论文部分内容阅读
导数是高中数学中的一個重要学习内容，除在解决数学问题中有广泛的应用外，在物理学中也常被用。在求解运动学问题时往往需要用到较多的数学知识，特别是导数。下面主要对导数在运动学中的应用进行分析。
1.图形应用
例1已知小车以初速度v0=5 m/s，加速度a=2 m/s2运动，求速度v1=15 m/s时小车所行驶的位移。
解答：本题是传统的运动计算题，可以使用导数的物理意义求解。如图1所示为小车的速度-时间图像。
由图1可以计算出t=5 s，根据v＼|t图形所包含的物理意义为位移可以求解得到行驶位移为图中所构成的梯形面积，即s=（v0+v1）t2=（5+15）×52=50 m。
使用导数学习运动学能够更容易理解，学生也不必在死记硬背运动学中的公式，只需要根据导数的几何意义就可以推导相关的运动学公式。
图1
2.高阶变量的应用
例2图2中，河岸和水面之间高度为h，船过定滑轮并用绳朝水平方向拉动，船速为恒值v0，求船距定滑轮水平距离为x时的货物的加速度。
图2
解答：假设船到定滑轮的距离为l，根据题意可知船沿x轴（水平）方向轨道方程为
l2=x2+h2，求导得2ldldt=2xdxdt，
继续求导dldt2+ld2ldt2=dxdt2+xd2xdt2。
因船速是恒值，故dldt=v，d2xdt2=0。
联立解得a=d2ldt2=h2（x2+h2）32v20
当存在高阶变量时，如果采用微元法，则难度较大，而利用导数求解，则较为容易。
3.变量选取
例3图3中，AB为均匀光滑的细直杆，长度为l，A、B两端在竖直的墙壁上和水平地板上斜靠，在外力作用下B端朝右呈现出匀速运动，速度为v0，求A段到O点距离为y时，A点的加速度。
图3
解答：由题意可知，细直杆AB的长度是一定的，即y=l2-x2，
对之求导得v=dydt=12-2xl2-x2dxdt=-xyv0。
假设细直杆和水平地面夹角为θ，则y=lsinθ，x=lcosθ。
则B点速度v0=ldcosθdt=-lsinθ·dθdt，
A点速度v=ldsinθdt=lcosθ·dθdt。
联立解得v=-v0cotθ。
通过这一例题可知，当一个物理量发生变化，则其他物理量也会随之发生变化，因此针对这类导数问题，在选取变量时并不是唯一的，不同变量的选取，则解题思路等也有所不同。
作者单位：山东师范大学附属中学
1.图形应用
例1已知小车以初速度v0=5 m/s，加速度a=2 m/s2运动，求速度v1=15 m/s时小车所行驶的位移。
解答：本题是传统的运动计算题，可以使用导数的物理意义求解。如图1所示为小车的速度-时间图像。
由图1可以计算出t=5 s，根据v＼|t图形所包含的物理意义为位移可以求解得到行驶位移为图中所构成的梯形面积，即s=（v0+v1）t2=（5+15）×52=50 m。
使用导数学习运动学能够更容易理解，学生也不必在死记硬背运动学中的公式，只需要根据导数的几何意义就可以推导相关的运动学公式。
图1
2.高阶变量的应用
例2图2中，河岸和水面之间高度为h，船过定滑轮并用绳朝水平方向拉动，船速为恒值v0，求船距定滑轮水平距离为x时的货物的加速度。
图2
解答：假设船到定滑轮的距离为l，根据题意可知船沿x轴（水平）方向轨道方程为
l2=x2+h2，求导得2ldldt=2xdxdt，
继续求导dldt2+ld2ldt2=dxdt2+xd2xdt2。
因船速是恒值，故dldt=v，d2xdt2=0。
联立解得a=d2ldt2=h2（x2+h2）32v20
当存在高阶变量时，如果采用微元法，则难度较大，而利用导数求解，则较为容易。
3.变量选取
例3图3中，AB为均匀光滑的细直杆，长度为l，A、B两端在竖直的墙壁上和水平地板上斜靠，在外力作用下B端朝右呈现出匀速运动，速度为v0，求A段到O点距离为y时，A点的加速度。
图3
解答：由题意可知，细直杆AB的长度是一定的，即y=l2-x2，
对之求导得v=dydt=12-2xl2-x2dxdt=-xyv0。
假设细直杆和水平地面夹角为θ，则y=lsinθ，x=lcosθ。
则B点速度v0=ldcosθdt=-lsinθ·dθdt，
A点速度v=ldsinθdt=lcosθ·dθdt。
联立解得v=-v0cotθ。
通过这一例题可知，当一个物理量发生变化，则其他物理量也会随之发生变化，因此针对这类导数问题，在选取变量时并不是唯一的，不同变量的选取，则解题思路等也有所不同。
作者单位：山东师范大学附属中学