编排中是先教正归一，用时2~3课时，再教反归一，用时2~3课时，再用2~3课时作一个综合的比较与沟通。但在上课过程中，老校长提出能不能只用一个情景，把正、反归一两种情况整体地进行教学，通过同中求异与异中求同，使学生形成关于正反归一问题的整体的结构框架，尝试下来，效果很好，用时少，而且便于学生对结构中“同”即归一思想的聚焦，对“异”即正、反思想的分化，这个案例对我理解“整体性、大框架思考知识架构”的思想提供了启蒙性的经验。
第二堂是“复杂的百分数应用题”。这个内容到底通过什么已有知识引入？是通过复习简单的百分数应用题，通过变式，把其中的一个直接条件转个弯，变成间接条件，改编成较复杂的百分数应用题；还是通过复习较复杂的分数应用题，再通过把分数改成百分数，改编成较复杂的百分数应用题？这两种引入方法各有不同，第一种让学生经历问题从简单到复杂的改变，解答时再通过把复杂转化为简单，在这一进一退中学生的思维得到了训练，化归思想得到了体验；第二种引入，复习题与例题的结构一样，只是分数改百分数，简单、便捷、高效。两种引入的争论与尝试使我对“任何数学知识都是在与此相关的旧知的基础上建构而成的，那么，学生到底应该从哪一个旧知基础出发，经历怎样的建构过程才最科学”这个问题有了持久的关注。其实现在课程改革中倡导的“算法多样化”，我的理解就是“在不同范畴知识基础上的多元构造”。
第三堂课是“小数点位置的移动引起小数大小的变化”。教材只是通过一个例子得出一个结论：“一个小数，小数点向右（或向左）移动一位、二位、三位……，小数的大小的扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍……”那我就想“为什么小数点移动会引起小数的变化呢”，教材没有回答这个问题。我通过对“十进制计数法”中“位值原则”的思考，引导学生不仅知其然，而且知其所以然。只有让学生理解“流”与“源”的关系，学生对数学的理解才会更深刻。
通过几年的努力，我逐步把自己的数学教学主张聚焦到了“让学生越学越聪明”，并提出了十大教学策略：即创设情景、提前渗透、适度拓展、动态表象、假设验证、发散设计、追根溯源、变式练习、思想引领、联系生活。
二、评特级教师前后：逐步走进儿童数学思维这个领域
1998年我开始申报省特级教师，这段时间我也上了一些研究课，像“圆的认识”、“三角形的认识”、“分数、百分数应用题的复习课”等，其中印象最深的是“圆的认识”这一课。在这节课中，我充分展开了三个环节：一是创设了一个马车、自行车、汽车这些交通工具轮胎的历史演变的情景，让学生画出不同大小、不同颜色的各种各样的轮胎，并组织学生对这些不同的对象进行抽象：这些轮胎有什么共同点？学生得出很多：边上都没有角，中间都有轴心，轴心与圆边缘之间都有一些钢丝或钢条连接，而且这些钢丝或钢条的长度都是相等的。这些只是一些通过直觉得出的结论，或叫猜想；接着开始引导思辨：是不是所有的情况都是如此？你能不能进行一些验证？学生就开始进行操作，有的是量，有的是折，最后通过证明得到：一个圆只有一个中心点，圆的中心点到圆上任何一点的距离都相等。二是设置了一个游戏：把两个小球分别系在一根绳和一根橡皮筋上，分别转动后，小球划出的图形是圆吗？引导学生进行操作和讨论，并探究为什么，让学生在动态的运动中深刻理解“圆是定点到定长的点的轨迹”的内涵。三是最后要求学生探究车轮为什么要做成圆的，车轴为什么要装在圆心上的道理，使学生理解车的平稳运动的原理是“圆心到圆上任意一点的距离都相等”，即“在同一圆内，所有的半径都相等”，使学生对圆的认识由于生活现象的加入而进入一种豁然开朗的境界。
