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在日常生活中，人们常用“某人有数学头脑”来赞誉一个人的聪明。这句通俗的语言包含了丰富的内涵，是对一类具有“快捷的思维，敏锐的洞察力，工作的高效率，会数学地思考问题、解决问题，有广泛的适应性”品质的人的一种概括，而所有这些优良思维品质和工作能力都离不开现代数学思想方法的指导和运用。
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。
通过数学思想方法的学习，可使我们开阔视野、提高数学素养，从而认识到现代数学对中学数学的指导作用，能够用较高的理论观点分析、处理中学数学中的有关问题。下面我从集合论的思想方法在中学数学中的作用来谈一下我的一点粗浅认识：
一、集合论的高度，对中学数学内容加以概括，能更好地从整体上把握中学数学的研究对象
中学数学的研究对象是在通常的数集（N、Z、Q、R）和通常的空间（R1，R2，R3）中研究数、式、形，包括数和式的运算和变形、方程和不等式的解，研究几何图形的结构和变换等。它们可以在集合论的观点下联系和统一起来，并归到某一种集合或集合间的某种关系去研究。例如：
1.方程的解集。
2.不等式的解集。
3.从自然数集到整数集、有理数集、实数集的扩充过程都可通过对前一个集按某一等价关系将该集分类而得。
4.平面几何中图形的平移、旋转、反射、相似等几何变换都是R2中集合间满足一定条件的对应关系等。
5.几何元素间的各种结合关系、平行与垂直是几何间的某种关系。
二、用集合论的语言表述有关概念更为简洁
例如：（1）平面图形中以圆点为圆心、1为半径的圆周， 闭（开）圆面可分别表示为：A={（x，y） ∈R：x2+y2=1}
A1={（x，y）∈R：x2+y2≤1}
A2={（x，y）∈R：x2+y2<1}
（2）诸如方程组的解集、不等式的同解变形等概念，用集合论的语言也都十分简洁。
（3）{正方形}={矩形}∩{菱形}。
{正方形} {矩形、菱形} {平形四边形} {四边形}。
特别是表明概念间的层次关系，形成概念体系时，用集合论的语言更为清晰。
三、集合论的思想方法便于阐明中学数学中的疑难问题和易错的问题
例如，用数集上的顺序关系、运算关系可以清楚地阐明“复数为什么不能比较大小”的问题，指出“大小关系”是建立在顺序关系和运算关系两种关系基础上的，是对加法和乘法“正元”保序的一种顺序关系，而顺序关系与运算无关。
又如用集合论的思想方法处理方程组的同解问题、不等式的同解问题时十分有效，特别是在逻辑分析中，便于理顺逻辑关系。
四、集合论的思想方法对解题的指导作用
许多综合问题，尤其是分类计算问题，经常可以通过文恩图这种集合论的直观语言帮助理解，提供解题思路。
例：甲、乙、丙等n人排成一列，甲不能排头，乙不能排尾，这样的排法共有多少种？
解：记E={n人排成一列的所有不同排列}
A={n人排成一列甲排头的所有不同排列}
B={n人排成一列的乙排头所有不同排列}
符合题意的排法结构共有：
S（E-（A∪B））
=S（E）-S（A∪B）
=S（E）-[S（A）+S（B）-S（A∩B）]
=S（E）- S（A）-S（B）+ S（A∩B）
=n！-（n-1）！- （n-1）！+（n+2）！
这样就避免了容易漏加S（A∩B）的错误。
因此，教师在教学过程中不应只单纯看学生是否会解题，而是要看学生是否会动脑，应加强数学思想方法的教学，学生掌握了数学思想方法就能更快捷地获取知识、更透彻地理解知识。要鼓励学生大胆猜想，培养学生的创新能力。当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之中，使学生真正形成个性的思维活动，从而全面提高自身的数学素养。
