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策划人语
众所周知，口算是一切笔算、简算和估算的基础，课程标准强调“要重视口算”。而实际情况是，很多人认为口算就是简单的口头计算，只是一种单一的运算技能，没有多大的思维含量，因此长期以来使得口算处于“集体轻视”状态。
本期这组文章，从一项一年级初入学儿童的加减法基本口算现状的调查谈起，进而引发我们深入思考：课程改革后学生的口算能力为什么下降?当前的口算教学到底出了什么问题?怎样采取有效策略提高口算教学的效益并影显其核心价值?
从一项口算能力调查谈起
徐 斌
一 问题的提出
笔者在一年级数学教学以及调研中常常发现，一年级新入学儿童的加减法口算能力很不平衡。有的学生在学前就已经经历了几年的加减法计算练习，有的学生不仅10以内加减法能熟练计算，甚至20以内、100以内加减法也会计算，同时也还有不少学生20以内加减法基本不会计算。这样的情况，给我们的数学课堂教学带来了很多值得思考的问题：一年级新人学儿童的20以内加减法口算能力到底是怎样的现状?造成这种现状的原因有哪些?面对这样的现状。如何改进我们的计算教学?入学之前的加减法口算学习对入学后的数学学习有怎样的影响?
二 调查的方法
1 调查对象。苏州工业园区第二实验小学2007年和2008年秋季一年级新人学的所有儿童。调查时间为当年9月中旬(调查时间之所以安排在9月中旬，主要基于如下考虑：一方面，9月上旬，刚入学儿童的各项学习常规尚没有初步形成，甚至有少数学生书写数字还不会；另一方面，此时尚没有正式学习加法和减法，不会影响所测内容的客观性)。
2 调查内容。20以内加减法。我们设计了4份口算测试卷，分别测试lO以内加法(25题)、lO以内减法(25题)、20以内进位加法(36题)和20以内退位减法(36题)。命题时依据随机原则安排题目呈现的顺序，同时考虑题目的典型性与分布率。
3 调查方式。本调查采用试卷测试、观察、访谈等方式，共收回有效试卷707份。
三 调查结果与分析
经过两年的调查，我们对有效试卷采用SPSS11.5工具软件进行了数据处理。结果如下：
从表2、表3的分类统计可以看出：
(1)10以内加减法的得分分布情况类似。前四个分数段(0～5，6～10，11～15，16～20)的人数比较少：10以内加法2007年占总数的2，64％，2008年占总数的1.13％：10以内减法2007年占总数的8，68％，2008年占总数的6.34％。而第五个分数段(21-25)的人数很多，10以内加法2007年占总数的97.36％，2008年占总数的98.87％；10以内减法2007年占总数的91.32％，2008年占总数的93.66％。这反映了新入学儿童大多数会计算10以内的加减法。
(2)20以内进位加法和退位减法的得分分布情况略有不同。总体上，进位加法计算的前六个分数段(0～5，6～10，11～15。16～20，21～25，26～30)的总人数2007年占总数的26.04％，2008年占总数的39.37％。而第七个分数段(31～36)的人数都超过了60％；退位减法的得分情况很不均衡，尤其值得关注的是2008年测试中，退位减法0～5分的学生占到了48.42％，比2007年的16.60％足足高了31.82个百分点，这表明2008年有将近一半的学生几乎不会计算20以内退位减法。
四、结论、思考与建议
1 结论。从以上调查，可以看出一年级新入学儿童20以内加减法基本口算能力情况：
10以内加法的口算能力很强，10以内减法的口算能力比较强。由于儿童在学前的生活中经常见到10以内的数。而且通过观察和访谈得知，学前儿童大多在家长和幼儿园里非正式地学习和接触过10以内加减法。具体有如下的几种状况：大多数儿童是依赖实物数数(包括扳手指头)来获得结果的，少数儿童能初步由逐一计数过渡到按群计数，极个别儿童已经通过多次口算而摆脱了实物依赖，能熟练算出得数。
20以内进位加法的口算能力比较弱，20以内退位减法的口算能力很弱。虽然从认数和数数的范围来看，入学前儿童似乎能数20以内甚至100以内的数，但是，他们的认数水平是表面的，很少有儿童能从数的位值原则和计数原理的角度来认数和计算。所以，20以内加减法的口算能力与10以内加减法相比。明显较弱。通过观察发现，那些依赖扳手指头来计算10以内加减法的儿童，在计算20以内加减法时，由于手指头不够用而无法计算。
通过学生测试时的观察以及个别访谈我们也发现，新入学儿童20以内加减法运算的策略差异性很大。主要表现为以下几种策略：逐一数手指，按顺序口头数数，通过扳手指接下去数，用数的组成算，通过凑十或分解推算，直接提取记忆结果，等等。我们认为，新入学儿童进行20以内加减法运算策略的运用，反映了儿童对数概念及其关系的理解与运用，反映了儿童早期数学认知发展水平和个体差异，是其非正式的数学认知能力之一。对进入小学后的正式数学学习将产生重要影响。
2 思考与建议。
(1)对教学的建议。首先，重视10以内加减法的基础教学。6～7岁儿童的逻辑运算能力处于“前运算阶段”，并逐步向“具体运算阶段”过渡，简单计算事实上还未完全进入其长时记忆系统，其计算需要依赖于感知经验。儿童入学之前计算加减法，往往是依靠扳手指或借助其他实物数出得数等外部策略获得结果。因此，一年 级教学这部分内容时，要特别注意把认数与计算结合起来，使学生在理解加、减法含义的基础上学会计算。教学时，可以在直观情境中先帮助学生理理加、减法含义，然后放手让学生算出得数，再引导学生说出计算方法，在观察、比较、归纳中逐步过渡到利用10以内数的组成来按群计算，并逐步摆脱手指和其他实物，再通过训练，达到看见或听见10以内加减法，都能很快直接说出得数，从而达到“自动化”的程度。
其次，加强20以内进位加法和退位减法的方法教学。小学生口算加减法的方法一般存在3个层次：逐一重新计数一借数数加算或减算一按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不作计算速度的要求。20以内进位加法和退位减法与10以内加减法不同的是，在计算过程中除了要用到数的组成以外，更重要的是计算方法问题。尽管课程改革以来，在计算教学中大力倡导了“算法多样化”的思想，但是，在教学时也要重视“基本算法”。20以内进位加法教学时，要帮助学生深入理解“凑十法”的基本原理；而20以内退位减法教学时，要利用加、减法的内在联系，帮助学生灵活掌握算法。而且在教学中还要注意，对某一个学生来说。不要求“一题多种算法”，以免互相干扰。
再次，科学进行20以内加减法的口算训练。口算，“原先是一个思维问题，一旦掌握了计算法则，经反复练习，也就成了记忆问题”。基本口算作为一项基本功，在整个小学阶段要不断线地进行训练，应结合不同年级的教材和学生的特点，恰当地提供训练材料，做到适时、适量、适度。口算训练时，要特别注意目的性和针对性。由于基本口算结构单一，数域范围小，有些教师容易忽视或命题时随意性很大，易造成各题练习次数不合理，甚至出现易题多练、难题少练的现象。因此要在具体分析的基础上，合理选择训练的内容。针对学生口算能力形成的心理特点，在开始练习时，应注意练习的量不宜太大，速度不宜太快。确保口算的准确性和思考过程的清晰度；一段时间后。适当增加练习量并提出速度要求；最后达到看到算式就能较快地说出和写出得数的目标，使学生建立起算式与得数之间的直接联系，简缩思维过程，并逐步提出口算自动化的要求。
(2)对教材的建议。由调查发现，新人学儿童10以内加减法口算的基础比较好(有超过半数的学生会正确计算)。因此在一年级数学教材编写时，可以适当缩短这部分内容的教学时间，把更多的篇幅用来进行20以内进位加法和退位减法教学。例如苏教版课程标准教材一年级上册中用了35个页码(P40～P75)近30节课时来教学10以内的加减法，人教版一年级教材中用了60个页码(P14～P31教学“1～5的认识和加减法”。P42～P83教学“6～10的认识和加减法”)近50节课时来教学10以内加减法。北师大版一年级教材也用了28个页码(P22～P49)20余课时来教学10以内加减法，西南师大版一年级教材用了50个页码(P4～P53)近40节课时来教学10以内加减法。笔者建议教材编写这部分内容时，尽可能缩短10以内加减法的课时或者给予更多弹性安排，把更多的时间用来在教材中适当增加口算的练习量，增加训练的形式，以提高口算教学和训练的实效性。
(3)对学前计算教学的建议。经过观察和访谈发现，学前阶段儿童的加减法计算。大多是家长和幼儿园老师教会的。而不同水平层次的家长对儿童加减法的口算教学所采用的方法各不相同，有的是死记硬背，有的是纯粹数数，还有的完全依赖实物。而且。大多数家长在教孩子口算时，单纯地停留在机械计算层面上，很少从加、减法的含义方面来帮助学生获得实质理解，学生只是处于模仿、重复和记忆之中。这样的提前教学，表面上看，不少学生似乎能计算不少口算题，实质不利于学生形成对数学的本质了解，也阻碍了学生正常的思维发展。因此，建议家长不要过多地教孩子机械和单一的计算。而更应该结合学生的生活实际，帮助学生建立对数学的基本认识，培养对数学的浓厚兴趣。经过对有关幼儿园计算教学情况的走访发现，幼儿园里有关数学方面的教材。很多把本应该在小学教学的认数和加减法计算提前教学了。因此，建议学校和幼儿园之间多进行幼小衔接方面的沟通，以有利于儿童科学、高效地学习20以内加减法。
总之。本次调查使我们从源头上认清了学生基本口算的概况，同时给我们的口算教学提出了挑战：如此大的口算能力差异我们该如何应对?其他年级学生的口算现状又是怎样?如何寻找最合适的策略去提高学生的口算能力?
(作者单位：江苏省苏州工业园区第二实验小学)
口算教学，怎一个“烦”字了得?
陈惠芳
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“课程标准”)把运算作为必须具有的数学应用技能之一，特别指出要重视口算，加强估算。“课程标准”还提出了各个学段的基本运算应该达到的速度和正确率指标，要求学生运用合理的计算策略，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。随着课程改革的深入实施，口算教学也日渐成为一线数学教师普遍关注的焦点内容。一线教师普遍感到口算教学看似简单，实则难以把握，甚至存在效率低下的现状，挺“烦”人。那么，新课改背景下，小学数学口算教学究竟有哪些突出的问题?
