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一、 问题的提出
随着江苏新课程的稳步实施,自2008年起,江苏高考对立体几何的考试要求有了明显的下降,与其他省份的考试侧重点迥然不同.比如江苏教材中已删去了“三垂线定理及其逆定理”等内容；另一方面,由于理科增加了“空间向量与立体几何”,使得考生在处理立体几何问题时的手段更加灵活.
二、 借助向量处理立体几何中的经典问题
例1 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB1⊥BC1,BC1⊥CA1.
求证:AB1⊥CA1.（2010年南京市高三一轮资料（通用篇）P107例2）
本题的参考答案直接用了三垂线定理及其逆定理,显然是不合时宜的,对于文科学生运用现有的知识可采用如下方法:
法一:分别取AB,A1B1中点D,D1,连结DD1,CD,C1D1,AD1,D1B.
ⅰ. 由AB1⊥BC1及AB1⊥C1D1 证AB1⊥面BC1D1,进而AB1⊥BD1；
ⅱ. 由A1DBD1证AB1⊥A1D,
结合AB1⊥CD证AB1⊥面A1CD,从而AB1⊥A1C.
此法可见:题设中条件BC1⊥CA1是多余的,但文科生以及理科中、后进生完成此题的论证确实很吃力.对于理科生则可采用建系的方法轻松获证:
法二:同法一取中点D,D1,在证完三垂后
以D为原点建系如图,设正三棱柱的底面
边长为a,高为h.可得AB1=(2a,0,h)，
BC1=(-a,3a,h)，CA1=(-a,-3a,h)，
由AB1⊥BC1，得AB1•BC1=-2a2+h2=0,
可证AB1•CA1=-2a2+h2=0,
于是AB1⊥CA1.
此法中也未用到条件BC1⊥CA1,足见它是多余的.
三、 利用坐标系证明（线线、线面、面面）垂直、平行的简化策略
按常规思路:在建坐标系的前提下,通常利用a⊥n证a⊥α；用a⊥n证a⊥α(其中a为直线a的一个方向向量,n为面α的一个法向量),因此必经之路是求面α的一个法向量,这个过程有时比较繁琐,尤其是利用两个面的法向量的平行或垂直去证这两个面的平行或垂直时,需求出这两个面的法向量,学生常嫌过程琐碎而放弃.为了鼓励采用传统方法推证有困难的同学大胆尝试选用向量法,笔者认为可将两类方法有机结合,以简化过程,而又不失严谨性.
例2 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AP⊥A1D交侧棱DD1于点P.
求证：(1) BP⊥A1D；(2) BP⊥面AB1C；(3) 面ABP⊥面A1DC.
（2010年南京市高三二轮资料P97例5）
对于本题（2）,参考答案给出的证明含糊其辞:“同理”使用不当,若按传统方法规范证明,则过程冗长,笔者引导学生以D为原点建系如图,设正四棱柱底面边长为a,高为b,DP=h,可得AP=(-a,0,h)，DA1=(a,0,b)AB1=(0,a,b),
AC=(-a,a,0)，BP=(-a,-a,h)，
∵AP⊥A1D∴AP•DA1=-a2+bh=0，
可证AB1•BP=0，AC•BP=0，
于是AB1⊥BP,AC⊥BP,
而AB1∩AC=A,∴BP⊥面AB1C.
例3 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点.
求证:(1) AP⊥MN；(2) 面MNP⊥面A1BD.
（2010年南京市高三一轮资料（通用篇）P105/反馈8）
本题（1）的参考答案用了三垂线定理及其
逆定理,显然欠妥,可选择以D1为
原点建系如图,设正方体棱长为2a,得
AP=(-2a,a-2a),MN=(a,0,-a),
易证AP•MN=0；
对于（1）,传统方法亦可平移MN至A1D,先证A1D⊥面AD1P,从而有A1D⊥AP,最后证得MN⊥AP，但规范书写的证明过程较长而显得很复杂，推理基础薄弱的学生很难写好.
对于（2）,可利用向量证MN⊥A1D，进而MN⊥面A1BD,
同理PN⊥面A1BD;而MN∩PN=N,∴面MNP⊥面A1BD.
