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摘要：对比教学法是应用在教学中的一种重要的教学策略和方法。针对“数字信号处理”课程的特点，探讨将对比教学法应用于该课程的教学中。通过三个实例说明如何在“数字信号处理”课程教学中合理运用对比教学法，提高教学效果。
关键词：数字信号处理；对比；教学
作者简介：叶新荣（1976-），男，安徽宿松人，安徽师范大学物理与电子信息学院，讲师；张爱清（1982-），女，安徽宿松人，安徽师范大学物理与电子信息学院，讲师。（安徽 芜湖 241000）
基金项目：本文系安徽高等学校省级自然科学研究项目（项目编号：KJ2010B361、KJ2010B358、KJ2012B069）、高等学校省级优秀青年人才基金项目（项目编号：2010SQRL030）、安徽师范大学创新基金项目（项目编号：2011cxjj08）、安徽师范大学电子信息工程国家级特色专业建设项目、安徽师范大学安徽省卓越工程师培养计划项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）01-0058-02
“数字信号处理”是电子类和信息类专业重要的专业基础课。课程内容涉及面广、理论性强、概念抽象。学生普遍反映是一门难学的课程。如何采取科学而有效的教学方法让学生更容易接受和理解知识，并提高学生自主学习和解决实际问题的能力，提高课程教学质量，是该课程许多老师一直在研究的问题。[1，2]
通过对“数字信号处理”知识体系[3]及其与相关课程联系的分析不难发现，很多内容或知识点之间存在着许多可比较的地方。因此，本文将探讨在该课程的教学过程中应用对比教学法提高教学效果。
一、对比教学法
所谓“对比教学法”，是将教材中有一定联系和差异的教学内容放在一起进行对比讨论和分析，找出其中的异同点，将有关的知识和理论迁移到另一对象上。这种方法不是简单的比较，而是举一反三、对比类推的过程，学生在理解一个内容之后很自然地想到另外一个内容，易于掌握和理解，所以能很好地达到教学目的。
在“数字信号处理”课程的教学过程中，若能灵活使用比较教学法，潜移默化地引导学生将相近或相似的概念和方法进行归纳、比较，不仅能使学生更好地理解不同内容之间的共性和个性，牢固掌握基本理论和知识，而且能够培养学生的发散思维能力，激发学生的学习兴趣，对提高教学效果大有益处。下面通过几个实例来说明如何在“数字信号处理”课程的教学中应用对比教学法。
二、对比教学法在“数字信号处理”中的应用举例
1.连续时间信号与离散时间信号分析方法的对比
连续时间信号与系统的分析是“数字信号处理”的先修课程“信号与系统”[4]中的重要知识点，离散时间信号与系统的分析是“数字信号处理”的重要内容之一，两者在分析方法上密切相关。在教学过程中，教师对离散时间信号与系统进行分析时如果适当地与连续时间信号与系统进行对比讨论，既能帮助学生巩固旧知识又能使之加深对新知识的理解。
连续时间信号用连续变量的时间函数表示，在频域用信号的傅里叶变换（FT）或拉普拉斯变换（LT）表示。离散时间信号用时域离散信号（序列）表示，在频率域用离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）或Z变换（ZT）表示。
同样都可用傅里叶变换分析，但由于连续时间信号和离散时间信号的表示方法和特点不同，两种傅里叶变换的形式完全不同。
连续时间信号的FT用积分式（1）表示：
（1）
存在的充分条件是＜∞，而离散时间信号的DTFT用序列求和式（2）表示：
（2）
存在的充分条件是＜∞。
在讲解DTFT的过程中，对比两种变换形式可以看出，从数学的角度可以将DTFT理解为FT 积分形式的离散化表示。因此FT的一系列性质如线性性质、时移与频移性质、卷积性质在DTFT中同样适用。这样学生在已有FT性质知识的基础上学习DTFT的性质，既巩固了对FT的掌握，又加强了对DTFT的理解。