一 面对灵活开放的教材。忽视文本解读
较之老教材，新教材在每一个知识点后，并没有出现规范的计算方法的总结语，也没有完整的提示语。这就给一线数学教师提供了更大的自主开发教材的空间，也给学生的自主探究性学习提供了机会。然而，灵活开放的教材也时时拷问教师解读教材的能力。
例如五年级初学小数乘法。教材首先出示了情境图：“夏天每千克西瓜0.8元，冬天每千克西瓜2.35元，夏天买3千克西瓜要多少元?冬天买3千克西瓜需要多少元?”对于这样一个现实问题，教学时是从小数加法引入小数乘法的，而竖式计算时，应该怎么书写，如何进行计算，教材上没有出示相应的方法，在“试一试”中有这样一句提示语：“在小组里说说小数和整数相乘应该怎样计算。”教学时，究竟应该如何把握编者意图，需要教师对教材进行认真分析。小数乘法的基础是整数乘法和小数加法，而竖式计算时学生需要掌握一定的算理和算法。因此。教学这部分内容时。应加强两位数乘一位数的乘法口算练习。但事实上，部分教师没有很好地挖掘教材的内涵，往往就情境而情境，缺少结合笔算教学同时加强口算练习的意识和行为。是探索式，即经过自己的独立探究、思考，创造出算法。就计算方法而言，算法多样化是新教材最显著的特点之一。口算方法的多样化，有其成功的方面，也给少数学困生带来了学习上的“后遗症”。
比如教学“9加几”时，教师让学生自主探索或者同桌合作，想办法算一算9 4得多少。交流环节。第一位学生借助小棒数数，从9一直数到了13，他得出9 4=13； 第二位学生先从4里面拿出1，与9凑成10，再用10 3，得到了13；第三位学生从9里面分出6和4凑成10，再用3 10得到了13；还有的学生直接把9看作10，先加4，再减去1，结果也等于13……教师一一给予了肯定。其实，本节课中，应该重点让学生掌握“凑十法”的思考过程，而教师并没有很好地加以重视。所以，在接着计算9 5、9 6、9 7等算式时，学生依旧用了多样的口算方法，教师对每种方法都进行了肯定性评价，部分学生无所适从。到下课时连最基本的凑十法也没有掌握。
其实，算法“多样化”追求的是尊重差异、尊重真实、尊重学生的原生态思考，而算法的“优化”就是让学生根据已有的知识经验，在多样化的算法中，找到一个普遍都能接受、最能理解和最容易掌握的算法的过程，“多样化”只有得以“优化”。才能更好地促进口算能力的提高。
三、算理与算法之间脱节。忽视方法渗透
算理和算法是相互联系、有机统一的一个整体，是计算教学必须关注的两个方面。算法是对行为的规定，是计算的具体方法；算理是对算法的解释，是计算的原理。口算教学，只有让学生正确理解算理，才能灵活掌握算法。而事实上，算理与算法脱节，造成算法抽象与算理直观之间出现了断层，已经是口算教学中常见的问题。
如教学二年级下册“一位数乘两位数”时，一位教师出示教材情境图，引导学生列出算式14×2。如何计算呢?教师让学生讨论交流。有的学生说用加法做。14 14得到28；有的通过看图，右边筐里一共是8个，左边筐里一共是20个，合起来是28个；还有的用乘法想，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28；还有一学生说。14是2个7，乘2后就是4个7，用口诀四七二十八……可见，学生采用口算14×2的方法是多种多样的。但是，在引导学生用竖式计算时，该教师脱离了口算，直接讲述抽象的算法，机械地讲解先乘什么，再乘什么。其实，为了避免算理与算法的脱节，可以在学生初步理解算理之后。不着急抽象算法，而是让学生运用初建模式进行同类练习。然后组织学生观察和比较，学生发现，第一次乘的结果是一位数，第二次乘的结果都是两位数(并且是整十数)；还有的发现，得数个位上的数就是第一次乘得的数，十位上的数就是第二次乘得的数十位上的数。此时可以逐步抽象出简化竖式(算法)，从而使学生掌握类似这样的“一位数乘两位数”的计算方法。
可见。口算时学生要将计算分割成很多的小过程(如上面的4×2，10×2)，将各种信息在头脑中合理地进行拆分、拼组等。并要在短时间内完成所有步骤得出正确结果，这是一个很高级的心理活动。而学生正是通过这样的心理活动，锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力(短时记忆力)和创造性思维能力。这不仅是口算的价值之所在，而且是教材安排口算教学内容的出发点。
四、只重视结果的正误。忽视过程指导
很多教师平时也加强口算训练，而事实上，许多教师只重视学生口算结果是否正确，而忽视过程指导。
例如在口算20x30时。很多学生会受20 30加法的影响，算成50或500，教师应该让学生说一说，当时是怎么想的，提醒学生以后看清楚运算符号：在用竖式计算2x34时学生的正确率还可以，但口算2x34时，会把答案写成86，显然在口算时随意性比较大，口算时的对位思想比较淡薄，此时，应该提醒学生看清楚8是几乘几得到的。6是几乘几得到的，写得数时要注意一一对应；在口算35 38时。学生往往会忘记进位。算成63；在口算52-19退位减法时，会不退位算成47，而不注意当个位上不够减时应从十位退一作十再减，看似简单的算理，学生的理解尚需一定过程。可见，口算出现问题，教师不能简单评判“对”还是“错”，而应该尽可能地挖掘错误背后的教学资源。要分析错误原因，是学习习惯问题，还是口算方法问题，是心理因素影响，还是短时记忆问题。只有找到错因，才能进行有针对性的过程指导，口算训练才能真正落到实处。
五、训练时重“量”轻“质”，忽视习惯培养
良好的习惯有助于提高学生的学习能力，而不良答题习惯经常会引发学生计算错误。目前很多教师在口算训练时重“量”轻“质”，忽视学生良好学习习惯的培养。
如学生练习口算时，听题、读题、抄写答数往往不够仔细，经常把1写成7，把6看成9，把5写成3等，或者看错运算符号，把“ ”看成“÷”等等。在口算加减法时，忘记进位和退位，口算除法时，余数不能正确处理。如口算800÷30=26……20，余数算成了2。因此，我们不能把这种错误简单归咎于“粗心”或“马虎”，而应该重视学生学习习惯的养成。教师要注意培养学生良好的审题习惯，克服提笔就算的毛病。不妨通过听算训练学生听的习惯，要求书写工整；通过视算，训练学生看的习惯，要求学生看清楚并正确记忆。培养学生思考的习惯，看到题目要寻找最简(最优)算法。检验的习惯，口算时要有细心、认真、负责的学习态度。还有改错的习惯，要让学生学会主动分析自己出现的错误。总之，学生在任何地方、任何状态下完成口算题时应集中注意力。不说话，独立思考。养成“看清题目、注意符号，正确口算、书写整洁、自觉检查”的良好习惯。努力提高口算正确率。
六、关注实际问题解决。忽视相机训练
毋庸置疑，口算存在于生活的每一个角落，存在于数学学习的每一个领域之中。在小学阶段，学生的思维处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，发展逻辑思维是学生数学学习的内在要求。也是促进学生智力发展的有效途径之一。课堂上，很多教师只关注问题解决。而忽视相机的口算训练。
如：六年级在复习圆柱、圆锥一单元时，计算比较复杂。尤其是圆柱的表面积、侧面积与体积，圆锥的体积计算等。很多算式中。都会出现3.14与半径的平方的乘积。学生常常会算错。其实，平时在教学“解决问题的策略”时，可以有意识地引导学生进行相关的口算练习，去熟记一些常用的公式、计算的结果，这样能有效地帮助学生进行问题解决。尤其通过一些算式的观察比较，找寻规律，发展数学思维，提升学习品质。可见，口算练习与其他知识的学习不能孤立开来，应该把口算练习融入数学学习的整个阶段。
七、练习形式设计单一。忽视兴趣激发
一堂计算训练课，一定有它内在的生长逻辑。什么是教师该传授的?什么是该让学生自主探索的?教学时若能将教材的内在结构转化为课堂的教学结构，不仅能突显口算教学的主干，也能使课堂变得疏密有致。日常的口算教学中。我们常常发现教师不能根据学生各年龄段的心理特征，设计不同形式的题目吸引学生的眼球，而是练习的形式单调，学生感到乏味。还有的教师平时不加强练习，只在期末测试前才进行突击，并加大练习量。这种过分集中的方式。更容易使学生产生厌烦情绪。
另外，很多教师进行口算教学时，总是用投影、卡片或直接用书上的口算题呈现出来，采取的方式大多是视 算。包括看题目直接写出得数和看题目口述得数两种方法。经常采用单一机械的训练形式，学生容易“审美疲劳”。其实，像低年级学完乘法口诀，初步理解口算原理与方法后，可以进行以口诀为中介的多样化口算：先进行见算式一说口诀一写得数的训练，如4×5，先出声说口诀“四五二十”，然后写出得数20；再进行见算式一想口诀一得结果的训练；最后是“一诀四式”的训练。倘若每个学段有意识地加以引导，口算练习的密度就提高了，口算技能的形成就指日可待。
八、家长“揠苗助长”。忽视家校携手
“严格控制学生在校作业量”“切实减轻学生过重的课业负担”，当众多的新闻媒体开始关注学校、关注学生时，教师思想解放了，家长却愁眉苦脸了。由于每个学生的家庭文化背景不同。其家庭教育方法也不尽相同。学生之间的差异相对明显。一部分家长认为。孩子进了学校，就由教师负责，课堂上学好就行，家里用不着帮助孩子进行口算训练，而另一种家长“急中生智”，加大练习。往往“揠苗助长”。他们买相关的口算本、参考书，开“小灶”。这种现象在低年级家长中尤为突出。殊不知。不合理安排训练时间，不讲究训练方法。久而久之，孩子谈“算’色变，闻“算”而逃。调查发现，很多孩子在进入一年级学习时，能进行10以内的简单口算，有的还学会了一些简单的整十数加减，个别甚至能做20以内的进位加和退位减了，但到真正接触这些内容时，学生昏昏欲睡……可见，家长操之过急的心态，机械盲目的训练，并不科学的辅导方法，使很多学生从此失去了正确口算的自信。
九、过多依赖电脑演示。忽视示范引领
目前，随着信息化社会的到来。很多青年教师上课都喜欢使用多媒体手段，变革教学方式，尤其是低年级的数学课，使用课件(光盘)的特别多。这其中有积极的一面，可以借助多媒体手段突破教学重点、难点，节省一些时间让学生进行练习，但也存在一些不利因素。有些教师整节课都利用多媒体进行演示操作，生动的图画、逼真的效果，学生学的时候兴趣盎然，看的时候目不转睛，而到独立练习时却头脑空空。很多教师的数学课，黑板上连课题都不板书，都在电脑上操作演示，一闪而过，忽视示范引领和过程展开，以致新课结束时，黑板上一片空白。这样的口算教学失去了教师应有的主导作用，缺失了学生参与计算算理和算法的形成过程，无疑是有缺憾的。
十、考核评价方法随意。忽视目标导向
笔者发现。目前的小学数学考试，虽然也从多个方面来考查学生的数学基础知识、能力，但对口算的专门考核和评价，还缺少科学合理的方式。一般的数学期末考试，口算题安排在试卷里面，题量很少，覆盖面不广。难以真正考查学生的口算技能；有的口算测试，单独进行考核，一般以年级为单位，利用几分钟进行单独测试，题量一般在20～50道左右。但各个学校的做法不尽相同；有的口算测试只考查正确率，不考查速度，缺乏全面评价；还有的口算测试，对速度的要求过高，有的甚至要求学生每分钟口算50道甚至60道题。口算教学，究竟如何进行测试?试题的难度如何把握?看来，测试忽视目标导向，考核方法随意，显然不能正确反映学生口算能力的真实水平。因此，从有效教学的角度看，我们显然需要更加理性地思考：如何针对学生的年龄特点、认知规律进行口算测试，发现问题，进而行为跟进，真正提高口算教学的有效性。
(作者单位：江苏省张家港市教育局教学研究室)
对口算算理、算法的辩证认识
贲友林
什么叫算理?什么叫算法?这是进行口算教学必须首先搞明白的问题。算理就是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算的方法，解决“怎样算”的问题。如何认识口算中算理与算法的关系，下面谈一些想法。
“有”与“无”
对于小学生的口算来说，核心的内容是基本口算。所谓基本口算主要指20以内加减法和表内乘除法。除了这些基本口算。要求学生掌握的还有简单的两位数加、减法及百以内的乘加、乘减、除加、除减等；在小数、分数四则计算中，也有相当数量的口算内容。那学生在学习这些口算时，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基础上掌握算法的呢?