这节课的实践我是在理论的指导下进行的，第一个环节是按照波利亚“既要教猜想，又要教证明”的思想设计的，先让学生猜测，再引导学生验证，突出了探索发现逻辑证明的过程；第二个环节是按照皮亚杰“动态表象是数理逻辑经验的源泉”的思想设计的，让学生在转动小球的比较中积累丰富的动态表象，使学生对圆的本质认识得更深刻；第三个环节是按照加涅的“层次学习”思想设计的，只有当知识能真正应用到生活中去时，学生的理解才能达到“豁然开朗”的境界。如果说这以前的教学还是无意识地运用理论，那么从此开始就能有意识地在理论的指导下进行实践，使自己的教学有了理性的成分。
1999年，省教科所成尚荣所长要编一套小学教育研究丛书，让我参与编写其中数学的一本，在成尚荣所长、彭钢所长等专家的指导下，选定了《学会数学地思维》这一带有一定学术性的题目，立意是数学教学应该是培养学生的数学眼光、数学头脑、数学思维，而不是知识层面的东西。为了完成这一任务，我和谢惠良老师利用一年时间学习了大量关于“数学思维”的理论，并经常讨论，进行头脑风暴，几易其稿，就是在这样反复思考、写作的过程中，认识发生了新的飞跃，觉得数学教学既要重知识，也要重问题；既要重推理，也要重猜想；既要重结构，也要重建构；既要重数学化，也要重生活化；既要重体系，也要重背景和文化；等等，也就是数学教学要从“偏重”走向“双重”。我逐步形成了数学教学的一个核心观点：“知识背后没有方法，知识就不可能被调用，只能成为一种僵硬的学问与沉重的负担；方法背后没有活生生的思想，方法也不可能被创造性地灵活运用，只能是一种笨拙的工具。”所以，数学教学的目标应该是知识、方法和思想的综合体，三者缺一不可。同时，在这一观点下形成了数学教学的几条经验：“以情景为源泉，以问题为纽带，以建构为过程，以思维为主线，以思想为核心，以文化为背景。”
三、调入附小以后：努力追求小学数学教学的高境界
2003年调入无锡师范附小后，先后主持和参与了三个小学数学的课题研究。在周逸君主持的“小学数学自主创新性学习”的课题研究中，我觉得学生的数学学习方式的确需要变革，但学习方式的变革说到底可能是一种文化互动方式的改变，应该基于多元文化的融合。我还主持了“小学数学空间与图形的教学研究”，该课题研究以苏教版教材为素材，对小学几何教学的价值理解、整体框架的建构、儿童空间观念生成的规律探寻、实践智慧的提炼等方面作了全面的探索，使我们对这一领域的教学有了一个系统的认识。另外，我还参与由陆志洪主持的“小学数学解决问题策略的研究”课题，该课题从“问题”入手，以“解题”为研究对象，以“策略”为研究目标，以国际比较和实践探索为着力点，形成了一批有自己特色的经验和案例。这三个课题研究，有效地带动了学校数学教学的改革，自己也在这一过程中提升了学术素养。这几年的实践和研究，使我对数学教学又有了新的认识，特别对“引导学生学习数学地思维”进行了进一步的系统建构：
1.发展儿童的数学思维“需要在一种积极的状态之中”。只有当学生的思维与经验、动感、模糊判断与兴趣、情感、意志联系在一起时，才能达到一种学习的新境界。这种经验、动感、模糊判断和兴趣、情感、意志诸要素的融合是一种无形的“思维场”、“情感场”、“认识场”，它具有激发探索、发现和创造活力的作用。
2.发展儿童的数学思维“需要突出两个过程的展开”。小学数学教学中存在两种课程形态，一种是认知建构，一种是问题解决。考察现实数学教学中这两种形态知识的课程，我们可以发现：在以认知建构为特征的教学中，我们比较注重对知识结论的多角度把握和反复操练，也即重视得出知识结论以后的理解，而忽视了得出知识结论以前的探索经历，由此，学生不明白知识是如何发生发展的；在以问题解决为特征的教学中，我们比较注重按思路逻辑地表达解法，也即重视得出思路以后的陈述，而忽视了寻找思路、探求解法的过程，由此，学生不明白解法是如何发现的，怎么才能想出来。针对这种情况，我觉得在数学活动过程中要把重点放在知识生成的过程和解法发现的过程上，让学生在经历这两个过程中学会数学地思维。
