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排列组合中，有一类类似于球入盒问题，如何快速、准确地求解此类问题呢？求解此类问题的关键是要弄清楚：球的“同”与“不同”、盒子的“同”与“不同”. 下面分类例析，相信同学们定会从中受到启示，掌握求解此类问题的技巧，从而提高分析问题和解决问题的能力.
将不同小球放入不同的盒中
1. 球少盒多型
求解此种类型的问题，通常利用分步计数原理或排列的方法.
例1 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子里，有几种不同的放法？
解析 可分三步完成，由于每一个球都有4种放法，所以共有[43=64]种不同的放法.
例2 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，每盒至多放一个，有多少种不同的放法？
解析 将盒子看作元素，即从4个不同的盒子里任意取3个放入3个不同的小球，这显然是排列问题. 因此共有[A34=24]种不同的放法.
2. 球多盒少且每盒至少放一球型
求解此类问题的方法是先分组，然后排列.
例3 把4本不同的书奖给3名同学，每个人至少得1本，共有多少种不同的奖励方法？
解析 分配方案为“2，1，1”，即一个盒子放2个球，另两个盒子各放一个球. 将某两个球合为一体，球的搭配有[C24]种方法. 盒子的选择则为三个数字的全排列，即[A33]. 综上可得，[C24?A33=36]种不同的奖励方法.
例4 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？
解析 “恰好型”问题实际上确定了分配方案. 本题的分配方案为“2，1，1，0”，共有[C24?A34=144]种不同的放法.
3. 球与盒个数相同
例5 若将4个不同的小球放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有多少种不同的放法？
解析 本题是4个不同小球的全排列问题，所以有[A44=24]种不同的方法.
例6 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……一直到一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程. 那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少？
解析 从胜方（如甲方）角度考虑，由于甲方是胜方，不论甲方出场参赛有多少人，对方参战肯定是7人，且全部负一场.可将胜方7人看成7个盒子，负方7人看成7个小球，每输一场就向胜方队员对应的盒内放1球，于是问题变成7球放入7盒问题. 因此一方取胜可能出现的种数有[C613]种，故共有[2C613=3432]种.
将相同小球放入不同类型的盒中
对于此类问题，可看成[x1+ x2+…+xm=n]的正整数解的个数，故用隔板法处理.
例7 将6个“三好”分配给四个班级，每个班级至少有一个名额，试问有多少种分配方案？
解析 本题等于求“6个相同的球放入4个不同的盒子且每个盒子不空”的放法. 即有[C4-16-1=C35=10]种分配方案.
例8 将5个相同球放入4个不同的盒子里，恰有一空盒，共有几种不同放法？
解析 第一步：指定一个空盒，有[C14]种方法.
第二步：设剩下的3个盒子里分别放[x1，x2，x3]个小球，则[x1+x2+x3=5，x1≥1，x2≥1，x3≥1，]所以共有[C24]种不同的方法.
例9 把20个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，试问共有多少种不同的放法？
解析 先在编号为1，2，3，4的四个盒子中依次放入1，2，3，4个球，还剩10个球. 原题变为“求10个相同的球放入四个不同的盒子”的放法，即有[C310+3=286]种.
将不同小球放入相同的盒中
求解此类问题，通常采用分组的方法.
例10 若将3个不同的小球放入4个相同的盒子里，有几种不同的放法？
解析 3个不同的小球分成一组有1种方法，分成两组有[C13]种方法，分成3组一种方法. 因为盒子是相同的，所以都放入一个盒子里有1种放法，放入两个盒子里有[C13]种放法（一盒1个，一盒2个），放入3个盒子里有1种方法（选3个盒子，一盒1个球），共有5种方法.
例11 若5个不同的小球放入4个相同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？
解析 第一步：指定1个空盒，有1种方法；第二步：5个不同小球5个小球分成3组，有[（C15C14C33A22+C15C24C22A22）]种不同的方法；
第三步：将3组小球放到3个不同的盒子里，有1种方法.
由分步计数原理可知，一共有[（C15C14C33A22+C15C24C22A22）][=25]种不同的方法.
例12 将3个不同小球放入4个相同的盒子，每盒至多一个，有几种不同放法？
解析 分3组，每组一个球，所以只有1种放法.
例13 若将5个不同的小球放入4个相同的盒子里，每盒至少放1个，有多少种不同的放法？
解析 将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有[C25]种不同的方法；然后再放到4个相同的盒子里，只有一种方法. 故共有[C25=10]种不同的方法.