先从最简单的加法说起。3 2。怎样算?为什么这样算?就这两个问题，我访谈了大学教授、小学数学教研员和小学数学教师，但他们没有一人能做出解释。其实不难发现。我们往往脱口而出3加2等于5，我们的策略是“直接提取”，也就是说，3加2等于5，我们成人已经形成了“计算自动化”，在我们的头脑中已经有了现成的答案，我们可以迅速地从长期记忆中提取有关数学事实。
那我们在一年级教学时。又是如何处理3 2的呢?一种常见的教法是借用数的组成想得数，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我们知道，在学习3 2=5之前，已有相当一部分学生知晓3 2=5；我们也知道，有学生最初就是用“数手指”的方法数出来的。之后，又由数手指发展为数数，即接着3之后数两个数：4、5，所以，3 2=5。这样的算法，我们也许觉得很幼稚，但这样的算法，恰恰最接近加法的定义。在递归算术中，自然数的加法可以用求继数的运算来定义。如，求3 2的和，就是求3的继数的继数。即在自然数中，从3往后数2个数所得出的5。
毋庸置疑，一段时间之后，学生在算“3 2”时也都形成了“计算自动化”，3 2等于5，都储存于记忆中。这时，算法已经脱胎于算理。学生学习基本口算就是在头脑中构建一个“数学事实库”的过程。继而完成从构建事实到提取事实的转化。
我们是否可以这样理解：最初，学生在口算时，可能有算法而不知算理；后来，知算法而且知算理；再后来，又是有算法无算理。也就是说，在学生学习口算探索与掌握算法的不同时段，他们计算时是否具有算理，经历了“无——有——无”这样一个过程。
由此推想，不同的口算内容，算法与算理是否也表现出像这样脱离、融合、脱胎的不同阶段之分呢?
在口算教学时，学生不理解算理，教师需要引导，否则学生的计算只是停留于形式化地计算，他们只是机械地掌握计算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教师却不要太多地纠缠于算理。
“一”与“多”
在学习口算两位数减两位数44-25时，学生独立思考之后交流了各自算法。
算法1：44-5=39，39-20=19——把减数分成5和20，从被减数中依次减去。
算法2：40-25=15，15 4=19——把被减数分成40和4，先从40里减去25，再把所得的差与4合并。
算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19——个位上4减5不够减，还差1，就从十位上减得的差20里去掉1。
算法4：44-24=20，20-1=19——把减数分成24和1，再从被减数中依次减去。
算法5：30-25=5，14 5=19——把被减数分成30和 14，从30里减去25得5，再把14和5合并。
算法6：14-5=9，30-20=10，10 9=19——竖式计算的方法。
算法7：十位上，30-20=10；个位上，14-5=9；得数是19——先算十位。再算个位。
算法多样化是学生独立思考后自然生成的。细细分析各种算法。算法1和算法4的算理是一样的，都是把减数分成两部分，从被减数中分别减去；算法2和算法5的算理是一样的，都是把被减数分成两部分，其中一部分减去减数后再与被减数的另一部分合起来；算法6和算法7都是在头脑中构建竖式，算法6从个位减起，算法7从十位减起。由此可见，就算题本身来说，算法是多样的，但算理可能相同。
再说一例。学习小数乘法，一组口算练习之后，反馈时发现，有几位学生在口算20×0.4这一题时出错了。教师指名一位学生口述算法：先算20乘4等于80。再点小数点：8.0，化简得8。学生采用的是“类似笔算的口算”。即在头脑中想20×0.4的竖式并算出得数。教师在学生口述算法的过程中板书：
教师如上板书。是让学生理解其算法的算理，即应用了乘法中因数变化引起积变化的规律进行口算。
一位学生举手：我是这样算的：20xO，4=2×4=8。教师追问：你为什么这样算呢?学生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不难发现，这位学生交流的是“分解因数、运用乘法结合律”的方法进行口算。
。
又一位学生举手：我也是这样算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一个因数除以10，另一个因数乘10，积不变。如果完整写出这位学生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。
后两种算法，如果不去追问思维过程，我们也许会做出“算法相同、算理相同”的判断，然而，看似相同的算法，其实并不同。但算理却是相同的。当我们看到的是“一”，也许仅仅是表面形式的相同，其内部蕴含的可能是“多”。学生的思维过程是丰富多彩的。口算教学中，存在着的一种现象是，教师重结果、轻过程，只满足于口算正确，不愿花时间去分析学生的思维过程。我们要注意克服这种不良倾向。在口算时，鼓励学生“用你的脑子去算”，而不仅仅是“在你的脑子里算”。
“有用”与“无用”
对于算理与算法。学生在实际口算时往往更注重算法，因为按其操作即可算出结果。教师关注的焦点是学生要算得对、算得快，至于“为什么这样算”，往往不够重视。那算理是“有用”还是“无用”呢?
有这样一次“意外事件”。由于制作试卷的疏忽，在五年级学习小数加、减法之后的单元测试卷上出现了这样一道口算题：3.6×0.5，这道题原本应是3.6 0.5。显然，这样的算题如何计算学生还未学习。我想了想，决定不改题，看看学生能否独立探索解决“未学过”的问题。为了解学生具体的思维过程，我让学生在试卷上写下口算3.6×0.5是怎样想的。结果发现：全班47位学生参加测试。有25位学生正确算出结果。其中有10位学生的算法是写出竖式，用笔算的方法算出结果(对这样的算法，我又找几位学生进行交流：为什么积是1.8?学生的回答是：3.6的一半，应当是一点几；36乘5得180，结果是两位小数，化简后是1.8)；有14位学生根据3.6×0.5的意义算出结果，他们的算法是：一个数乘0.5，得数是这个数的一半。3.6÷2=1.8：还有1位学生运用乘法分配律的方法算出结果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5 0.3，就等于1.8。
学生为什么在未学的情况下能算出来?尽管正确算出得数的25位学生未必都理解算理，但可以发现，如果他们理解了算理，那么他们基本上就能正确算出算题。算理有助于学生探索算法。有算法时，不一定能说清算理；但有算理。可以转化成算法。
又一则例子。口算整百数乘一位数400×2，学生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添两个0。为什么在8后面添两个0，学生解释不清楚。教学时。教师要让学生给自己的算法找一个合理的解释，在学生解释的过程中引导学生理解：4个百乘2，得8个百，也就是800。由此，学生可进一步在理解算理的基础上计算像4000×2、40000×2这样的算题，而不停留于“照葫芦画瓢”式的模仿计算。
综上所述，算理不是没有用。而是教师在教学中是否发挥其作用。不要把算理、算法作为“两张皮”。算理为计算提供了正确的思维方式。保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的。算法往往是显性的。它们相辅相成，算理的探讨有助于学生探索算法、掌握算法。当然，在口算学习过程中，也要注意避免程式化地叙述算理，对算理的一味推崇容易让学生陷入空洞抽象说教的泥潭，不过，对算法的过度操练也容易让学生走向机械重复练习的窠臼。
(作者单位：南京师范大学附属小学)
调动儿童的“心智”来口算
缪建平
口算，就是“边心算边口说地运算”，它是不借助计算工具(如笔、纸)，直接通过思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法。口算应该是“用你的脑子算”，而不只是“在你的脑子里算”。口算时，计算者要将计算分解成很多的小过程。要将各种信息在头脑中进行合理的拆分、拼组等，并在短时间内得出正确结果。因此它是一种高级的“心智”活动。通过这样的心智活动，计算者锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力(尤其是短时记忆力)，口算也为个性化、多样化地解决问题提供了机会。那么，如何调动儿童的“心智”来口算呢?
