论文部分内容阅读
在数学课堂教学中，如果只重视知识的传授，而忽视思维能力的培养，学生在学习的过程中往往会感到枯燥乏味，从而丧失数学学习的兴趣。因此，在数学解题教学中，若能对教材巧安排，对问题妙引导，从一些关键处切入，创设良好的思维情境，变“传授”为“探究”，促使学生进入思维活跃状态中，以探索者的身份去发现问题、总结规律，对学生的思维、训练是非常有益的。下面谈谈我的体会。
一、从无序处切入，培养学生思维的逻辑性
因中学生年龄特点及知识水平的限制，思维表现出一定的无序性，这就需要教师按思考成熟的方法讲解，让学生逐步地学会怎样分析、判断、推理，怎样解决问题，并且随时监控学生的思维过程，适时引导，适当变式训练，变无序为有序，变偶然为必然，以形成思维的“模块”，达到提高学生的逻辑思维水平和认知能力的目的。
例1：如图1，AB//CD，点E在AB、CD之间，求证：∠BED=∠B+∠D。
这虽然是一道较简单的证明题，但涉及到作辅助线，而这是初学平面几何的一大难关，学生面对此题，往往会无从下手，思维处于无序状态。这时，教师就要利用“执因导果”和“执果索因”的思维方式进行巧妙引导：从已知条件AB//CD可推知同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，∠B和∠D属于哪种关系？如果不属于以上关系，那么怎样添加辅助线才能将∠BED、∠B、∠D联系起来？通过切入引导，学生的思维由无序转向有序，很自然地得到“过点E作EF//AB”这一结论来。具体证明过程如下：
证明：过点E作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D
∴∠BED=∠B+∠D
二、从浅显处切入，培养学生思维的抽象性
解决一个具体问题后，多数学生的认知水平仍停留在就题论题的阶段，缺乏深入的思考，难以形成较强大的分析、解决问题的能力，这就需要我们在更具代表性的问题上进行探索、研究，引导学生去辨析、质疑，帮助他们全面思考，深刻理解和把握问题的本质及规律，培养思维的深刻性和抽象性。
例2：如图2，AB、CD相交于O点，AC//BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF
求证：CE=DF。
这道题思路较简单，是利用全等三角形的性质进行证明的一道典型例题，教师可将这道题进行变化，产生多种形式的题目。
变式一：将“求证CE=DF”换成“要使CE与DF有何关系，并加以证明”，学生通过思考可能得出“CE=DF，CE//DF”。
变式二：把原题的已知条件“AE=BF”去掉，换成“要使CE=DF成立，应再加一个什么条件？”学生通过思考可以找到“OE=OF或∠BDF=∠ACE”。
通过这样一题多变，让学生体验到它们之间的“形变而质不变”的内在本质特征，领悟出此题型的解题规律，就能增强学生举一反三、触类旁通的解题能力，从而培养学生思维的深刻性和抽象性。
三、从发散处切入，培养学生思维的综合性
在学生掌握了一定的分析问题的方法后，教师就要用典型、生动的事例激发他们的“求异动机”，有意识地安排一些灵活多变的练习，引导他们从不同角度、方法探索思路，做到一题多解，提高解综合题的能力。
例3：如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，
求证：BD：CD=AB：AC。
先引导学生进行思路分析：
思路一：用平行线分线段成比例定理的推论证明，过B、D、C三点中的一点作平行线，一般学生都选用此种证明方法。
思路二：从三角形相似考虑，可构造与△ABC相似的三角形，由∠BAD=∠CAD再作∠ACE=∠B，交AD（或延长线）于E，则△ABD∽△CAE，可得BD：CE=AB：AC，再由∠CED=∠CAD+∠ACE=∠BAD+∠B=∠CDE得CE=CD，所以，可证明BD：CD=AB：AC。
通过一题多解的训练，能够帮助学生从多角度运用数学知识的能力。不仅拓展了学生的解题思路，而且培养了他们的创新意识，开拓了发散思维的空间，训练了思维的灵活性与综合性。
四、从偶然处切入，培养学生思维的创新性
面对一个情境陌生的问题，学生思维无拘无束，有时会迸发出一点“火花”，或是一种新理念、思维，或是某种奇思特解（尽管不一定完美），教师都应对这种“灵感”给予肯定和表扬，引导学生大胆地发表自己的新见解，提高解决问题的能力，增强探索和创新的能力。
例4：已知a、b、c、d为正数，且a2+b2=c2+d2，ac=bd。
求证：a=d，b=c。
此题若用代数方法解决较繁琐，教学中，可引导学生对题目中的已知条件进行猜想，往往会有少数学生发现a2+b2=c2+d2似乎与勾股定理的形式相近，这时要抓住这一偶然的“火花”，鼓励他们去尝试探索，构造出含有直角三角形的几何图形，将代数问题转化成几何问题，用直观形象化的几何性质寻求解题方法，得到一个新颖的证明方法。
证明：由题设，可作RT△ABC和RT△ADC，使∠B=∠D=90。
BC=a，AB=b，AD=c（如图4所示）
∵ac=bd，即BC·AD=AB·CD
∴BC：CD=AB：AD，故Rt△ABC∽Rt△ADC，又∵AC为公共边，故Rt△ABC≌Rt△ADC。