将相同小球放入相同盒中
此类问题的实质是小球分成若干组有多少种情况.
例14 将5个相同球放入4个相同的盒子，每盒至少1个，有几种不同的放法？
解析 第一步：因为是相同的小球，所以分成4组，只有一种方法（2+1+1+1=5）；第二步：又因为是相同的盒子，所以4组小球放入盒子中只有一种放法. 故只有一种放法.
例15 求方程[x1+x2+x3+x4=7]的正整数解的组数.
解析 可将整数7看成7个相同的小球（每球表示整数1），将变量[x1，x2，x3，x4]看成4个盒子，那么7个小球入4个盒子且无空盒的不同放法种数，就是方程正整数解的组数，故可得正整数解的组数为[C36=20]组.
点拨 若要求的是方程非负整数解的组数，则同理可求得方程非负整数解的组数为[C310]组.
例16 若6个相同球放到3个相同的盒子里，每盒至少1个球，有多少种不同的放法？
解析 因为1+2+3=6，2+2+2=6，1+1+4=6. 故共有3种不同的放法.
例17 [△ABC]的三个内角都是[π12]的整数倍，且三个内角不全相等，这样的三角形有多少个？
解析 三角形内角和为[π]，它是[π12]的12倍，将这12个[π12]的角全部分配到三角形的内角内，其不同的分配方法（除去正三角形一种），就是所求的三角形的个数. 于是问题变成将12个球放入3个盒子没有空盒且3盒内球数不全相等的放法问题，所以符合条件的三角形有[C212-1=65]个.
点拨 一般地，将[n]个同样的小球随机地放入[m（m≤n）]个盒子内的不同放法有[Cm-1n+m-1]种；若要求[m]个盒子内均有球，则不同的放法有[Cm-1n-1]种.
由以上例子可以看出，求解小球放入盒子中问题时，既要注意小球的“同”与“不同”，还要区分盒子的“同”与“不同”，然后根据两个计数原理加以分析.
将不同小球放入不同的盒中
1. 球少盒多型
求解此种类型的问题，通常利用分步计数原理或排列的方法.
例1 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子里，有几种不同的放法？
解析 可分三步完成，由于每一个球都有4种放法，所以共有[43=64]种不同的放法.
例2 若将3个不同的小球放入4个不同的盒子中，每盒至多放一个，有多少种不同的放法？
解析 将盒子看作元素，即从4个不同的盒子里任意取3个放入3个不同的小球，这显然是排列问题. 因此共有[A34=24]种不同的放法.
2. 球多盒少且每盒至少放一球型
求解此类问题的方法是先分组，然后排列.
例3 把4本不同的书奖给3名同学，每个人至少得1本，共有多少种不同的奖励方法？
解析 分配方案为“2，1，1”，即一个盒子放2个球，另两个盒子各放一个球. 将某两个球合为一体，球的搭配有[C24]种方法. 盒子的选择则为三个数字的全排列，即[A33]. 综上可得，[C24?A33=36]种不同的奖励方法.
例4 将4个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法共有多少种？
解析 “恰好型”问题实际上确定了分配方案. 本题的分配方案为“2，1，1，0”，共有[C24?A34=144]种不同的放法.
3. 球与盒个数相同
例5 若将4个不同的小球放入4个不同的盒子里，每盒至少放一个，有多少种不同的放法？
解析 本题是4个不同小球的全排列问题，所以有[A44=24]种不同的方法.
例6 甲、乙两队各出7名队员按事先排好的顺序出场参加围棋擂台赛，双方先由1号队员比赛，负者被淘汰，胜者再与负方2号队员比赛，……一直到一方队员全被淘汰为止，另一方获得胜利，形成一种比赛过程. 那么所有可能出现的比赛过程的种数是多少？
解析 从胜方（如甲方）角度考虑，由于甲方是胜方，不论甲方出场参赛有多少人，对方参战肯定是7人，且全部负一场.可将胜方7人看成7个盒子，负方7人看成7个小球，每输一场就向胜方队员对应的盒内放1球，于是问题变成7球放入7盒问题. 因此一方取胜可能出现的种数有[C613]种，故共有[2C613=3432]种.
将相同小球放入不同类型的盒中
对于此类问题，可看成[x1+ x2+…+xm=n]的正整数解的个数，故用隔板法处理.