一、理解与记忆
就整数计算来说，其中的口算通常分为3类：①基本型——一位数加法和相应的减法、表内乘除法。这是笔算乃至所有计算的基础，要求学生人人过关，不仅要计算正确，而且要求口算答案输出的“自动化”，即要熟练到能脱口而出的程度。②发展型——两位数加减整十数、两位数加减一位数、两位数加减两位数和两位数乘(除以)一位数等。前两种口算安排在相应的笔算之前进行教学，而后几种都是在笔算之后再教学。这类口算只要求掌握方法、正确计算，不再有高速度的要求。这类口算不再作为“笔算的台阶”。而是课程中相对独立的部分。但教师在实际教学中明显感觉到，如果这一类口算学生也能基本熟练，无疑更加显示出儿童在解决问题时的优势和自信。③灵活型——运用运算性质等进行简便运算。在这一类口算中，计算方法的合理、灵活和简算意识的强弱即是其数学心智水平高低的主要标志。
在小学数学教学中，大都比较重视长时记忆，而对短时记忆的培养则比较忽视。其实短时记忆对小学生的数学能力的发展有至关重要的意义。比如口算23 19时，就需要短时记忆，如果短时记忆能力较弱。那么在十位上的数相加时，只算2加1的和是3，经常忘掉个位上满十进上来的1，这在两位数加两位数口算训练的早 期是较为常见的现象。
有研究表明，用“工作记忆”代替“短时记忆”能够更加准确地说明这一部分记忆系统具有动态过程的特征，而不只是静态的存储。重要的是，信息在工作记忆进入意识后我们才能处理。如何避免或消除儿童口算中“工作记忆”的错误呢?以下3种促进学生理解的策略能有效帮助学生记忆水平的提高：
首先，“复述”策略。研究表明，工作记忆中的信息大约持续半分钟。如果要将信息加以修正并保存更长的时间，就必须通过复述过程得到重新存储与更新。如上面的“两位数加两位数”口算，如果学生错了，我们不妨减慢学习材料呈现的速度，并辅之以让孩子复述其计算过程，进而让他们自己在口述中知道“十位上要加个位上进的1”，这种个别指导就会大大增加“首因效应”。于是更为复杂的、逐渐积累式并且更加聪明的复述策略就会产生——“如果眼睛瞄到个位相加满十了，一定要在十位上的两个数相加时多加1：如果瞄到个位上的两个数相加不满十，不必考虑加1”。
其次，“表征”策略。通过多感觉表征，也将会大大提高记忆的效率。现行教材中，试图通过许多情景图来进行口算的教学，无疑能帮助儿童“通过解决实际问题加强运算意义的理解”。《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”因此，教师在口算教学中既要努力做“算法多样化”的引导者。更要做“算法优化”的促进者。
再次，“组块”策略。有意义的组块策略是为了克服工作记忆的“有限空间”。有关研究表明，成年人短时记忆只能容纳7项信息，儿童工作记忆容量还要小。在这种情况下，必须为儿童提供“认知支架”。比如儿童起初学习小数乘除法的口算时，经常为小数点点错而苦恼，我们就利用“组块”来帮助学生认清结果与两个已知数之间的关系：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……4÷5、4 50、0.4÷5、0.4÷0.5……对于除数是小数的除法，还要求他们先把它转化成除数是整数的除法写在原式的下方，以减轻“工作记忆”的负担。渐渐地。学生就会厘清结果与两个已知数之间的关系及运算规律，加之“估算”能力的同步培养，他们的口算水平也一定会逐步提高。
二、结构与建构
日常的口算教学或口算训练中，我们经常可以看到这样的做法：教师在课堂之初，总是拿着不断变换的卡片，不停地进行着口算训练，以期取得“熟能生巧”的教学效果。但实际情况却差强人意，原因何在?我们需要反思。
首先，你给学生进行口算训练时，有没有一个完整的知识结构呢?如20以内的加法与减法。教材中教学是分课时进行的，我们要做的首先不应该是“打乱”卡片的无序训练。而是整齐排列的“完整呈现”，这样的呈现还要不断地进行，以促进学生对数与数之间加减运算关系理解的不断深入。因为学生总是通过简单计算逐步积累数学经验再形成数的概念与组建认知结构的。如果教者煞费苦心地阻止一种明明无法阻止的形成记忆经验的做法，即认为这是在进行口算的思维训练，最终只能是使学生多做题，增强课业负担，走了弯路，效果却不佳。
我们曾进行过20以内加减法的对比试验。一种采用“打乱”卡片的训练法，一种采用“整体呈现结构化材料”(如下表)，鼓励学生尽可能记住结果的方法。以下是关于20以内加减法运算的知识结构表。有81对加减法关系。
在上表中，处在AC及其左上的45对数字，都是两数相加结果等于或小于10的，好差生均能熟练掌握。不是构成口算速度差异的主要原因。构成儿童口算困难的是由AC以下的36对数组成的习题。在这之中，又以BD为界，上下各16对，只是数字调换了位置而已，可以合二为一。BD框中是“对子数”相加的和学生容易记忆，运算也不易出错。
经过上面的分析，实验班的老师在进行20以内加减法口算训练时。只要让学生将ABD区打“○”中的较为生疏的9对数字关系组成的习题侧重训练，鼓励学生自然记住运算结果。同时，对口算较慢的学生进行个别指导，他们一般都能跟上全班学生的平均速度，而学生比对比班的至少要少做近100多道训练习题，学生负担轻了，但效果却尤佳。
为什么会取得较好的效果呢?原因就是：结构化的口算训练材料。让儿童大脑中形成了20以内的加法口算结果的记忆经验。这些经验在复杂的减法口算中迁移，是造成他们比另一些儿童减法口算迅速的主要原因。而减法口算反应慢的学生的大脑中并不是完全没有可利用的记忆经验。他们只是对少数几对二十以内数的减法关系有零碎的记忆经验或尚未形成完整结构。
三、建模与求简
口算练习中学生在瞬间要进行各种复杂的思维活动，它要求把算题进行分解、转换、变式、重组……从而迅速、准确地解答。口算教学的重要任务就是要在引导学生正确解答的同时，培养学生的思维能力，不断建立新的模式结构；而建立数学模型又可以让学生更快、更好地解决问题，从而形成良性循环。
引导学生在学习中形成认知冲突，有助于学生建模。比如。在小数除法教后，教者出示了一道7÷25的算式，让学生笔算，当学生算完后，老师告诉学生：其实这道题，老师一看题目，马上就能知道得数了!同学们不信，于是老师迅速报出0.28!学生一片哗然。不行!一定是老师事先算好的。随便一道试试!老师说：有个要求，除数一定是25，被除数一位数、两位数都行的!于是有学生出题：9÷25，老师迅速报出0，36 1学生再出题：42÷25，老师迅速报出1.68!学生开始沉思起来，老师于是引导大家一起思考：能不能从25上面去突破呢?渐渐地，同学们知道了：7÷25=(7×4)÷(25x4)=28÷100=0.28。另外两道题也是同样的道理，只要把被除数乘4再除以100就行了，真灵!同学们不禁欢呼起来，为自己的探索成功而自豪!于是，老师又出示了一组相关的题目，学生一个个争先恐后，口算出来了!接着，教者又将之迁移到7÷125，3÷1.25，3.1 2.5这类题目上，同学们也能尝试着用口算进行计算了……
渐渐地，学生就能在解决问题中把它看成一个整体，直接计算，这就初步建立起了一定的模型。这些初步的模型的建立，通过不断的完善，就可以帮助学生“从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界”。
总之，口算技能属于一种心智技能，心智技能具有简缩性特征——趋向于合并、省略或简化。因而，越是思维活动简约的，其技能越容易形成，复杂的思维活动总是阻碍技能的形成。要想让口算做到“用脑子去算”而不是“在脑子里算”，就必须引导学生把“灵活运用运算法则、运算性质使计算简便”的观念渗透于口算学习的过程中，从而让学生把运算具体问题的策略上升为一种自觉的简算意识。
(作者单位：江苏省苏州工业园区新城花园小学)
口算题组：在训练中“增值”
皋 岭
通过扎实的口算训练提升口算技能是小学阶段学 生计算能力训练的一项重要任务。完成这项训练任务就必须以口算题为主要训练载体，让学生在大量的口算练习中掌握口算方法，提高正确率和速度。而单一二、无关联的口算题对口算方法的迁移与优化没有明显的效用，为此，教者把具有关联特征的一些口算题编成题组对学生进行训练，在联系、渗透以及比较中放大口算题组关联的特征。让口算题组在训练中“增值”。
一、联系——促进有效迁移
数学知识延伸发展具有前后密切联系的特点，口算也不例外，复杂的口算都是建立在基本口算的基础上发展而来的。因此，在新旧口算认知的联系处进行口算题组训练，有助于学生理解口算算理，有效获得口算方法的迁移。
比如：在小数除法口算时出示了这样的口算题组进行训练。
600 200= 12÷3= 180÷60= 8÷4=
60÷20=
1.2÷0.3=
180÷6=
8÷0.4=
6÷2=
0.12÷0.03=
18÷6= 0.8÷0.4=
学生经过这样相关联的几组口算练习后，对小数除法口算的算理有所感悟，方法有所理解。第一组题主要是让学生复习和回顾商不变的规律在简化口算中的作用；第二组题将商不变的规律扩展到小数除法的口算中进行练习：第三组题对被除数与除数变化引起商变化的规律进行复习与回顾：第四组题运用商不变的规律和商的变化规律灵活解决小数除法口算问题。虽然只有12道口算题组成训练题组，但所包含的联系广泛，从整数除法口算到小数除法口算。从商不变规律到商的变化规律，给学生留下了很大的思考空间，在口算方法和知识的前后联系中促进了口算能力的有效迁移。
二、渗透——优化口算方法
口算也称心算，是一种不借助计算工具，只依靠记忆、思维和语言进行计算直接得出结果的计算方法和方式。虽然口算的结果是外显的，但口算的思维过程即是内隐的。也正因为口算过程的内隐性，所以也就有了口算方法的多样性。不同的口算方法带给学生的效率不尽相同。如何让学生的口算方法在多样化的基础上进行优化呢?这就需要教者精心编制口算题组让学生不断感悟和优化。
如：在三年级学习口算两位数加两位数(和不超过100)时。进行下面题组训练。
40 50= 36 20= 40 35= 45 50= 45 35=
46 53= 36 22= 44 35= 45 48= 45 37=
训练中让学生带着问题边思考边口算：每组中两道口算题哪一道相对简单?为什么?这道简单的口算题对算同一组的另一道口算题有什么启示?不难看出，每组中的第一道相对简单。主要是它们中不是含有整十数的加数，就是两加数的和正好是整十数，口算时需要记忆存取的环节相对较少，口算难度也就相对降低；而每组第二道题的两个加数都是非整十数，有的还需进位，口算的难度增加。通过这样的题组训练，学生从每组两道口算题的联系中很快获得渗透的两位数加两位数的各种口算方法，让学生在口算方法多样化的基础上根据加数的特征灵活地运用。
三、比较——增强辨析能力
在口算中，由于受前摄、后摄抑制或记忆表象等方面的影响，学生经常会将一些数量、运算特征相似的口算混淆在一起，分辨不清，从而大大影响了他们口算的正确率。因此，把这些相互干扰的口算题编制成组，对学生进行训练，就能克服干扰、加深印象，增强学生对易混口算的辨析能力。
如：学生经常会把一些口算中的数量位置看颠倒，或运算顺序不正确。面对这种现象。教者出示了下面的口算题组进行对比训练。
25×4=
15×6= 80-30÷5=
5×5 5×5=
24x5= 16×5= (80-30)÷5= (5×5)÷(5×5)=
再如：通过分数加减乘除的口算题组训练。帮助学生整理分数四则运算法则之间的区别。
口算题组的比较训练，有利于学生增强对运算法则与运算顺序的理解，同时也有利于学生口算方法的建构。
(作者单位：江苏省苏州工业园区第二实验小学)
众所周知，口算是一切笔算、简算和估算的基础，课程标准强调“要重视口算”。而实际情况是，很多人认为口算就是简单的口头计算，只是一种单一的运算技能，没有多大的思维含量，因此长期以来使得口算处于“集体轻视”状态。
本期这组文章，从一项一年级初入学儿童的加减法基本口算现状的调查谈起，进而引发我们深入思考：课程改革后学生的口算能力为什么下降?当前的口算教学到底出了什么问题?怎样采取有效策略提高口算教学的效益并影显其核心价值?