∴BC=CD，AB=AD，即a=d，b=c。
以上是我在解题教学中抓住题目的一些关键处作为切入点，培养学生思维品质的一些探讨。当然，运用解题教学切入，培养学生思维能力的方法是多角度、多层次的，以上只是管窥蠡测而已，不当之处，请方家批评指正。
（作者单位：广东省英德市九龙中学）
一、从无序处切入，培养学生思维的逻辑性
因中学生年龄特点及知识水平的限制，思维表现出一定的无序性，这就需要教师按思考成熟的方法讲解，让学生逐步地学会怎样分析、判断、推理，怎样解决问题，并且随时监控学生的思维过程，适时引导，适当变式训练，变无序为有序，变偶然为必然，以形成思维的“模块”，达到提高学生的逻辑思维水平和认知能力的目的。
例1：如图1，AB//CD，点E在AB、CD之间，求证：∠BED=∠B+∠D。
这虽然是一道较简单的证明题，但涉及到作辅助线，而这是初学平面几何的一大难关，学生面对此题，往往会无从下手，思维处于无序状态。这时，教师就要利用“执因导果”和“执果索因”的思维方式进行巧妙引导：从已知条件AB//CD可推知同位角相等、内错角相等或同旁内角互补，∠B和∠D属于哪种关系？如果不属于以上关系，那么怎样添加辅助线才能将∠BED、∠B、∠D联系起来？通过切入引导，学生的思维由无序转向有序，很自然地得到“过点E作EF//AB”这一结论来。具体证明过程如下：
证明：过点E作EF//AB
∵AB//CD
∴AB//CD//EF
∴∠B=∠BEF，∠DEF=∠D
∴∠BED=∠B+∠D
二、从浅显处切入，培养学生思维的抽象性
解决一个具体问题后，多数学生的认知水平仍停留在就题论题的阶段，缺乏深入的思考，难以形成较强大的分析、解决问题的能力，这就需要我们在更具代表性的问题上进行探索、研究，引导学生去辨析、质疑，帮助他们全面思考，深刻理解和把握问题的本质及规律，培养思维的深刻性和抽象性。
例2：如图2，AB、CD相交于O点，AC//BD，OC=OD，E、F在AB上，且AE=BF
求证：CE=DF。
这道题思路较简单，是利用全等三角形的性质进行证明的一道典型例题，教师可将这道题进行变化，产生多种形式的题目。
变式一：将“求证CE=DF”换成“要使CE与DF有何关系，并加以证明”，学生通过思考可能得出“CE=DF，CE//DF”。
变式二：把原题的已知条件“AE=BF”去掉，换成“要使CE=DF成立，应再加一个什么条件？”学生通过思考可以找到“OE=OF或∠BDF=∠ACE”。
通过这样一题多变，让学生体验到它们之间的“形变而质不变”的内在本质特征，领悟出此题型的解题规律，就能增强学生举一反三、触类旁通的解题能力，从而培养学生思维的深刻性和抽象性。
三、从发散处切入，培养学生思维的综合性
在学生掌握了一定的分析问题的方法后，教师就要用典型、生动的事例激发他们的“求异动机”，有意识地安排一些灵活多变的练习，引导他们从不同角度、方法探索思路，做到一题多解，提高解综合题的能力。
例3：如图3，在△ABC中，AD平分∠BAC，
求证：BD：CD=AB：AC。
先引导学生进行思路分析：
思路一：用平行线分线段成比例定理的推论证明，过B、D、C三点中的一点作平行线，一般学生都选用此种证明方法。
思路二：从三角形相似考虑，可构造与△ABC相似的三角形，由∠BAD=∠CAD再作∠ACE=∠B，交AD（或延长线）于E，则△ABD∽△CAE，可得BD：CE=AB：AC，再由∠CED=∠CAD+∠ACE=∠BAD+∠B=∠CDE得CE=CD，所以，可证明BD：CD=AB：AC。
通过一题多解的训练，能够帮助学生从多角度运用数学知识的能力。不仅拓展了学生的解题思路，而且培养了他们的创新意识，开拓了发散思维的空间，训练了思维的灵活性与综合性。
四、从偶然处切入，培养学生思维的创新性
面对一个情境陌生的问题，学生思维无拘无束，有时会迸发出一点“火花”，或是一种新理念、思维，或是某种奇思特解（尽管不一定完美），教师都应对这种“灵感”给予肯定和表扬，引导学生大胆地发表自己的新见解，提高解决问题的能力，增强探索和创新的能力。
例4：已知a、b、c、d为正数，且a2+b2=c2+d2，ac=bd。
求证：a=d，b=c。
此题若用代数方法解决较繁琐，教学中，可引导学生对题目中的已知条件进行猜想，往往会有少数学生发现a2+b2=c2+d2似乎与勾股定理的形式相近，这时要抓住这一偶然的“火花”，鼓励他们去尝试探索，构造出含有直角三角形的几何图形，将代数问题转化成几何问题，用直观形象化的几何性质寻求解题方法，得到一个新颖的证明方法。
证明：由题设，可作RT△ABC和RT△ADC，使∠B=∠D=90。
BC=a，AB=b，AD=c（如图4所示）
∵ac=bd，即BC·AD=AB·CD
∴BC：CD=AB：AD，故Rt△ABC∽Rt△ADC，又∵AC为公共边，故Rt△ABC≌Rt△ADC。
∴BC=CD，AB=AD，即a=d，b=c。
以上是我在解题教学中抓住题目的一些关键处作为切入点，培养学生思维品质的一些探讨。当然，运用解题教学切入，培养学生思维能力的方法是多角度、多层次的，以上只是管窥蠡测而已，不当之处，请方家批评指正。
（作者单位：广东省英德市九龙中学）