3.发展儿童的数学思维“需要重视三个层面的教学”。一是重视基础知识的教学。研究表明，基本概念、基本原理、基本结构是智慧含量最高的知识，它的迁移力、再生力强，又叫“母知识”，也就是举一反三的“一”，触类旁通的“类”。从知识体系中提炼出“一”和“类”，让学生把握住，这样学生就可以得一为百，一通百通，自主建构，发散创造。小学数学中的核心内容和数学结构是统领整个知识体系的枢纽和纲要，把握住了这些，就把握住了知识的发生发展和变化，就能使学生对知识的意义和数学知识之间的联系有一种本质的理解。小学数学中的核心内容一般指一个知识体系的起始点、一个知识体系到另一个知识体系的转折点，几个知识体系的统合点。小学数学中的数学结构一般指知识点结构、知识线结构、知识面结构、知识体系结构。把握住知识的结构，对知识的集化处理，就能引发学生从因果关系、类属关系、部分与整体关系、作用与效应关系等方面进行联想，增强知识的发散、聚集和生成。二是重视数学方法的教学。知识中蕴含方法，知识只有经过方法的调制、方法的引领，才会软化，才会脱去僵硬的外衣而显露出生机和活力，学生才会有数学的发现，才会领悟数学中的智慧。我在教学实践主要从数学的角度，重点进行比较、变化、思辨、化归、猜测等数学方法的训练。三是重视数学思想的教学。数学思想是指人们对某一数学对象或数学过程的本质和本体的见解和意识，是人们对事物整体考察而获得领悟的结果。数学思想与数学知识不同，数学知识必须严格界定，因而它利于记录和传播、交流，而数学思想则带有模糊性，是知识及知识关系的整体背景和基础，它支配着数学知识和数学方法的应用。
一、工作之初：努力使知识的传授有趣一些、简单一些
我毕业分配到宜兴市实验小学工作，在老校长徐瑞龙和教导主任王秀惠的指导下上了很多研究课。其中印象比较深的有三堂课：
第一堂是“正反归一应用题”。这个内容在上世纪80年代的人教版教材编排中是先教正归一，用时2~3课时，再教反归一，用时2~3课时，再用2~3课时作一个综合的比较与沟通。但在上课过程中，老校长提出能不能只用一个情景，把正、反归一两种情况整体地进行教学，通过同中求异与异中求同，使学生形成关于正反归一问题的整体的结构框架，尝试下来，效果很好，用时少，而且便于学生对结构中“同”即归一思想的聚焦，对“异”即正、反思想的分化，这个案例对我理解“整体性、大框架思考知识架构”的思想提供了启蒙性的经验。
第二堂是“复杂的百分数应用题”。这个内容到底通过什么已有知识引入？是通过复习简单的百分数应用题，通过变式，把其中的一个直接条件转个弯，变成间接条件，改编成较复杂的百分数应用题；还是通过复习较复杂的分数应用题，再通过把分数改成百分数，改编成较复杂的百分数应用题？这两种引入方法各有不同，第一种让学生经历问题从简单到复杂的改变，解答时再通过把复杂转化为简单，在这一进一退中学生的思维得到了训练，化归思想得到了体验；第二种引入，复习题与例题的结构一样，只是分数改百分数，简单、便捷、高效。两种引入的争论与尝试使我对“任何数学知识都是在与此相关的旧知的基础上建构而成的，那么，学生到底应该从哪一个旧知基础出发，经历怎样的建构过程才最科学”这个问题有了持久的关注。其实现在课程改革中倡导的“算法多样化”，我的理解就是“在不同范畴知识基础上的多元构造”。
第三堂课是“小数点位置的移动引起小数大小的变化”。教材只是通过一个例子得出一个结论：“一个小数，小数点向右（或向左）移动一位、二位、三位……，小数的大小的扩大（或缩小）10倍、100倍、1000倍……”那我就想“为什么小数点移动会引起小数的变化呢”，教材没有回答这个问题。我通过对“十进制计数法”中“位值原则”的思考，引导学生不仅知其然，而且知其所以然。只有让学生理解“流”与“源”的关系，学生对数学的理解才会更深刻。