但由于两者形式的不同，DTFT又具有不同于FT的性质。从的表示形式中可以推导出：
（M为整数）
从而得出为w的周期函数的结论，周期为，而不具有此性质。对这一性质的物理意义地讲解非常重要，能进一步让学生得出“时域离散化，频域周期化”的结论，加深对连续时间信号与离散时间信号时域、频域特征的理解。
对于ZT和LT的联系与区别可以按照相同的思路进行对比，在此不作详述。
2.连续时间系统与离散时间系统分析方法的对比
系统分析的任务是对于具有某种初始状态的系统输入一个或若干个激励信号，求取系统某些部分输出的响应信号。本论文中所涉及的系统均为线性时不变系统，系统的分析方法有两种，即时域分析法和变换域分析法。由于系统地组成和所处理信号的性质不同，对连续时间系统和离散时间系统工作情况进行描述的数学工具也不同。连续时间系统用线性常系数微分方程表示，离散时间系统用线性常系数差分方程表示。两者在形式上有某种对应的相似关系，而且进行数值计算时只要所取的间隔足够小，微分方程可以近似为差分方程。
时域分析时两者均可采用经典法（完全响应=齐次解+特解）和双零法（完全响应=零输入响应+零状态响应）。用这两种时域方法分析系统时，均要求解系统的特征根，每一特征根决定一项自然响应。对于连续时间系统，特征根是指数函数的幂数，所以自然响应的幅度和振荡频率分别取决于特征根的实部和虚部，系统是否稳定取决于各特征根是否全部位于S平面的左半平面内。对于离散时间系统，特征根是指函数的底数，所以自然响应的幅度和振荡频率分别决定于特征根的模和相位，系统是否稳定取决于各特征根是否全部位于Z平面的单位圆内。在教学过程中引导学生比较两种特征根意义的不同，加深学生对系统性质的判断和理解。 变换域分析系统时，基本思想是通过某种变换将描述此系统工作情况的方程变换成代数方程。连续时间系统分析时，通过LT将微分方程变换成代数方程；离散时间系统分析时，通过ZT将差分方程变换成代数方程。两者都同样应用了转移函数的概念，并通过转移函数考察系统的频率响应。两种系统的分析方法比较如表1所示。
递推法
变换域分析法 变换方法：LT
系统响应Y（s）y（t）
系统函数：H（s）
系统单位冲击响应：h（t）H（s）
系统零状态响应：
Yzs（s）=X（s）H（s）
yzs（t）=x（t）×h（t） 变换方法：ZT
系统响应Y（z）y（n）
系统函数：H（z）
系统单位样值响应：h（t）H（z）
系统零状态响应：
Yzs（z）=X（z）H（z）
yzs（n）=x（n）×h（n）
系统性质 稳定性判断 （1）特征根：
特征根实部<0，系统稳定
（2）H（s）极点：
H（s）全部极点位于S平面左半平面，系统稳定 （1）特征根：
特征根模量<1，系统稳定
（2）H（z）极点：
H（z）全部极点位于Z平面单位圆内，系统稳定
频率响应
通过频率变量在S平面虚轴上移动讨论系统频率响应特性
通过频率变量w在Z平面单位圆上移动讨论系统频率响应特性
3.几种变换的对比
在“数字信号处理”课程中，着重分析了DTFT、DFT、ZT、DFS几种变换。这几种变换之间相互联系，在教学过程中一定要指导学生理清这几种变换之间的关系，才能让学生在学习的过程中避免混淆。如图1揭示了几种变换之间的关系，设是长度为M的有限长序列。
在大多数“数字信号处理”教材中都是首先介绍DTFT，再分析DFT。下面以DFT为例说明如何通过比较这几种变换之间的关系来加强学生对各种变换的理解。
首先，在DFT的引入上，可以通过DTFT在区间上得到，也可以通过DFS取主值获得。这既与已有知识点联系又可以突出DFT取值离散且有限长的优点，从而可以用计算机进行处理。其次，在DFT性质分析时，完全可以与DTFT的各种性质进行对比。其中特别需要注意的是卷积和移位的性质。在DFT中，移位定理中采取的是循环移位，卷积定理中采用的是循环卷积。在教学过程中，通过对线性卷积、循环卷积的计算过程和结果的比较来分析两者的异同，并进一步推导出如何利用DFT通过循环卷积求线性卷积，而这是DFT的重要应用之一，从而使得看起来分散的知识点成为有机的整体，便于学生对DFT性质和应用的掌握。