从一项口算能力调查谈起
徐 斌
一 问题的提出
笔者在一年级数学教学以及调研中常常发现，一年级新入学儿童的加减法口算能力很不平衡。有的学生在学前就已经经历了几年的加减法计算练习，有的学生不仅10以内加减法能熟练计算，甚至20以内、100以内加减法也会计算，同时也还有不少学生20以内加减法基本不会计算。这样的情况，给我们的数学课堂教学带来了很多值得思考的问题：一年级新人学儿童的20以内加减法口算能力到底是怎样的现状?造成这种现状的原因有哪些?面对这样的现状。如何改进我们的计算教学?入学之前的加减法口算学习对入学后的数学学习有怎样的影响?
二 调查的方法
1 调查对象。苏州工业园区第二实验小学2007年和2008年秋季一年级新人学的所有儿童。调查时间为当年9月中旬(调查时间之所以安排在9月中旬，主要基于如下考虑：一方面，9月上旬，刚入学儿童的各项学习常规尚没有初步形成，甚至有少数学生书写数字还不会；另一方面，此时尚没有正式学习加法和减法，不会影响所测内容的客观性)。
2 调查内容。20以内加减法。我们设计了4份口算测试卷，分别测试lO以内加法(25题)、lO以内减法(25题)、20以内进位加法(36题)和20以内退位减法(36题)。命题时依据随机原则安排题目呈现的顺序，同时考虑题目的典型性与分布率。
3 调查方式。本调查采用试卷测试、观察、访谈等方式，共收回有效试卷707份。
三 调查结果与分析
经过两年的调查，我们对有效试卷采用SPSS11.5工具软件进行了数据处理。结果如下：
从表2、表3的分类统计可以看出：
(1)10以内加减法的得分分布情况类似。前四个分数段(0～5，6～10，11～15，16～20)的人数比较少：10以内加法2007年占总数的2，64％，2008年占总数的1.13％：10以内减法2007年占总数的8，68％，2008年占总数的6.34％。而第五个分数段(21-25)的人数很多，10以内加法2007年占总数的97.36％，2008年占总数的98.87％；10以内减法2007年占总数的91.32％，2008年占总数的93.66％。这反映了新入学儿童大多数会计算10以内的加减法。
(2)20以内进位加法和退位减法的得分分布情况略有不同。总体上，进位加法计算的前六个分数段(0～5，6～10，11～15。16～20，21～25，26～30)的总人数2007年占总数的26.04％，2008年占总数的39.37％。而第七个分数段(31～36)的人数都超过了60％；退位减法的得分情况很不均衡，尤其值得关注的是2008年测试中，退位减法0～5分的学生占到了48.42％，比2007年的16.60％足足高了31.82个百分点，这表明2008年有将近一半的学生几乎不会计算20以内退位减法。
四、结论、思考与建议
1 结论。从以上调查，可以看出一年级新入学儿童20以内加减法基本口算能力情况：
10以内加法的口算能力很强，10以内减法的口算能力比较强。由于儿童在学前的生活中经常见到10以内的数。而且通过观察和访谈得知，学前儿童大多在家长和幼儿园里非正式地学习和接触过10以内加减法。具体有如下的几种状况：大多数儿童是依赖实物数数(包括扳手指头)来获得结果的，少数儿童能初步由逐一计数过渡到按群计数，极个别儿童已经通过多次口算而摆脱了实物依赖，能熟练算出得数。
20以内进位加法的口算能力比较弱，20以内退位减法的口算能力很弱。虽然从认数和数数的范围来看，入学前儿童似乎能数20以内甚至100以内的数，但是，他们的认数水平是表面的，很少有儿童能从数的位值原则和计数原理的角度来认数和计算。所以，20以内加减法的口算能力与10以内加减法相比。明显较弱。通过观察发现，那些依赖扳手指头来计算10以内加减法的儿童，在计算20以内加减法时，由于手指头不够用而无法计算。
通过学生测试时的观察以及个别访谈我们也发现，新入学儿童20以内加减法运算的策略差异性很大。主要表现为以下几种策略：逐一数手指，按顺序口头数数，通过扳手指接下去数，用数的组成算，通过凑十或分解推算，直接提取记忆结果，等等。我们认为，新入学儿童进行20以内加减法运算策略的运用，反映了儿童对数概念及其关系的理解与运用，反映了儿童早期数学认知发展水平和个体差异，是其非正式的数学认知能力之一。对进入小学后的正式数学学习将产生重要影响。
2 思考与建议。
(1)对教学的建议。首先，重视10以内加减法的基础教学。6～7岁儿童的逻辑运算能力处于“前运算阶段”，并逐步向“具体运算阶段”过渡，简单计算事实上还未完全进入其长时记忆系统，其计算需要依赖于感知经验。儿童入学之前计算加减法，往往是依靠扳手指或借助其他实物数出得数等外部策略获得结果。因此，一年 级教学这部分内容时，要特别注意把认数与计算结合起来，使学生在理解加、减法含义的基础上学会计算。教学时，可以在直观情境中先帮助学生理理加、减法含义，然后放手让学生算出得数，再引导学生说出计算方法，在观察、比较、归纳中逐步过渡到利用10以内数的组成来按群计算，并逐步摆脱手指和其他实物，再通过训练，达到看见或听见10以内加减法，都能很快直接说出得数，从而达到“自动化”的程度。
其次，加强20以内进位加法和退位减法的方法教学。小学生口算加减法的方法一般存在3个层次：逐一重新计数一借数数加算或减算一按数群运算。在教学基本口算时，要重视让学生逐步掌握按数群运算的方法。在教学初期，为了达到算法指导下的正确计算，可不作计算速度的要求。20以内进位加法和退位减法与10以内加减法不同的是，在计算过程中除了要用到数的组成以外，更重要的是计算方法问题。尽管课程改革以来，在计算教学中大力倡导了“算法多样化”的思想，但是，在教学时也要重视“基本算法”。20以内进位加法教学时，要帮助学生深入理解“凑十法”的基本原理；而20以内退位减法教学时，要利用加、减法的内在联系，帮助学生灵活掌握算法。而且在教学中还要注意，对某一个学生来说。不要求“一题多种算法”，以免互相干扰。
再次，科学进行20以内加减法的口算训练。口算，“原先是一个思维问题，一旦掌握了计算法则，经反复练习，也就成了记忆问题”。基本口算作为一项基本功，在整个小学阶段要不断线地进行训练，应结合不同年级的教材和学生的特点，恰当地提供训练材料，做到适时、适量、适度。口算训练时，要特别注意目的性和针对性。由于基本口算结构单一，数域范围小，有些教师容易忽视或命题时随意性很大，易造成各题练习次数不合理，甚至出现易题多练、难题少练的现象。因此要在具体分析的基础上，合理选择训练的内容。针对学生口算能力形成的心理特点，在开始练习时，应注意练习的量不宜太大，速度不宜太快。确保口算的准确性和思考过程的清晰度；一段时间后。适当增加练习量并提出速度要求；最后达到看到算式就能较快地说出和写出得数的目标，使学生建立起算式与得数之间的直接联系，简缩思维过程，并逐步提出口算自动化的要求。
(2)对教材的建议。由调查发现，新人学儿童10以内加减法口算的基础比较好(有超过半数的学生会正确计算)。因此在一年级数学教材编写时，可以适当缩短这部分内容的教学时间，把更多的篇幅用来进行20以内进位加法和退位减法教学。例如苏教版课程标准教材一年级上册中用了35个页码(P40～P75)近30节课时来教学10以内的加减法，人教版一年级教材中用了60个页码(P14～P31教学“1～5的认识和加减法”。P42～P83教学“6～10的认识和加减法”)近50节课时来教学10以内加减法。北师大版一年级教材也用了28个页码(P22～P49)20余课时来教学10以内加减法，西南师大版一年级教材用了50个页码(P4～P53)近40节课时来教学10以内加减法。笔者建议教材编写这部分内容时，尽可能缩短10以内加减法的课时或者给予更多弹性安排，把更多的时间用来在教材中适当增加口算的练习量，增加训练的形式，以提高口算教学和训练的实效性。
(3)对学前计算教学的建议。经过观察和访谈发现，学前阶段儿童的加减法计算。大多是家长和幼儿园老师教会的。而不同水平层次的家长对儿童加减法的口算教学所采用的方法各不相同，有的是死记硬背，有的是纯粹数数，还有的完全依赖实物。而且。大多数家长在教孩子口算时，单纯地停留在机械计算层面上，很少从加、减法的含义方面来帮助学生获得实质理解，学生只是处于模仿、重复和记忆之中。这样的提前教学，表面上看，不少学生似乎能计算不少口算题，实质不利于学生形成对数学的本质了解，也阻碍了学生正常的思维发展。因此，建议家长不要过多地教孩子机械和单一的计算。而更应该结合学生的生活实际，帮助学生建立对数学的基本认识，培养对数学的浓厚兴趣。经过对有关幼儿园计算教学情况的走访发现，幼儿园里有关数学方面的教材。很多把本应该在小学教学的认数和加减法计算提前教学了。因此，建议学校和幼儿园之间多进行幼小衔接方面的沟通，以有利于儿童科学、高效地学习20以内加减法。
总之。本次调查使我们从源头上认清了学生基本口算的概况，同时给我们的口算教学提出了挑战：如此大的口算能力差异我们该如何应对?其他年级学生的口算现状又是怎样?如何寻找最合适的策略去提高学生的口算能力?
(作者单位：江苏省苏州工业园区第二实验小学)
口算教学，怎一个“烦”字了得?
陈惠芳
2001年颁布的《全日制义务教育数学课程标准(实验稿)》(以下简称“课程标准”)把运算作为必须具有的数学应用技能之一，特别指出要重视口算，加强估算。“课程标准”还提出了各个学段的基本运算应该达到的速度和正确率指标，要求学生运用合理的计算策略，能为解决问题而选择适当的算法，能估计运算的结果，并对结果的合理性做出解释。随着课程改革的深入实施，口算教学也日渐成为一线数学教师普遍关注的焦点内容。一线教师普遍感到口算教学看似简单，实则难以把握，甚至存在效率低下的现状，挺“烦”人。那么，新课改背景下，小学数学口算教学究竟有哪些突出的问题?