例4 已知直角梯形ABCD中,
AB⊥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，
过点A作AE⊥CD于E.G，F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
（1） 求证:（ⅰ） BC⊥面CDE；（ⅱ） FG⊥面BCD；
(2) 在线段AE上找一点R,使得面BDR⊥面DCB,并说明理由.
（盐城市08届高三二模卷17—08.04）
对于本题中的（3）,传统方法就比较困难,若以E为原点建系如图,设ER=x,则有BR=(x-2,-1,0),CH=1,-12,32,
在△BCD中,由BC=CD=2,BH=DH知CH⊥BD,
若面BDR⊥面DCB,可得CH⊥面BDR
∴CH⊥BR,故CH•BR=(x-2)+12+0=0，
∴x=32,此时ER=32,AR=12
反之，当CH⊥BR时,可得CH⊥面BRD，
进而面BRD⊥面DCB
∴当AR∶ER=1∶3时符合题设.
综上所述，在选用向量证明立几有关问题时，可不必按常规求面的法向量：ⅰ. 证线面平行时，只要用向量证该线与面中某条线平行（即它们的方向向量共线，以下同）；ⅱ. 证线面垂直时，只要用向量证该线与面中某两条相交线垂直；ⅲ. 证面面平行时，只要用向量证其中一个面中有两条相交线分别与另一面平行；ⅳ. 证面面垂直时，只要用向量证其中一个面中有一条线分别与另一面中的两条相交线垂直.概言之：即分别用线面（或面面）垂直（或平行）的判定定理，借助向量工具完成传统的证明，这样处理常常可以降低思维难度，简化证明过程.
四、 在不建系或不便建系时,亦可考虑选用基向量策略
例5 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D在棱BC上,AD⊥C1D,点E,F分别是BB1,A1B1的中点．求证:(1) D为BC中点；（2） EF⊥面ADC1.
（南师大附中09届高三三模卷16—09.05）
本题（2）可平移EF到A1B,利用△A1BC中位线DG⊥A1B(其中G=A1C∩AC1)获证；但若学生看不透图中线线关系,亦可选择一组基向量证平行:
如设AC=a,AC=b，AA1=c，则EF=BA12=c-a2，
DG=DA+DC12=-12AD+12DC1
=-12•a+b2+12•BC2+CC1=-14(a+b)+14(b-a)+c2
=-a2+c2=EF,∴DG⊥EF.
例6 如图,四边形ABCD为正方形,PB⊥面ABCD,MA⊥PB,PB=AB=2MA.
（1） 证明:AC⊥面PMD；（2） 在线段PB上是否存在点N,使OM⊥AN,若存在,试找出点N的位置；否则请说明理由.（某校09届高三三模卷16—09.05）
对于（2）,可建系或选择一组基向量AD,AB,AM,将相关量用基向量表示:
设AM=a,则PB=AB=2MA=2a,
由PB⊥面ABCD知PB⊥OA,AM⊥AB,
而OM=OA+AM,AN=AB+BN,
若线段PB上存在点N,使OM⊥AN,
则OM•AN=(OA+AM)•(AB+BN)
=OA•AB+OA•BN+AM•AB+AM•BN=22•2a•2a•cos34π+0+0+a•BN=-2a2+a•BN=0，
∴BN=2a
反之，当BN=2a时,OM•AN=0，∴OM⊥AN ∴当N为点P时符合题设.
五、 结束语
自2002年起的新一轮义务教育课程改革后,新教材培养出来的初中生知识面宽了,合作意识强了,但由于义务教材中逻辑推理论证内容的减少,以及代数运算与恒等变形能力要求的降低,使得他们在后继的高中学习阶段常感后劲不足.
尽管高中教材对立体几何部分的要求已作了相应的调整,但立体几何证明过程的规范性和条理性仍然是制约当今广大中、后进生的一大瓶颈.
为了提高广大中、后进生学习立体几何的兴趣,笔者认为:可以在文科选修11中增加“空间向量与立体几何”这一章,与理科选修2中的第三章相对应,但内容可较理科简单,如删去§3.2.3空间的角的计算,这样在高考的前160分中,全体考生都可以根据问题的特点及自己的擅长灵活地选择方法解答立几问题.