三、运用对比教学法的注意事项
对比教学法作为一种重要的教学策略和方法有着很明显的优势。但它对教师知识结构的深度和广度提出了相当高的要求。教师在“数字信号处理”教学过程中运用对比教学法时应注意以下几个方面：
第一，对比的内容要深入。在运用对比教学法时应不断深入挖掘两个对象相同点和不同点背后的原因，这样才能让学生“知其然，且知其所以然”，牢固地掌握知识，进而很好地帮助学生培养透过现象看本质的能力。
第二，对比的对象选取要恰当。尽管“数字信号处理”中知识点很多，但不是任何两个知识点都适合进行对比，也不是每一个相同点和不同点都值得挖掘。教师通过选取适当的比较对象来明确它们之间的比较点，培养学生找到有价值的知识点进行对比，以达到让学生更深刻理解知识点的目的。
第三，对比的过程要注意引导学生自己去发现新知识。在运用对比教学法的过程中，教师在进行知识的对比过程中要通过恰当的提问和启发引导学生自己寻找两个知识之间的异同点，进而通过对比发现新的问题及解决新问题的方法，营造出学生积极思考的学习氛围。
四、结语
“数字信号处理”是一门重要的专业基础课，其教学效果的好坏直接影响到学生后续专业课程的学习。在深入分析该课程内容特点及其与相关课程关系的基础上，本文研究如何在“数字信号处理”教学过程中合理运用对比教学法，使学生在牢固掌握知识点的同时，培养学生创造性思维和发现并解决新问题的能力。
参考文献：
[1]于家城，高永清.“数字信号处理”课程教学改革的实践[J].电气电子教学学报，2009，31（5）：20-22.
[2]蔡跃明，程云鹏，等.关于提高“数字信号处理”课程授课质量的探讨[J].电气电子教学学报，2009，31（1）：97-98.
[3]程佩青.数字信号处理教程[M].第三版.北京：清华大学出版社，2007.
[4]郑君里.信号与系统[M].第三版.北京：高等教育出版社，2011.
（责任编辑：李杰）
关键词：数字信号处理；对比；教学
作者简介：叶新荣（1976-），男，安徽宿松人，安徽师范大学物理与电子信息学院，讲师；张爱清（1982-），女，安徽宿松人，安徽师范大学物理与电子信息学院，讲师。（安徽 芜湖 241000）
基金项目：本文系安徽高等学校省级自然科学研究项目（项目编号：KJ2010B361、KJ2010B358、KJ2012B069）、高等学校省级优秀青年人才基金项目（项目编号：2010SQRL030）、安徽师范大学创新基金项目（项目编号：2011cxjj08）、安徽师范大学电子信息工程国家级特色专业建设项目、安徽师范大学安徽省卓越工程师培养计划项目的研究成果。
中图分类号：G642.0 文献标识码：A 文章编号：1007-0079（2013）01-0058-02
“数字信号处理”是电子类和信息类专业重要的专业基础课。课程内容涉及面广、理论性强、概念抽象。学生普遍反映是一门难学的课程。如何采取科学而有效的教学方法让学生更容易接受和理解知识，并提高学生自主学习和解决实际问题的能力，提高课程教学质量，是该课程许多老师一直在研究的问题。[1，2]
通过对“数字信号处理”知识体系[3]及其与相关课程联系的分析不难发现，很多内容或知识点之间存在着许多可比较的地方。因此，本文将探讨在该课程的教学过程中应用对比教学法提高教学效果。
一、对比教学法
所谓“对比教学法”，是将教材中有一定联系和差异的教学内容放在一起进行对比讨论和分析，找出其中的异同点，将有关的知识和理论迁移到另一对象上。这种方法不是简单的比较，而是举一反三、对比类推的过程，学生在理解一个内容之后很自然地想到另外一个内容，易于掌握和理解，所以能很好地达到教学目的。