一 面对灵活开放的教材。忽视文本解读
较之老教材，新教材在每一个知识点后，并没有出现规范的计算方法的总结语，也没有完整的提示语。这就给一线数学教师提供了更大的自主开发教材的空间，也给学生的自主探究性学习提供了机会。然而，灵活开放的教材也时时拷问教师解读教材的能力。
例如五年级初学小数乘法。教材首先出示了情境图：“夏天每千克西瓜0.8元，冬天每千克西瓜2.35元，夏天买3千克西瓜要多少元?冬天买3千克西瓜需要多少元?”对于这样一个现实问题，教学时是从小数加法引入小数乘法的，而竖式计算时，应该怎么书写，如何进行计算，教材上没有出示相应的方法，在“试一试”中有这样一句提示语：“在小组里说说小数和整数相乘应该怎样计算。”教学时，究竟应该如何把握编者意图，需要教师对教材进行认真分析。小数乘法的基础是整数乘法和小数加法，而竖式计算时学生需要掌握一定的算理和算法。因此。教学这部分内容时。应加强两位数乘一位数的乘法口算练习。但事实上，部分教师没有很好地挖掘教材的内涵，往往就情境而情境，缺少结合笔算教学同时加强口算练习的意识和行为。是探索式，即经过自己的独立探究、思考，创造出算法。就计算方法而言，算法多样化是新教材最显著的特点之一。口算方法的多样化，有其成功的方面，也给少数学困生带来了学习上的“后遗症”。
比如教学“9加几”时，教师让学生自主探索或者同桌合作，想办法算一算9 4得多少。交流环节。第一位学生借助小棒数数，从9一直数到了13，他得出9 4=13； 第二位学生先从4里面拿出1，与9凑成10，再用10 3，得到了13；第三位学生从9里面分出6和4凑成10，再用3 10得到了13；还有的学生直接把9看作10，先加4，再减去1，结果也等于13……教师一一给予了肯定。其实，本节课中，应该重点让学生掌握“凑十法”的思考过程，而教师并没有很好地加以重视。所以，在接着计算9 5、9 6、9 7等算式时，学生依旧用了多样的口算方法，教师对每种方法都进行了肯定性评价，部分学生无所适从。到下课时连最基本的凑十法也没有掌握。
其实，算法“多样化”追求的是尊重差异、尊重真实、尊重学生的原生态思考，而算法的“优化”就是让学生根据已有的知识经验，在多样化的算法中，找到一个普遍都能接受、最能理解和最容易掌握的算法的过程，“多样化”只有得以“优化”。才能更好地促进口算能力的提高。
三、算理与算法之间脱节。忽视方法渗透
算理和算法是相互联系、有机统一的一个整体，是计算教学必须关注的两个方面。算法是对行为的规定，是计算的具体方法；算理是对算法的解释，是计算的原理。口算教学，只有让学生正确理解算理，才能灵活掌握算法。而事实上，算理与算法脱节，造成算法抽象与算理直观之间出现了断层，已经是口算教学中常见的问题。
如教学二年级下册“一位数乘两位数”时，一位教师出示教材情境图，引导学生列出算式14×2。如何计算呢?教师让学生讨论交流。有的学生说用加法做。14 14得到28；有的通过看图，右边筐里一共是8个，左边筐里一共是20个，合起来是28个；还有的用乘法想，10乘2等于20，4乘2等于8，20加8等于28；还有一学生说。14是2个7，乘2后就是4个7，用口诀四七二十八……可见，学生采用口算14×2的方法是多种多样的。但是，在引导学生用竖式计算时，该教师脱离了口算，直接讲述抽象的算法，机械地讲解先乘什么，再乘什么。其实，为了避免算理与算法的脱节，可以在学生初步理解算理之后。不着急抽象算法，而是让学生运用初建模式进行同类练习。然后组织学生观察和比较，学生发现，第一次乘的结果是一位数，第二次乘的结果都是两位数(并且是整十数)；还有的发现，得数个位上的数就是第一次乘得的数，十位上的数就是第二次乘得的数十位上的数。此时可以逐步抽象出简化竖式(算法)，从而使学生掌握类似这样的“一位数乘两位数”的计算方法。
可见。口算时学生要将计算分割成很多的小过程(如上面的4×2，10×2)，将各种信息在头脑中合理地进行拆分、拼组等。并要在短时间内完成所有步骤得出正确结果，这是一个很高级的心理活动。而学生正是通过这样的心理活动，锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力(短时记忆力)和创造性思维能力。这不仅是口算的价值之所在，而且是教材安排口算教学内容的出发点。
四、只重视结果的正误。忽视过程指导
很多教师平时也加强口算训练，而事实上，许多教师只重视学生口算结果是否正确，而忽视过程指导。
例如在口算20x30时。很多学生会受20 30加法的影响，算成50或500，教师应该让学生说一说，当时是怎么想的，提醒学生以后看清楚运算符号：在用竖式计算2x34时学生的正确率还可以，但口算2x34时，会把答案写成86，显然在口算时随意性比较大，口算时的对位思想比较淡薄，此时，应该提醒学生看清楚8是几乘几得到的。6是几乘几得到的，写得数时要注意一一对应；在口算35 38时。学生往往会忘记进位。算成63；在口算52-19退位减法时，会不退位算成47，而不注意当个位上不够减时应从十位退一作十再减，看似简单的算理，学生的理解尚需一定过程。可见，口算出现问题，教师不能简单评判“对”还是“错”，而应该尽可能地挖掘错误背后的教学资源。要分析错误原因，是学习习惯问题，还是口算方法问题，是心理因素影响，还是短时记忆问题。只有找到错因，才能进行有针对性的过程指导，口算训练才能真正落到实处。
五、训练时重“量”轻“质”，忽视习惯培养
良好的习惯有助于提高学生的学习能力，而不良答题习惯经常会引发学生计算错误。目前很多教师在口算训练时重“量”轻“质”，忽视学生良好学习习惯的培养。
如学生练习口算时，听题、读题、抄写答数往往不够仔细，经常把1写成7，把6看成9，把5写成3等，或者看错运算符号，把“ ”看成“÷”等等。在口算加减法时，忘记进位和退位，口算除法时，余数不能正确处理。如口算800÷30=26……20，余数算成了2。因此，我们不能把这种错误简单归咎于“粗心”或“马虎”，而应该重视学生学习习惯的养成。教师要注意培养学生良好的审题习惯，克服提笔就算的毛病。不妨通过听算训练学生听的习惯，要求书写工整；通过视算，训练学生看的习惯，要求学生看清楚并正确记忆。培养学生思考的习惯，看到题目要寻找最简(最优)算法。检验的习惯，口算时要有细心、认真、负责的学习态度。还有改错的习惯，要让学生学会主动分析自己出现的错误。总之，学生在任何地方、任何状态下完成口算题时应集中注意力。不说话，独立思考。养成“看清题目、注意符号，正确口算、书写整洁、自觉检查”的良好习惯。努力提高口算正确率。
六、关注实际问题解决。忽视相机训练
毋庸置疑，口算存在于生活的每一个角落，存在于数学学习的每一个领域之中。在小学阶段，学生的思维处于具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，发展逻辑思维是学生数学学习的内在要求。也是促进学生智力发展的有效途径之一。课堂上，很多教师只关注问题解决。而忽视相机的口算训练。
如：六年级在复习圆柱、圆锥一单元时，计算比较复杂。尤其是圆柱的表面积、侧面积与体积，圆锥的体积计算等。很多算式中。都会出现3.14与半径的平方的乘积。学生常常会算错。其实，平时在教学“解决问题的策略”时，可以有意识地引导学生进行相关的口算练习，去熟记一些常用的公式、计算的结果，这样能有效地帮助学生进行问题解决。尤其通过一些算式的观察比较，找寻规律，发展数学思维，提升学习品质。可见，口算练习与其他知识的学习不能孤立开来，应该把口算练习融入数学学习的整个阶段。
七、练习形式设计单一。忽视兴趣激发
一堂计算训练课，一定有它内在的生长逻辑。什么是教师该传授的?什么是该让学生自主探索的?教学时若能将教材的内在结构转化为课堂的教学结构，不仅能突显口算教学的主干，也能使课堂变得疏密有致。日常的口算教学中。我们常常发现教师不能根据学生各年龄段的心理特征，设计不同形式的题目吸引学生的眼球，而是练习的形式单调，学生感到乏味。还有的教师平时不加强练习，只在期末测试前才进行突击，并加大练习量。这种过分集中的方式。更容易使学生产生厌烦情绪。
另外，很多教师进行口算教学时，总是用投影、卡片或直接用书上的口算题呈现出来，采取的方式大多是视 算。包括看题目直接写出得数和看题目口述得数两种方法。经常采用单一机械的训练形式，学生容易“审美疲劳”。其实，像低年级学完乘法口诀，初步理解口算原理与方法后，可以进行以口诀为中介的多样化口算：先进行见算式一说口诀一写得数的训练，如4×5，先出声说口诀“四五二十”，然后写出得数20；再进行见算式一想口诀一得结果的训练；最后是“一诀四式”的训练。倘若每个学段有意识地加以引导，口算练习的密度就提高了，口算技能的形成就指日可待。
八、家长“揠苗助长”。忽视家校携手
“严格控制学生在校作业量”“切实减轻学生过重的课业负担”，当众多的新闻媒体开始关注学校、关注学生时，教师思想解放了，家长却愁眉苦脸了。由于每个学生的家庭文化背景不同。其家庭教育方法也不尽相同。学生之间的差异相对明显。一部分家长认为。孩子进了学校，就由教师负责，课堂上学好就行，家里用不着帮助孩子进行口算训练，而另一种家长“急中生智”，加大练习。往往“揠苗助长”。他们买相关的口算本、参考书，开“小灶”。这种现象在低年级家长中尤为突出。殊不知。不合理安排训练时间，不讲究训练方法。久而久之，孩子谈“算’色变，闻“算”而逃。调查发现，很多孩子在进入一年级学习时，能进行10以内的简单口算，有的还学会了一些简单的整十数加减，个别甚至能做20以内的进位加和退位减了，但到真正接触这些内容时，学生昏昏欲睡……可见，家长操之过急的心态，机械盲目的训练，并不科学的辅导方法，使很多学生从此失去了正确口算的自信。
九、过多依赖电脑演示。忽视示范引领
目前，随着信息化社会的到来。很多青年教师上课都喜欢使用多媒体手段，变革教学方式，尤其是低年级的数学课，使用课件(光盘)的特别多。这其中有积极的一面，可以借助多媒体手段突破教学重点、难点，节省一些时间让学生进行练习，但也存在一些不利因素。有些教师整节课都利用多媒体进行演示操作，生动的图画、逼真的效果，学生学的时候兴趣盎然，看的时候目不转睛，而到独立练习时却头脑空空。很多教师的数学课，黑板上连课题都不板书，都在电脑上操作演示，一闪而过，忽视示范引领和过程展开，以致新课结束时，黑板上一片空白。这样的口算教学失去了教师应有的主导作用，缺失了学生参与计算算理和算法的形成过程，无疑是有缺憾的。
十、考核评价方法随意。忽视目标导向
笔者发现。目前的小学数学考试，虽然也从多个方面来考查学生的数学基础知识、能力，但对口算的专门考核和评价，还缺少科学合理的方式。一般的数学期末考试，口算题安排在试卷里面，题量很少，覆盖面不广。难以真正考查学生的口算技能；有的口算测试，单独进行考核，一般以年级为单位，利用几分钟进行单独测试，题量一般在20～50道左右。但各个学校的做法不尽相同；有的口算测试只考查正确率，不考查速度，缺乏全面评价；还有的口算测试，对速度的要求过高，有的甚至要求学生每分钟口算50道甚至60道题。口算教学，究竟如何进行测试?试题的难度如何把握?看来，测试忽视目标导向，考核方法随意，显然不能正确反映学生口算能力的真实水平。因此，从有效教学的角度看，我们显然需要更加理性地思考：如何针对学生的年龄特点、认知规律进行口算测试，发现问题，进而行为跟进，真正提高口算教学的有效性。
(作者单位：江苏省张家港市教育局教学研究室)
对口算算理、算法的辩证认识
贲友林
什么叫算理?什么叫算法?这是进行口算教学必须首先搞明白的问题。算理就是计算过程中的道理，解决“为什么这样算”的问题。算法就是计算的方法，解决“怎样算”的问题。如何认识口算中算理与算法的关系，下面谈一些想法。
“有”与“无”
对于小学生的口算来说，核心的内容是基本口算。所谓基本口算主要指20以内加减法和表内乘除法。除了这些基本口算。要求学生掌握的还有简单的两位数加、减法及百以内的乘加、乘减、除加、除减等；在小数、分数四则计算中，也有相当数量的口算内容。那学生在学习这些口算时，是否都是理解算理、掌握算法，并在理解算理的基础上掌握算法的呢?