通过几年的努力，我逐步把自己的数学教学主张聚焦到了“让学生越学越聪明”，并提出了十大教学策略：即创设情景、提前渗透、适度拓展、动态表象、假设验证、发散设计、追根溯源、变式练习、思想引领、联系生活。
二、评特级教师前后：逐步走进儿童数学思维这个领域
1998年我开始申报省特级教师，这段时间我也上了一些研究课，像“圆的认识”、“三角形的认识”、“分数、百分数应用题的复习课”等，其中印象最深的是“圆的认识”这一课。在这节课中，我充分展开了三个环节：一是创设了一个马车、自行车、汽车这些交通工具轮胎的历史演变的情景，让学生画出不同大小、不同颜色的各种各样的轮胎，并组织学生对这些不同的对象进行抽象：这些轮胎有什么共同点？学生得出很多：边上都没有角，中间都有轴心，轴心与圆边缘之间都有一些钢丝或钢条连接，而且这些钢丝或钢条的长度都是相等的。这些只是一些通过直觉得出的结论，或叫猜想；接着开始引导思辨：是不是所有的情况都是如此？你能不能进行一些验证？学生就开始进行操作，有的是量，有的是折，最后通过证明得到：一个圆只有一个中心点，圆的中心点到圆上任何一点的距离都相等。二是设置了一个游戏：把两个小球分别系在一根绳和一根橡皮筋上，分别转动后，小球划出的图形是圆吗？引导学生进行操作和讨论，并探究为什么，让学生在动态的运动中深刻理解“圆是定点到定长的点的轨迹”的内涵。三是最后要求学生探究车轮为什么要做成圆的，车轴为什么要装在圆心上的道理，使学生理解车的平稳运动的原理是“圆心到圆上任意一点的距离都相等”，即“在同一圆内，所有的半径都相等”，使学生对圆的认识由于生活现象的加入而进入一种豁然开朗的境界。
这节课的实践我是在理论的指导下进行的，第一个环节是按照波利亚“既要教猜想，又要教证明”的思想设计的，先让学生猜测，再引导学生验证，突出了探索发现逻辑证明的过程；第二个环节是按照皮亚杰“动态表象是数理逻辑经验的源泉”的思想设计的，让学生在转动小球的比较中积累丰富的动态表象，使学生对圆的本质认识得更深刻；第三个环节是按照加涅的“层次学习”思想设计的，只有当知识能真正应用到生活中去时，学生的理解才能达到“豁然开朗”的境界。如果说这以前的教学还是无意识地运用理论，那么从此开始就能有意识地在理论的指导下进行实践，使自己的教学有了理性的成分。
1999年，省教科所成尚荣所长要编一套小学教育研究丛书，让我参与编写其中数学的一本，在成尚荣所长、彭钢所长等专家的指导下，选定了《学会数学地思维》这一带有一定学术性的题目，立意是数学教学应该是培养学生的数学眼光、数学头脑、数学思维，而不是知识层面的东西。为了完成这一任务，我和谢惠良老师利用一年时间学习了大量关于“数学思维”的理论，并经常讨论，进行头脑风暴，几易其稿，就是在这样反复思考、写作的过程中，认识发生了新的飞跃，觉得数学教学既要重知识，也要重问题；既要重推理，也要重猜想；既要重结构，也要重建构；既要重数学化，也要重生活化；既要重体系，也要重背景和文化；等等，也就是数学教学要从“偏重”走向“双重”。我逐步形成了数学教学的一个核心观点：“知识背后没有方法，知识就不可能被调用，只能成为一种僵硬的学问与沉重的负担；方法背后没有活生生的思想，方法也不可能被创造性地灵活运用，只能是一种笨拙的工具。”所以，数学教学的目标应该是知识、方法和思想的综合体，三者缺一不可。同时，在这一观点下形成了数学教学的几条经验：“以情景为源泉，以问题为纽带，以建构为过程，以思维为主线，以思想为核心，以文化为背景。”
三、调入附小以后：努力追求小学数学教学的高境界