事实上,近几年来,广大的中、后进生尽管在立几上投入了不少精力,但学习效果却不能成正比例地体现,这也严重挫伤了他们学习立几的积极性,有的同学甚至选择放弃！
如果在高中阶段统一引进空间向量辅助处理立几问题,把几何问题代数化,让中、后进生能动起手来,这样可大大激发他们的学习热情,让他们学有所成,从而让全体中学生的数学素养得到真正的提升,这样素质教育的口号才能在数学学科上真正落到实处.
其实,早在2002年高中新教材的雏形刚刚出炉时,全省就掀起了一股学习空间向量与坐标系并用于作为辅助解决立几问题的新工具的热潮,当时同仁们纷纷开讲座、印讲义,搞研究,为学生补充运用空间向量解答立几问题的范例,让学生效仿,也确实取得了不小的成效.
诚然,当年人们研究运用向量工具处理立几问题是全面的,系统的,也是很严谨的,那时同学们也确实感到向量方法好学、易懂,只是具体操作起来过于繁琐,因此如果像笔者前文所提到的那样：仅把空间向量作为处理立几问题的一套辅助工具,允许学生将其与传统方法融合在一起,灵活地选用,那必将提高学生学习立几的兴趣,增强必胜的信心,从而有效地提高学习立几的质量.
专家们若能撇开文理科本身的区别,多从学生的知识基础与能力基础考虑,着眼于普及大众数学,切实提高全体中学生的基本的逻辑思维与推理论证能力,同时兼顾当代中学生的认知结构与情感态度和价值观的现状,理应考虑让全体中学生都能接受“空间向量与立体几何”知识的学习，让他们从中尝到学习立几获得成功的甜头，从而增强自信心，提高全民族的数学素养.
随着江苏新课程的稳步实施,自2008年起,江苏高考对立体几何的考试要求有了明显的下降,与其他省份的考试侧重点迥然不同.比如江苏教材中已删去了“三垂线定理及其逆定理”等内容；另一方面,由于理科增加了“空间向量与立体几何”,使得考生在处理立体几何问题时的手段更加灵活.
二、 借助向量处理立体几何中的经典问题
例1 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,若AB1⊥BC1,BC1⊥CA1.
求证:AB1⊥CA1.（2010年南京市高三一轮资料（通用篇）P107例2）
本题的参考答案直接用了三垂线定理及其逆定理,显然是不合时宜的,对于文科学生运用现有的知识可采用如下方法:
法一:分别取AB,A1B1中点D,D1,连结DD1,CD,C1D1,AD1,D1B.
ⅰ. 由AB1⊥BC1及AB1⊥C1D1 证AB1⊥面BC1D1,进而AB1⊥BD1；
ⅱ. 由A1DBD1证AB1⊥A1D,
结合AB1⊥CD证AB1⊥面A1CD,从而AB1⊥A1C.
此法可见:题设中条件BC1⊥CA1是多余的,但文科生以及理科中、后进生完成此题的论证确实很吃力.对于理科生则可采用建系的方法轻松获证:
法二:同法一取中点D,D1,在证完三垂后
以D为原点建系如图,设正三棱柱的底面
边长为a,高为h.可得AB1=(2a,0,h)，
BC1=(-a,3a,h)，CA1=(-a,-3a,h)，
由AB1⊥BC1，得AB1•BC1=-2a2+h2=0,
可证AB1•CA1=-2a2+h2=0,
于是AB1⊥CA1.
此法中也未用到条件BC1⊥CA1,足见它是多余的.
三、 利用坐标系证明（线线、线面、面面）垂直、平行的简化策略
按常规思路:在建坐标系的前提下,通常利用a⊥n证a⊥α；用a⊥n证a⊥α(其中a为直线a的一个方向向量,n为面α的一个法向量),因此必经之路是求面α的一个法向量,这个过程有时比较繁琐,尤其是利用两个面的法向量的平行或垂直去证这两个面的平行或垂直时,需求出这两个面的法向量,学生常嫌过程琐碎而放弃.为了鼓励采用传统方法推证有困难的同学大胆尝试选用向量法,笔者认为可将两类方法有机结合,以简化过程,而又不失严谨性.