先从最简单的加法说起。3 2。怎样算?为什么这样算?就这两个问题，我访谈了大学教授、小学数学教研员和小学数学教师，但他们没有一人能做出解释。其实不难发现。我们往往脱口而出3加2等于5，我们的策略是“直接提取”，也就是说，3加2等于5，我们成人已经形成了“计算自动化”，在我们的头脑中已经有了现成的答案，我们可以迅速地从长期记忆中提取有关数学事实。
那我们在一年级教学时。又是如何处理3 2的呢?一种常见的教法是借用数的组成想得数，即想：5可以分成3和2。3加2等于5。我们知道，在学习3 2=5之前，已有相当一部分学生知晓3 2=5；我们也知道，有学生最初就是用“数手指”的方法数出来的。之后，又由数手指发展为数数，即接着3之后数两个数：4、5，所以，3 2=5。这样的算法，我们也许觉得很幼稚，但这样的算法，恰恰最接近加法的定义。在递归算术中，自然数的加法可以用求继数的运算来定义。如，求3 2的和，就是求3的继数的继数。即在自然数中，从3往后数2个数所得出的5。
毋庸置疑，一段时间之后，学生在算“3 2”时也都形成了“计算自动化”，3 2等于5，都储存于记忆中。这时，算法已经脱胎于算理。学生学习基本口算就是在头脑中构建一个“数学事实库”的过程。继而完成从构建事实到提取事实的转化。
我们是否可以这样理解：最初，学生在口算时，可能有算法而不知算理；后来，知算法而且知算理；再后来，又是有算法无算理。也就是说，在学生学习口算探索与掌握算法的不同时段，他们计算时是否具有算理，经历了“无——有——无”这样一个过程。
由此推想，不同的口算内容，算法与算理是否也表现出像这样脱离、融合、脱胎的不同阶段之分呢?
在口算教学时，学生不理解算理，教师需要引导，否则学生的计算只是停留于形式化地计算，他们只是机械地掌握计算程序，知其然，而不知其所以然；但理解算理之后，教师却不要太多地纠缠于算理。
“一”与“多”
在学习口算两位数减两位数44-25时，学生独立思考之后交流了各自算法。
算法1：44-5=39，39-20=19——把减数分成5和20，从被减数中依次减去。
算法2：40-25=15，15 4=19——把被减数分成40和4，先从40里减去25，再把所得的差与4合并。
算法3：40-20=20，5-4=1。20-1=19——个位上4减5不够减，还差1，就从十位上减得的差20里去掉1。
算法4：44-24=20，20-1=19——把减数分成24和1，再从被减数中依次减去。
算法5：30-25=5，14 5=19——把被减数分成30和 14，从30里减去25得5，再把14和5合并。
算法6：14-5=9，30-20=10，10 9=19——竖式计算的方法。
算法7：十位上，30-20=10；个位上，14-5=9；得数是19——先算十位。再算个位。
算法多样化是学生独立思考后自然生成的。细细分析各种算法。算法1和算法4的算理是一样的，都是把减数分成两部分，从被减数中分别减去；算法2和算法5的算理是一样的，都是把被减数分成两部分，其中一部分减去减数后再与被减数的另一部分合起来；算法6和算法7都是在头脑中构建竖式，算法6从个位减起，算法7从十位减起。由此可见，就算题本身来说，算法是多样的，但算理可能相同。
再说一例。学习小数乘法，一组口算练习之后，反馈时发现，有几位学生在口算20×0.4这一题时出错了。教师指名一位学生口述算法：先算20乘4等于80。再点小数点：8.0，化简得8。学生采用的是“类似笔算的口算”。即在头脑中想20×0.4的竖式并算出得数。教师在学生口述算法的过程中板书：
教师如上板书。是让学生理解其算法的算理，即应用了乘法中因数变化引起积变化的规律进行口算。
一位学生举手：我是这样算的：20xO，4=2×4=8。教师追问：你为什么这样算呢?学生回答：20xO，4=2×10×0.4=2×4=8。不难发现，这位学生交流的是“分解因数、运用乘法结合律”的方法进行口算。
。
又一位学生举手：我也是这样算的：20×0.4=2×4=8。我想的是，一个因数除以10，另一个因数乘10，积不变。如果完整写出这位学生的算法，就是1.20×0.4=(20÷10)×(0.4×10)=2×4=8。
后两种算法，如果不去追问思维过程，我们也许会做出“算法相同、算理相同”的判断，然而，看似相同的算法，其实并不同。但算理却是相同的。当我们看到的是“一”，也许仅仅是表面形式的相同，其内部蕴含的可能是“多”。学生的思维过程是丰富多彩的。口算教学中，存在着的一种现象是，教师重结果、轻过程，只满足于口算正确，不愿花时间去分析学生的思维过程。我们要注意克服这种不良倾向。在口算时，鼓励学生“用你的脑子去算”，而不仅仅是“在你的脑子里算”。
“有用”与“无用”
对于算理与算法。学生在实际口算时往往更注重算法，因为按其操作即可算出结果。教师关注的焦点是学生要算得对、算得快，至于“为什么这样算”，往往不够重视。那算理是“有用”还是“无用”呢?
有这样一次“意外事件”。由于制作试卷的疏忽，在五年级学习小数加、减法之后的单元测试卷上出现了这样一道口算题：3.6×0.5，这道题原本应是3.6 0.5。显然，这样的算题如何计算学生还未学习。我想了想，决定不改题，看看学生能否独立探索解决“未学过”的问题。为了解学生具体的思维过程，我让学生在试卷上写下口算3.6×0.5是怎样想的。结果发现：全班47位学生参加测试。有25位学生正确算出结果。其中有10位学生的算法是写出竖式，用笔算的方法算出结果(对这样的算法，我又找几位学生进行交流：为什么积是1.8?学生的回答是：3.6的一半，应当是一点几；36乘5得180，结果是两位小数，化简后是1.8)；有14位学生根据3.6×0.5的意义算出结果，他们的算法是：一个数乘0.5，得数是这个数的一半。3.6÷2=1.8：还有1位学生运用乘法分配律的方法算出结果，他的算法是：先用3×0.5=1.5，再用0.6×0.5=0.3，再用1.5 0.3，就等于1.8。
学生为什么在未学的情况下能算出来?尽管正确算出得数的25位学生未必都理解算理，但可以发现，如果他们理解了算理，那么他们基本上就能正确算出算题。算理有助于学生探索算法。有算法时，不一定能说清算理；但有算理。可以转化成算法。
又一则例子。口算整百数乘一位数400×2，学生一般的算法是：先算4×2=8。再在8的后面添两个0。为什么在8后面添两个0，学生解释不清楚。教学时。教师要让学生给自己的算法找一个合理的解释，在学生解释的过程中引导学生理解：4个百乘2，得8个百，也就是800。由此，学生可进一步在理解算理的基础上计算像4000×2、40000×2这样的算题，而不停留于“照葫芦画瓢”式的模仿计算。
综上所述，算理不是没有用。而是教师在教学中是否发挥其作用。不要把算理、算法作为“两张皮”。算理为计算提供了正确的思维方式。保证了计算的合理性和正确性，算法为计算提供了快捷的操作方法，提高了计算的速度。算理往往是隐性的。算法往往是显性的。它们相辅相成，算理的探讨有助于学生探索算法、掌握算法。当然，在口算学习过程中，也要注意避免程式化地叙述算理，对算理的一味推崇容易让学生陷入空洞抽象说教的泥潭，不过，对算法的过度操练也容易让学生走向机械重复练习的窠臼。
(作者单位：南京师范大学附属小学)
调动儿童的“心智”来口算
缪建平
口算，就是“边心算边口说地运算”，它是不借助计算工具(如笔、纸)，直接通过思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法。口算应该是“用你的脑子算”，而不只是“在你的脑子里算”。口算时，计算者要将计算分解成很多的小过程。要将各种信息在头脑中进行合理的拆分、拼组等，并在短时间内得出正确结果。因此它是一种高级的“心智”活动。通过这样的心智活动，计算者锻炼了自己的思维，发展了注意力、记忆力(尤其是短时记忆力)，口算也为个性化、多样化地解决问题提供了机会。那么，如何调动儿童的“心智”来口算呢?