数学思想是对数学知识、方法、规律的一种本质认识；数学方法是解决数学问题的策略和程序，是数学思想的具体反映。数学知识是数学思想方法的载体，数学思想较之于数学基础知识及常用数学方法又处于更高层次，它来源于数学基础知识及常用的数学方法，在运用数学基础知识及方法处理数学问题时，具有指导性的地位。对于学习者来说，运用数学方法解决问题的过程就是感性认识不断积累的过程，当这种积累达到一定程度就会产生飞跃，从而上升为数学思想，一旦数学思想形成之后，便对数学方法起着指导作用。因此，人们通常将数学思想与方法看成一个整体概念——数学思想方法。
通过数学思想方法的学习，可使我们开阔视野、提高数学素养，从而认识到现代数学对中学数学的指导作用，能够用较高的理论观点分析、处理中学数学中的有关问题。下面我从集合论的思想方法在中学数学中的作用来谈一下我的一点粗浅认识：
一、集合论的高度，对中学数学内容加以概括，能更好地从整体上把握中学数学的研究对象
中学数学的研究对象是在通常的数集（N、Z、Q、R）和通常的空间（R1，R2，R3）中研究数、式、形，包括数和式的运算和变形、方程和不等式的解，研究几何图形的结构和变换等。它们可以在集合论的观点下联系和统一起来，并归到某一种集合或集合间的某种关系去研究。例如：
1.方程的解集。
2.不等式的解集。
3.从自然数集到整数集、有理数集、实数集的扩充过程都可通过对前一个集按某一等价关系将该集分类而得。
4.平面几何中图形的平移、旋转、反射、相似等几何变换都是R2中集合间满足一定条件的对应关系等。
5.几何元素间的各种结合关系、平行与垂直是几何间的某种关系。
二、用集合论的语言表述有关概念更为简洁
例如：（1）平面图形中以圆点为圆心、1为半径的圆周， 闭（开）圆面可分别表示为：A={（x，y） ∈R：x2+y2=1}
A1={（x，y）∈R：x2+y2≤1}
A2={（x，y）∈R：x2+y2<1}
（2）诸如方程组的解集、不等式的同解变形等概念，用集合论的语言也都十分简洁。
（3）{正方形}={矩形}∩{菱形}。
{正方形} {矩形、菱形} {平形四边形} {四边形}。
特别是表明概念间的层次关系，形成概念体系时，用集合论的语言更为清晰。
三、集合论的思想方法便于阐明中学数学中的疑难问题和易错的问题
例如，用数集上的顺序关系、运算关系可以清楚地阐明“复数为什么不能比较大小”的问题，指出“大小关系”是建立在顺序关系和运算关系两种关系基础上的，是对加法和乘法“正元”保序的一种顺序关系，而顺序关系与运算无关。
又如用集合论的思想方法处理方程组的同解问题、不等式的同解问题时十分有效，特别是在逻辑分析中，便于理顺逻辑关系。
四、集合论的思想方法对解题的指导作用
许多综合问题，尤其是分类计算问题，经常可以通过文恩图这种集合论的直观语言帮助理解，提供解题思路。
例：甲、乙、丙等n人排成一列，甲不能排头，乙不能排尾，这样的排法共有多少种？
解：记E={n人排成一列的所有不同排列}
A={n人排成一列甲排头的所有不同排列}
B={n人排成一列的乙排头所有不同排列}
符合题意的排法结构共有：
S（E-（A∪B））
=S（E）-S（A∪B）
=S（E）-[S（A）+S（B）-S（A∩B）]
=S（E）- S（A）-S（B）+ S（A∩B）
=n！-（n-1）！- （n-1）！+（n+2）！
这样就避免了容易漏加S（A∩B）的错误。
因此，教师在教学过程中不应只单纯看学生是否会解题，而是要看学生是否会动脑，应加强数学思想方法的教学，学生掌握了数学思想方法就能更快捷地获取知识、更透彻地理解知识。要鼓励学生大胆猜想，培养学生的创新能力。当然，要使学生真正具备个性化的数学思想方法，还要有一个反复训练、不断完善的过程。这就要求我们教师在教学中大胆实践，持之以恒，寓数学思想方法于平时的教学之中，使学生真正形成个性的思维活动，从而全面提高自身的数学素养。