在“数字信号处理”课程的教学过程中，若能灵活使用比较教学法，潜移默化地引导学生将相近或相似的概念和方法进行归纳、比较，不仅能使学生更好地理解不同内容之间的共性和个性，牢固掌握基本理论和知识，而且能够培养学生的发散思维能力，激发学生的学习兴趣，对提高教学效果大有益处。下面通过几个实例来说明如何在“数字信号处理”课程的教学中应用对比教学法。
二、对比教学法在“数字信号处理”中的应用举例
1.连续时间信号与离散时间信号分析方法的对比
连续时间信号与系统的分析是“数字信号处理”的先修课程“信号与系统”[4]中的重要知识点，离散时间信号与系统的分析是“数字信号处理”的重要内容之一，两者在分析方法上密切相关。在教学过程中，教师对离散时间信号与系统进行分析时如果适当地与连续时间信号与系统进行对比讨论，既能帮助学生巩固旧知识又能使之加深对新知识的理解。
连续时间信号用连续变量的时间函数表示，在频域用信号的傅里叶变换（FT）或拉普拉斯变换（LT）表示。离散时间信号用时域离散信号（序列）表示，在频率域用离散时间序列的傅里叶变换（DTFT）或Z变换（ZT）表示。
同样都可用傅里叶变换分析，但由于连续时间信号和离散时间信号的表示方法和特点不同，两种傅里叶变换的形式完全不同。
连续时间信号的FT用积分式（1）表示：
（1）
存在的充分条件是＜∞，而离散时间信号的DTFT用序列求和式（2）表示：
（2）
存在的充分条件是＜∞。
在讲解DTFT的过程中，对比两种变换形式可以看出，从数学的角度可以将DTFT理解为FT 积分形式的离散化表示。因此FT的一系列性质如线性性质、时移与频移性质、卷积性质在DTFT中同样适用。这样学生在已有FT性质知识的基础上学习DTFT的性质，既巩固了对FT的掌握，又加强了对DTFT的理解。
但由于两者形式的不同，DTFT又具有不同于FT的性质。从的表示形式中可以推导出：
（M为整数）
从而得出为w的周期函数的结论，周期为，而不具有此性质。对这一性质的物理意义地讲解非常重要，能进一步让学生得出“时域离散化，频域周期化”的结论，加深对连续时间信号与离散时间信号时域、频域特征的理解。
对于ZT和LT的联系与区别可以按照相同的思路进行对比，在此不作详述。
2.连续时间系统与离散时间系统分析方法的对比
系统分析的任务是对于具有某种初始状态的系统输入一个或若干个激励信号，求取系统某些部分输出的响应信号。本论文中所涉及的系统均为线性时不变系统，系统的分析方法有两种，即时域分析法和变换域分析法。由于系统地组成和所处理信号的性质不同，对连续时间系统和离散时间系统工作情况进行描述的数学工具也不同。连续时间系统用线性常系数微分方程表示，离散时间系统用线性常系数差分方程表示。两者在形式上有某种对应的相似关系，而且进行数值计算时只要所取的间隔足够小，微分方程可以近似为差分方程。
时域分析时两者均可采用经典法（完全响应=齐次解+特解）和双零法（完全响应=零输入响应+零状态响应）。用这两种时域方法分析系统时，均要求解系统的特征根，每一特征根决定一项自然响应。对于连续时间系统，特征根是指数函数的幂数，所以自然响应的幅度和振荡频率分别取决于特征根的实部和虚部，系统是否稳定取决于各特征根是否全部位于S平面的左半平面内。对于离散时间系统，特征根是指函数的底数，所以自然响应的幅度和振荡频率分别决定于特征根的模和相位，系统是否稳定取决于各特征根是否全部位于Z平面的单位圆内。在教学过程中引导学生比较两种特征根意义的不同，加深学生对系统性质的判断和理解。 变换域分析系统时，基本思想是通过某种变换将描述此系统工作情况的方程变换成代数方程。连续时间系统分析时，通过LT将微分方程变换成代数方程；离散时间系统分析时，通过ZT将差分方程变换成代数方程。两者都同样应用了转移函数的概念，并通过转移函数考察系统的频率响应。两种系统的分析方法比较如表1所示。
递推法
变换域分析法 变换方法：LT