2003年调入无锡师范附小后，先后主持和参与了三个小学数学的课题研究。在周逸君主持的“小学数学自主创新性学习”的课题研究中，我觉得学生的数学学习方式的确需要变革，但学习方式的变革说到底可能是一种文化互动方式的改变，应该基于多元文化的融合。我还主持了“小学数学空间与图形的教学研究”，该课题研究以苏教版教材为素材，对小学几何教学的价值理解、整体框架的建构、儿童空间观念生成的规律探寻、实践智慧的提炼等方面作了全面的探索，使我们对这一领域的教学有了一个系统的认识。另外，我还参与由陆志洪主持的“小学数学解决问题策略的研究”课题，该课题从“问题”入手，以“解题”为研究对象，以“策略”为研究目标，以国际比较和实践探索为着力点，形成了一批有自己特色的经验和案例。这三个课题研究，有效地带动了学校数学教学的改革，自己也在这一过程中提升了学术素养。这几年的实践和研究，使我对数学教学又有了新的认识，特别对“引导学生学习数学地思维”进行了进一步的系统建构：
1.发展儿童的数学思维“需要在一种积极的状态之中”。只有当学生的思维与经验、动感、模糊判断与兴趣、情感、意志联系在一起时，才能达到一种学习的新境界。这种经验、动感、模糊判断和兴趣、情感、意志诸要素的融合是一种无形的“思维场”、“情感场”、“认识场”，它具有激发探索、发现和创造活力的作用。
2.发展儿童的数学思维“需要突出两个过程的展开”。小学数学教学中存在两种课程形态，一种是认知建构，一种是问题解决。考察现实数学教学中这两种形态知识的课程，我们可以发现：在以认知建构为特征的教学中，我们比较注重对知识结论的多角度把握和反复操练，也即重视得出知识结论以后的理解，而忽视了得出知识结论以前的探索经历，由此，学生不明白知识是如何发生发展的；在以问题解决为特征的教学中，我们比较注重按思路逻辑地表达解法，也即重视得出思路以后的陈述，而忽视了寻找思路、探求解法的过程，由此，学生不明白解法是如何发现的，怎么才能想出来。针对这种情况，我觉得在数学活动过程中要把重点放在知识生成的过程和解法发现的过程上，让学生在经历这两个过程中学会数学地思维。
3.发展儿童的数学思维“需要重视三个层面的教学”。一是重视基础知识的教学。研究表明，基本概念、基本原理、基本结构是智慧含量最高的知识，它的迁移力、再生力强，又叫“母知识”，也就是举一反三的“一”，触类旁通的“类”。从知识体系中提炼出“一”和“类”，让学生把握住，这样学生就可以得一为百，一通百通，自主建构，发散创造。小学数学中的核心内容和数学结构是统领整个知识体系的枢纽和纲要，把握住了这些，就把握住了知识的发生发展和变化，就能使学生对知识的意义和数学知识之间的联系有一种本质的理解。小学数学中的核心内容一般指一个知识体系的起始点、一个知识体系到另一个知识体系的转折点，几个知识体系的统合点。小学数学中的数学结构一般指知识点结构、知识线结构、知识面结构、知识体系结构。把握住知识的结构，对知识的集化处理，就能引发学生从因果关系、类属关系、部分与整体关系、作用与效应关系等方面进行联想，增强知识的发散、聚集和生成。二是重视数学方法的教学。知识中蕴含方法，知识只有经过方法的调制、方法的引领，才会软化，才会脱去僵硬的外衣而显露出生机和活力，学生才会有数学的发现，才会领悟数学中的智慧。我在教学实践主要从数学的角度，重点进行比较、变化、思辨、化归、猜测等数学方法的训练。三是重视数学思想的教学。数学思想是指人们对某一数学对象或数学过程的本质和本体的见解和意识，是人们对事物整体考察而获得领悟的结果。数学思想与数学知识不同，数学知识必须严格界定，因而它利于记录和传播、交流，而数学思想则带有模糊性，是知识及知识关系的整体背景和基础，它支配着数学知识和数学方法的应用。