一、理解与记忆
就整数计算来说，其中的口算通常分为3类：①基本型——一位数加法和相应的减法、表内乘除法。这是笔算乃至所有计算的基础，要求学生人人过关，不仅要计算正确，而且要求口算答案输出的“自动化”，即要熟练到能脱口而出的程度。②发展型——两位数加减整十数、两位数加减一位数、两位数加减两位数和两位数乘(除以)一位数等。前两种口算安排在相应的笔算之前进行教学，而后几种都是在笔算之后再教学。这类口算只要求掌握方法、正确计算，不再有高速度的要求。这类口算不再作为“笔算的台阶”。而是课程中相对独立的部分。但教师在实际教学中明显感觉到，如果这一类口算学生也能基本熟练，无疑更加显示出儿童在解决问题时的优势和自信。③灵活型——运用运算性质等进行简便运算。在这一类口算中，计算方法的合理、灵活和简算意识的强弱即是其数学心智水平高低的主要标志。
在小学数学教学中，大都比较重视长时记忆，而对短时记忆的培养则比较忽视。其实短时记忆对小学生的数学能力的发展有至关重要的意义。比如口算23 19时，就需要短时记忆，如果短时记忆能力较弱。那么在十位上的数相加时，只算2加1的和是3，经常忘掉个位上满十进上来的1，这在两位数加两位数口算训练的早 期是较为常见的现象。
有研究表明，用“工作记忆”代替“短时记忆”能够更加准确地说明这一部分记忆系统具有动态过程的特征，而不只是静态的存储。重要的是，信息在工作记忆进入意识后我们才能处理。如何避免或消除儿童口算中“工作记忆”的错误呢?以下3种促进学生理解的策略能有效帮助学生记忆水平的提高：
首先，“复述”策略。研究表明，工作记忆中的信息大约持续半分钟。如果要将信息加以修正并保存更长的时间，就必须通过复述过程得到重新存储与更新。如上面的“两位数加两位数”口算，如果学生错了，我们不妨减慢学习材料呈现的速度，并辅之以让孩子复述其计算过程，进而让他们自己在口述中知道“十位上要加个位上进的1”，这种个别指导就会大大增加“首因效应”。于是更为复杂的、逐渐积累式并且更加聪明的复述策略就会产生——“如果眼睛瞄到个位相加满十了，一定要在十位上的两个数相加时多加1：如果瞄到个位上的两个数相加不满十，不必考虑加1”。
其次，“表征”策略。通过多感觉表征，也将会大大提高记忆的效率。现行教材中，试图通过许多情景图来进行口算的教学，无疑能帮助儿童“通过解决实际问题加强运算意义的理解”。《数学课程标准》明确指出：“应重视口算，加强估算，提倡算法多样化。”因此，教师在口算教学中既要努力做“算法多样化”的引导者。更要做“算法优化”的促进者。
再次，“组块”策略。有意义的组块策略是为了克服工作记忆的“有限空间”。有关研究表明，成年人短时记忆只能容纳7项信息，儿童工作记忆容量还要小。在这种情况下，必须为儿童提供“认知支架”。比如儿童起初学习小数乘除法的口算时，经常为小数点点错而苦恼，我们就利用“组块”来帮助学生认清结果与两个已知数之间的关系：12×0.4、1.2×0.4、120×0.04、0.12×0.4……4÷5、4 50、0.4÷5、0.4÷0.5……对于除数是小数的除法，还要求他们先把它转化成除数是整数的除法写在原式的下方，以减轻“工作记忆”的负担。渐渐地。学生就会厘清结果与两个已知数之间的关系及运算规律，加之“估算”能力的同步培养，他们的口算水平也一定会逐步提高。
二、结构与建构
日常的口算教学或口算训练中，我们经常可以看到这样的做法：教师在课堂之初，总是拿着不断变换的卡片，不停地进行着口算训练，以期取得“熟能生巧”的教学效果。但实际情况却差强人意，原因何在?我们需要反思。
首先，你给学生进行口算训练时，有没有一个完整的知识结构呢?如20以内的加法与减法。教材中教学是分课时进行的，我们要做的首先不应该是“打乱”卡片的无序训练。而是整齐排列的“完整呈现”，这样的呈现还要不断地进行，以促进学生对数与数之间加减运算关系理解的不断深入。因为学生总是通过简单计算逐步积累数学经验再形成数的概念与组建认知结构的。如果教者煞费苦心地阻止一种明明无法阻止的形成记忆经验的做法，即认为这是在进行口算的思维训练，最终只能是使学生多做题，增强课业负担，走了弯路，效果却不佳。
我们曾进行过20以内加减法的对比试验。一种采用“打乱”卡片的训练法，一种采用“整体呈现结构化材料”(如下表)，鼓励学生尽可能记住结果的方法。以下是关于20以内加减法运算的知识结构表。有81对加减法关系。
在上表中，处在AC及其左上的45对数字，都是两数相加结果等于或小于10的，好差生均能熟练掌握。不是构成口算速度差异的主要原因。构成儿童口算困难的是由AC以下的36对数组成的习题。在这之中，又以BD为界，上下各16对，只是数字调换了位置而已，可以合二为一。BD框中是“对子数”相加的和学生容易记忆，运算也不易出错。
经过上面的分析，实验班的老师在进行20以内加减法口算训练时。只要让学生将ABD区打“○”中的较为生疏的9对数字关系组成的习题侧重训练，鼓励学生自然记住运算结果。同时，对口算较慢的学生进行个别指导，他们一般都能跟上全班学生的平均速度，而学生比对比班的至少要少做近100多道训练习题，学生负担轻了，但效果却尤佳。
为什么会取得较好的效果呢?原因就是：结构化的口算训练材料。让儿童大脑中形成了20以内的加法口算结果的记忆经验。这些经验在复杂的减法口算中迁移，是造成他们比另一些儿童减法口算迅速的主要原因。而减法口算反应慢的学生的大脑中并不是完全没有可利用的记忆经验。他们只是对少数几对二十以内数的减法关系有零碎的记忆经验或尚未形成完整结构。
三、建模与求简
口算练习中学生在瞬间要进行各种复杂的思维活动，它要求把算题进行分解、转换、变式、重组……从而迅速、准确地解答。口算教学的重要任务就是要在引导学生正确解答的同时，培养学生的思维能力，不断建立新的模式结构；而建立数学模型又可以让学生更快、更好地解决问题，从而形成良性循环。
引导学生在学习中形成认知冲突，有助于学生建模。比如。在小数除法教后，教者出示了一道7÷25的算式，让学生笔算，当学生算完后，老师告诉学生：其实这道题，老师一看题目，马上就能知道得数了!同学们不信，于是老师迅速报出0.28!学生一片哗然。不行!一定是老师事先算好的。随便一道试试!老师说：有个要求，除数一定是25，被除数一位数、两位数都行的!于是有学生出题：9÷25，老师迅速报出0，36 1学生再出题：42÷25，老师迅速报出1.68!学生开始沉思起来，老师于是引导大家一起思考：能不能从25上面去突破呢?渐渐地，同学们知道了：7÷25=(7×4)÷(25x4)=28÷100=0.28。另外两道题也是同样的道理，只要把被除数乘4再除以100就行了，真灵!同学们不禁欢呼起来，为自己的探索成功而自豪!于是，老师又出示了一组相关的题目，学生一个个争先恐后，口算出来了!接着，教者又将之迁移到7÷125，3÷1.25，3.1 2.5这类题目上，同学们也能尝试着用口算进行计算了……
渐渐地，学生就能在解决问题中把它看成一个整体，直接计算，这就初步建立起了一定的模型。这些初步的模型的建立，通过不断的完善，就可以帮助学生“从数量关系的角度更准确、清晰地认识、描述和把握现实世界”。
总之，口算技能属于一种心智技能，心智技能具有简缩性特征——趋向于合并、省略或简化。因而，越是思维活动简约的，其技能越容易形成，复杂的思维活动总是阻碍技能的形成。要想让口算做到“用脑子去算”而不是“在脑子里算”，就必须引导学生把“灵活运用运算法则、运算性质使计算简便”的观念渗透于口算学习的过程中，从而让学生把运算具体问题的策略上升为一种自觉的简算意识。
(作者单位：江苏省苏州工业园区新城花园小学)
口算题组：在训练中“增值”
皋 岭
通过扎实的口算训练提升口算技能是小学阶段学 生计算能力训练的一项重要任务。完成这项训练任务就必须以口算题为主要训练载体，让学生在大量的口算练习中掌握口算方法，提高正确率和速度。而单一二、无关联的口算题对口算方法的迁移与优化没有明显的效用，为此，教者把具有关联特征的一些口算题编成题组对学生进行训练，在联系、渗透以及比较中放大口算题组关联的特征。让口算题组在训练中“增值”。
一、联系——促进有效迁移
数学知识延伸发展具有前后密切联系的特点，口算也不例外，复杂的口算都是建立在基本口算的基础上发展而来的。因此，在新旧口算认知的联系处进行口算题组训练，有助于学生理解口算算理，有效获得口算方法的迁移。
比如：在小数除法口算时出示了这样的口算题组进行训练。
600 200= 12÷3= 180÷60= 8÷4=
60÷20=
1.2÷0.3=
180÷6=
8÷0.4=
6÷2=
0.12÷0.03=
18÷6= 0.8÷0.4=
学生经过这样相关联的几组口算练习后，对小数除法口算的算理有所感悟，方法有所理解。第一组题主要是让学生复习和回顾商不变的规律在简化口算中的作用；第二组题将商不变的规律扩展到小数除法的口算中进行练习：第三组题对被除数与除数变化引起商变化的规律进行复习与回顾：第四组题运用商不变的规律和商的变化规律灵活解决小数除法口算问题。虽然只有12道口算题组成训练题组，但所包含的联系广泛，从整数除法口算到小数除法口算。从商不变规律到商的变化规律，给学生留下了很大的思考空间，在口算方法和知识的前后联系中促进了口算能力的有效迁移。
二、渗透——优化口算方法
口算也称心算，是一种不借助计算工具，只依靠记忆、思维和语言进行计算直接得出结果的计算方法和方式。虽然口算的结果是外显的，但口算的思维过程即是内隐的。也正因为口算过程的内隐性，所以也就有了口算方法的多样性。不同的口算方法带给学生的效率不尽相同。如何让学生的口算方法在多样化的基础上进行优化呢?这就需要教者精心编制口算题组让学生不断感悟和优化。
如：在三年级学习口算两位数加两位数(和不超过100)时。进行下面题组训练。
40 50= 36 20= 40 35= 45 50= 45 35=
46 53= 36 22= 44 35= 45 48= 45 37=
训练中让学生带着问题边思考边口算：每组中两道口算题哪一道相对简单?为什么?这道简单的口算题对算同一组的另一道口算题有什么启示?不难看出，每组中的第一道相对简单。主要是它们中不是含有整十数的加数，就是两加数的和正好是整十数，口算时需要记忆存取的环节相对较少，口算难度也就相对降低；而每组第二道题的两个加数都是非整十数，有的还需进位，口算的难度增加。通过这样的题组训练，学生从每组两道口算题的联系中很快获得渗透的两位数加两位数的各种口算方法，让学生在口算方法多样化的基础上根据加数的特征灵活地运用。
三、比较——增强辨析能力
在口算中，由于受前摄、后摄抑制或记忆表象等方面的影响，学生经常会将一些数量、运算特征相似的口算混淆在一起，分辨不清，从而大大影响了他们口算的正确率。因此，把这些相互干扰的口算题编制成组，对学生进行训练，就能克服干扰、加深印象，增强学生对易混口算的辨析能力。
如：学生经常会把一些口算中的数量位置看颠倒，或运算顺序不正确。面对这种现象。教者出示了下面的口算题组进行对比训练。
25×4=
15×6= 80-30÷5=
5×5 5×5=
24x5= 16×5= (80-30)÷5= (5×5)÷(5×5)=
再如：通过分数加减乘除的口算题组训练。帮助学生整理分数四则运算法则之间的区别。
口算题组的比较训练，有利于学生增强对运算法则与运算顺序的理解，同时也有利于学生口算方法的建构。
(作者单位：江苏省苏州工业园区第二实验小学)