例2 如图，在正四棱柱ABCDA1B1C1D1中,AP⊥A1D交侧棱DD1于点P.
求证：(1) BP⊥A1D；(2) BP⊥面AB1C；(3) 面ABP⊥面A1DC.
（2010年南京市高三二轮资料P97例5）
对于本题（2）,参考答案给出的证明含糊其辞:“同理”使用不当,若按传统方法规范证明,则过程冗长,笔者引导学生以D为原点建系如图,设正四棱柱底面边长为a,高为b,DP=h,可得AP=(-a,0,h)，DA1=(a,0,b)AB1=(0,a,b),
AC=(-a,a,0)，BP=(-a,-a,h)，
∵AP⊥A1D∴AP•DA1=-a2+bh=0，
可证AB1•BP=0，AC•BP=0，
于是AB1⊥BP,AC⊥BP,
而AB1∩AC=A,∴BP⊥面AB1C.
例3 如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,
M，N，P分别是C1C，B1C1，C1D1的中点.
求证:(1) AP⊥MN；(2) 面MNP⊥面A1BD.
（2010年南京市高三一轮资料（通用篇）P105/反馈8）
本题（1）的参考答案用了三垂线定理及其
逆定理,显然欠妥,可选择以D1为
原点建系如图,设正方体棱长为2a,得
AP=(-2a,a-2a),MN=(a,0,-a),
易证AP•MN=0；
对于（1）,传统方法亦可平移MN至A1D,先证A1D⊥面AD1P,从而有A1D⊥AP,最后证得MN⊥AP，但规范书写的证明过程较长而显得很复杂，推理基础薄弱的学生很难写好.
对于（2）,可利用向量证MN⊥A1D，进而MN⊥面A1BD,
同理PN⊥面A1BD;而MN∩PN=N,∴面MNP⊥面A1BD.
例4 已知直角梯形ABCD中,
AB⊥CD，AB⊥BC，AB=1，BC=2，CD=1+3，
过点A作AE⊥CD于E.G，F分别为AD,CE的中点,现将△ADE沿AE折叠,使得DE⊥EC.
（1） 求证:（ⅰ） BC⊥面CDE；（ⅱ） FG⊥面BCD；
(2) 在线段AE上找一点R,使得面BDR⊥面DCB,并说明理由.
（盐城市08届高三二模卷17—08.04）
对于本题中的（3）,传统方法就比较困难,若以E为原点建系如图,设ER=x,则有BR=(x-2,-1,0),CH=1,-12,32,
在△BCD中,由BC=CD=2,BH=DH知CH⊥BD,
若面BDR⊥面DCB,可得CH⊥面BDR
∴CH⊥BR,故CH•BR=(x-2)+12+0=0，
∴x=32,此时ER=32,AR=12
反之，当CH⊥BR时,可得CH⊥面BRD，
进而面BRD⊥面DCB
∴当AR∶ER=1∶3时符合题设.
综上所述，在选用向量证明立几有关问题时，可不必按常规求面的法向量：ⅰ. 证线面平行时，只要用向量证该线与面中某条线平行（即它们的方向向量共线，以下同）；ⅱ. 证线面垂直时，只要用向量证该线与面中某两条相交线垂直；ⅲ. 证面面平行时，只要用向量证其中一个面中有两条相交线分别与另一面平行；ⅳ. 证面面垂直时，只要用向量证其中一个面中有一条线分别与另一面中的两条相交线垂直.概言之：即分别用线面（或面面）垂直（或平行）的判定定理，借助向量工具完成传统的证明，这样处理常常可以降低思维难度，简化证明过程.
四、 在不建系或不便建系时,亦可考虑选用基向量策略
例5 如图,在正三棱柱ABCA1B1C1中,点D在棱BC上,AD⊥C1D,点E,F分别是BB1,A1B1的中点．求证:(1) D为BC中点；（2） EF⊥面ADC1.