系统响应Y（s）y（t）
系统函数：H（s）
系统单位冲击响应：h（t）H（s）
系统零状态响应：
Yzs（s）=X（s）H（s）
yzs（t）=x（t）×h（t） 变换方法：ZT
系统响应Y（z）y（n）
系统函数：H（z）
系统单位样值响应：h（t）H（z）
系统零状态响应：
Yzs（z）=X（z）H（z）
yzs（n）=x（n）×h（n）
系统性质 稳定性判断 （1）特征根：
特征根实部<0，系统稳定
（2）H（s）极点：
H（s）全部极点位于S平面左半平面，系统稳定 （1）特征根：
特征根模量<1，系统稳定
（2）H（z）极点：
H（z）全部极点位于Z平面单位圆内，系统稳定
频率响应
通过频率变量在S平面虚轴上移动讨论系统频率响应特性
通过频率变量w在Z平面单位圆上移动讨论系统频率响应特性
3.几种变换的对比
在“数字信号处理”课程中，着重分析了DTFT、DFT、ZT、DFS几种变换。这几种变换之间相互联系，在教学过程中一定要指导学生理清这几种变换之间的关系，才能让学生在学习的过程中避免混淆。如图1揭示了几种变换之间的关系，设是长度为M的有限长序列。
在大多数“数字信号处理”教材中都是首先介绍DTFT，再分析DFT。下面以DFT为例说明如何通过比较这几种变换之间的关系来加强学生对各种变换的理解。
首先，在DFT的引入上，可以通过DTFT在区间上得到，也可以通过DFS取主值获得。这既与已有知识点联系又可以突出DFT取值离散且有限长的优点，从而可以用计算机进行处理。其次，在DFT性质分析时，完全可以与DTFT的各种性质进行对比。其中特别需要注意的是卷积和移位的性质。在DFT中，移位定理中采取的是循环移位，卷积定理中采用的是循环卷积。在教学过程中，通过对线性卷积、循环卷积的计算过程和结果的比较来分析两者的异同，并进一步推导出如何利用DFT通过循环卷积求线性卷积，而这是DFT的重要应用之一，从而使得看起来分散的知识点成为有机的整体，便于学生对DFT性质和应用的掌握。
三、运用对比教学法的注意事项
对比教学法作为一种重要的教学策略和方法有着很明显的优势。但它对教师知识结构的深度和广度提出了相当高的要求。教师在“数字信号处理”教学过程中运用对比教学法时应注意以下几个方面：
第一，对比的内容要深入。在运用对比教学法时应不断深入挖掘两个对象相同点和不同点背后的原因，这样才能让学生“知其然，且知其所以然”，牢固地掌握知识，进而很好地帮助学生培养透过现象看本质的能力。
第二，对比的对象选取要恰当。尽管“数字信号处理”中知识点很多，但不是任何两个知识点都适合进行对比，也不是每一个相同点和不同点都值得挖掘。教师通过选取适当的比较对象来明确它们之间的比较点，培养学生找到有价值的知识点进行对比，以达到让学生更深刻理解知识点的目的。
第三，对比的过程要注意引导学生自己去发现新知识。在运用对比教学法的过程中，教师在进行知识的对比过程中要通过恰当的提问和启发引导学生自己寻找两个知识之间的异同点，进而通过对比发现新的问题及解决新问题的方法，营造出学生积极思考的学习氛围。
四、结语
“数字信号处理”是一门重要的专业基础课，其教学效果的好坏直接影响到学生后续专业课程的学习。在深入分析该课程内容特点及其与相关课程关系的基础上，本文研究如何在“数字信号处理”教学过程中合理运用对比教学法，使学生在牢固掌握知识点的同时，培养学生创造性思维和发现并解决新问题的能力。
参考文献：
[1]于家城，高永清.“数字信号处理”课程教学改革的实践[J].电气电子教学学报，2009，31（5）：20-22.
[2]蔡跃明，程云鹏，等.关于提高“数字信号处理”课程授课质量的探讨[J].电气电子教学学报，2009，31（1）：97-98.
[3]程佩青.数字信号处理教程[M].第三版.北京：清华大学出版社，2007.
[4]郑君里.信号与系统[M].第三版.北京：高等教育出版社，2011.
（责任编辑：李杰）