例7 将6个“三好”分配给四个班级，每个班级至少有一个名额，试问有多少种分配方案？
解析 本题等于求“6个相同的球放入4个不同的盒子且每个盒子不空”的放法. 即有[C4-16-1=C35=10]种分配方案.
例8 将5个相同球放入4个不同的盒子里，恰有一空盒，共有几种不同放法？
解析 第一步：指定一个空盒，有[C14]种方法.
第二步：设剩下的3个盒子里分别放[x1，x2，x3]个小球，则[x1+x2+x3=5，x1≥1，x2≥1，x3≥1，]所以共有[C24]种不同的方法.
例9 把20个相同的小球全部放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，试问共有多少种不同的放法？
解析 先在编号为1，2，3，4的四个盒子中依次放入1，2，3，4个球，还剩10个球. 原题变为“求10个相同的球放入四个不同的盒子”的放法，即有[C310+3=286]种.
将不同小球放入相同的盒中
求解此类问题，通常采用分组的方法.
例10 若将3个不同的小球放入4个相同的盒子里，有几种不同的放法？
解析 3个不同的小球分成一组有1种方法，分成两组有[C13]种方法，分成3组一种方法. 因为盒子是相同的，所以都放入一个盒子里有1种放法，放入两个盒子里有[C13]种放法（一盒1个，一盒2个），放入3个盒子里有1种方法（选3个盒子，一盒1个球），共有5种方法.
例11 若5个不同的小球放入4个相同的盒子里，恰有1个空盒，有几种不同的放法？
解析 第一步：指定1个空盒，有1种方法；第二步：5个不同小球5个小球分成3组，有[（C15C14C33A22+C15C24C22A22）]种不同的方法；
第三步：将3组小球放到3个不同的盒子里，有1种方法.
由分步计数原理可知，一共有[（C15C14C33A22+C15C24C22A22）][=25]种不同的方法.
例12 将3个不同小球放入4个相同的盒子，每盒至多一个，有几种不同放法？
解析 分3组，每组一个球，所以只有1种放法.
例13 若将5个不同的小球放入4个相同的盒子里，每盒至少放1个，有多少种不同的放法？
解析 将5个小球先分成4组，根据题意，每组分别是2个、1个、1个、1个，有[C25]种不同的方法；然后再放到4个相同的盒子里，只有一种方法. 故共有[C25=10]种不同的方法.
将相同小球放入相同盒中
此类问题的实质是小球分成若干组有多少种情况.
例14 将5个相同球放入4个相同的盒子，每盒至少1个，有几种不同的放法？
解析 第一步：因为是相同的小球，所以分成4组，只有一种方法（2+1+1+1=5）；第二步：又因为是相同的盒子，所以4组小球放入盒子中只有一种放法. 故只有一种放法.
例15 求方程[x1+x2+x3+x4=7]的正整数解的组数.
解析 可将整数7看成7个相同的小球（每球表示整数1），将变量[x1，x2，x3，x4]看成4个盒子，那么7个小球入4个盒子且无空盒的不同放法种数，就是方程正整数解的组数，故可得正整数解的组数为[C36=20]组.
点拨 若要求的是方程非负整数解的组数，则同理可求得方程非负整数解的组数为[C310]组.
例16 若6个相同球放到3个相同的盒子里，每盒至少1个球，有多少种不同的放法？
解析 因为1+2+3=6，2+2+2=6，1+1+4=6. 故共有3种不同的放法.
例17 [△ABC]的三个内角都是[π12]的整数倍，且三个内角不全相等，这样的三角形有多少个？
解析 三角形内角和为[π]，它是[π12]的12倍，将这12个[π12]的角全部分配到三角形的内角内，其不同的分配方法（除去正三角形一种），就是所求的三角形的个数. 于是问题变成将12个球放入3个盒子没有空盒且3盒内球数不全相等的放法问题，所以符合条件的三角形有[C212-1=65]个.
点拨 一般地，将[n]个同样的小球随机地放入[m（m≤n）]个盒子内的不同放法有[Cm-1n+m-1]种；若要求[m]个盒子内均有球，则不同的放法有[Cm-1n-1]种.
由以上例子可以看出，求解小球放入盒子中问题时，既要注意小球的“同”与“不同”，还要区分盒子的“同”与“不同”，然后根据两个计数原理加以分析.