（南师大附中09届高三三模卷16—09.05）
本题（2）可平移EF到A1B,利用△A1BC中位线DG⊥A1B(其中G=A1C∩AC1)获证；但若学生看不透图中线线关系,亦可选择一组基向量证平行:
如设AC=a,AC=b，AA1=c，则EF=BA12=c-a2，
DG=DA+DC12=-12AD+12DC1
=-12•a+b2+12•BC2+CC1=-14(a+b)+14(b-a)+c2
=-a2+c2=EF,∴DG⊥EF.
例6 如图,四边形ABCD为正方形,PB⊥面ABCD,MA⊥PB,PB=AB=2MA.
（1） 证明:AC⊥面PMD；（2） 在线段PB上是否存在点N,使OM⊥AN,若存在,试找出点N的位置；否则请说明理由.（某校09届高三三模卷16—09.05）
对于（2）,可建系或选择一组基向量AD,AB,AM,将相关量用基向量表示:
设AM=a,则PB=AB=2MA=2a,
由PB⊥面ABCD知PB⊥OA,AM⊥AB,
而OM=OA+AM,AN=AB+BN,
若线段PB上存在点N,使OM⊥AN,
则OM•AN=(OA+AM)•(AB+BN)
=OA•AB+OA•BN+AM•AB+AM•BN=22•2a•2a•cos34π+0+0+a•BN=-2a2+a•BN=0，
∴BN=2a
反之，当BN=2a时,OM•AN=0，∴OM⊥AN ∴当N为点P时符合题设.
五、 结束语
自2002年起的新一轮义务教育课程改革后,新教材培养出来的初中生知识面宽了,合作意识强了,但由于义务教材中逻辑推理论证内容的减少,以及代数运算与恒等变形能力要求的降低,使得他们在后继的高中学习阶段常感后劲不足.
尽管高中教材对立体几何部分的要求已作了相应的调整,但立体几何证明过程的规范性和条理性仍然是制约当今广大中、后进生的一大瓶颈.
为了提高广大中、后进生学习立体几何的兴趣,笔者认为:可以在文科选修11中增加“空间向量与立体几何”这一章,与理科选修2中的第三章相对应,但内容可较理科简单,如删去§3.2.3空间的角的计算,这样在高考的前160分中,全体考生都可以根据问题的特点及自己的擅长灵活地选择方法解答立几问题.
事实上,近几年来,广大的中、后进生尽管在立几上投入了不少精力,但学习效果却不能成正比例地体现,这也严重挫伤了他们学习立几的积极性,有的同学甚至选择放弃！
如果在高中阶段统一引进空间向量辅助处理立几问题,把几何问题代数化,让中、后进生能动起手来,这样可大大激发他们的学习热情,让他们学有所成,从而让全体中学生的数学素养得到真正的提升,这样素质教育的口号才能在数学学科上真正落到实处.
其实,早在2002年高中新教材的雏形刚刚出炉时,全省就掀起了一股学习空间向量与坐标系并用于作为辅助解决立几问题的新工具的热潮,当时同仁们纷纷开讲座、印讲义,搞研究,为学生补充运用空间向量解答立几问题的范例,让学生效仿,也确实取得了不小的成效.
诚然,当年人们研究运用向量工具处理立几问题是全面的,系统的,也是很严谨的,那时同学们也确实感到向量方法好学、易懂,只是具体操作起来过于繁琐,因此如果像笔者前文所提到的那样：仅把空间向量作为处理立几问题的一套辅助工具,允许学生将其与传统方法融合在一起,灵活地选用,那必将提高学生学习立几的兴趣,增强必胜的信心,从而有效地提高学习立几的质量.
专家们若能撇开文理科本身的区别,多从学生的知识基础与能力基础考虑,着眼于普及大众数学,切实提高全体中学生的基本的逻辑思维与推理论证能力,同时兼顾当代中学生的认知结构与情感态度和价值观的现状,理应考虑让全体中学生都能接受“空间向量与立体几何”知识的学习，让他们从中尝到学习立几获得成功的甜头，从而增强自信心，提高全民族的数学素养.