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【摘 要】导数是联系高等数学与初等数学的纽带，高中阶段引进导数的学习有利于学生更好地理解函数的形态，掌握函数思想，搞清曲线的切线问题，学好其他学科并发展学生的思维能力。因而在中学数学教学及解题过程中，可以利用导数思想解决诸如函数（解析式、值域、最（极）值、单调区间等）问题、切线问题、不等式问题、数列问题以及实际应用等问题。
【关键词】导数；新课程；应用
导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位
《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用
导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
（一）利用导数解决函数问题
利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最（极）值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解 因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函数解析式为y=2x3+9x2+12x-4。
例2 求函数f（x）= - 的值域。
解：f（x）定义域为[-1/2，+∞），由于f′（x）= - = ，又2 - = ，可见当x>-1/2时，f′（x）>0.所以f（x）= - 在[-1/2，+∞）上是增函数。而f（-1/2）=- /2，所以函数f（x）= - 的值域是[- /2，+∞）。
例3 求函数f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。
解 由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则当x∈[-3，-1）或x∈（1，3/2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间。又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3/2）=-9/8，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1时，f（x）取得最大值2。
例4 求f（x）=x3+3/x的单调区间。
解：f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），又f′（x）=3x2-3/x2= ，由f′（x）>0，得x<-1或x>1；又由f′（x）<0，得-1 （二）利用导数解决切线问题
例5 已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称I是C1和C2的公切线，求公切线l的方程。
解 由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲线C1在点P（x1，x12+2x1）的切线方程是y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12。 （1）
由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲线C2在点Q（x2，-x22+a）的切线方程是y-（-x22+a）=-2x2（x-x2），即y=-2x2x+x22+a。 （2）
若l是过P与Q的公切线，则（1）（2）表示的是同一直线，所以2x1+2=-2x2，-x12=x22+a。 消去x2，得2x12+2x1+1+a=0，由题意知△=4-4×2（1+a）=0，所以a=-1/2，则x1=x2=-1/2，即点P与Q重合，此时曲线C1和C2有且仅有一条公切线，且公切线方程为x-y+14=0。
（三）利用导数解决不等式问题
例6 求证：不等式x- 证明 构造函数f1（x）=ln（1+x）-（x- ），则f1′（x）= -1+x= >0。
得知y=f1（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为x>0，所以f1（x）>f1（0）=0，即ln（1+x）>x- 成立。又构造函数f2（x）=x- -ln（1+x），则f2′=1- - = >0。y=f2（x）.在[0，+∞）上单调递增，又x>0，则f2（x）>f2（0）=0，即x- >ln（1+x）成立.综上，原命题成立。
（四）利用导数解决数列问题
例7 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）。
解 注意到nxn-1是xn的导数，即（xn）′=nxn-1，可先求数列{xn}的前n和x+x2+…xn= = ，然后等式两边同时对x求导，有1+2x+3x2+…nxn-1= = 。
三、结束语
导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础。
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）.第三版.北京：高等教育出版社，2001.91
【关键词】导数；新课程；应用
导数在现行的高中数学教材中处于一种特殊的地位，是联系高等数学与初等数学的纽带，是联系多个章节内容以及解决相关问题的重要工具。
一、导数在高中数学新课程中的地位
《普通高中数学课程标准》指出：高中数学课程是由必修课程和选修课程两部分构成的。必修课程是整个高中数学课程的基础，选修课程是在完成必修课程学习的基础上，希望进一步学习数学的学生根据自己的兴趣和需求选修。选修课程由系列1、系列2、系列3、系列4等组成。在系列1和系列2中都选择了导数及其应用。显然，导数的重要性不言而喻。
二、导数在解题中的应用
导数作为高中新教材的新增内容，有广泛的应用性，为解决函数、切线、不等式、数列、实际等问题带来了新思路、新方法，使它成为新教材高考试题的热点和命题新的增长点。
（一）利用导数解决函数问题
利用导数可以求函数的解析式，求函数的值域，求函数的最（极）值，求函数的单调区间。
例1 设函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，且曲线在P点处的切线方程为12x-y-4=0，若函数在x=2处取得极值0，确定函数的解析式。
解 因为函数y=ax3+bx2+cx+d的图像与y轴交点为P点，所以P点的坐标为（0，d），又曲线在P点处的切线方程为y=12x-4，P点坐标适合方程，从而d=-4，又切线斜率k=12，故在x=0处的导数y′|x=0=12，而y′=3ax2+2bx+c，y′|x=0=c，从而c=12，又函数在x=2处取得极值0，所以解12a+4b+12=0，8a+4b+20=0。解得a=2，b=-9，所以所求函数解析式为y=2x3+9x2+12x-4。
例2 求函数f（x）= - 的值域。
解：f（x）定义域为[-1/2，+∞），由于f′（x）= - = ，又2 - = ，可见当x>-1/2时，f′（x）>0.所以f（x）= - 在[-1/2，+∞）上是增函数。而f（-1/2）=- /2，所以函数f（x）= - 的值域是[- /2，+∞）。
例3 求函数f（x）=x3-3x在[-3，3/2]上的最大值和最小值。
解 由于f′（x）=3x2-3=3（x2-1）=3（x+1）（x-1），则当x∈[-3，-1）或x∈（1，3/2]时，f′（x）>0，所以[-3，-1]，[1，3/2]为函数f（x）的单调增区间；当x∈（-1，1）时，f′（x）<0，所以[-1，1]为函数f（x）的单调减区间。又因为f（-3）=-18，f（-1）=2，f（1）=-2，f（3/2）=-9/8，所以，当x=-3时，f（x）取得最小值-18；当x=-1时，f（x）取得最大值2。
例4 求f（x）=x3+3/x的单调区间。
解：f（x）定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），又f′（x）=3x2-3/x2= ，由f′（x）>0，得x<-1或x>1；又由f′（x）<0，得-1
例5 已知抛物线C1：y=x2+2x和C2：y=-x2+a，如果直线l同时是C1和C2的切线，称I是C1和C2的公切线，求公切线l的方程。
解 由C1：y=x2+2x，得y′=2x+2，所以曲线C1在点P（x1，x12+2x1）的切线方程是y-（x12+2x1）=（2x1+2）（x-x1），即y=（2x1+2）x-x12。 （1）
由y=-x2+a，得y′=-2x，所以曲线C2在点Q（x2，-x22+a）的切线方程是y-（-x22+a）=-2x2（x-x2），即y=-2x2x+x22+a。 （2）
若l是过P与Q的公切线，则（1）（2）表示的是同一直线，所以2x1+2=-2x2，-x12=x22+a。 消去x2，得2x12+2x1+1+a=0，由题意知△=4-4×2（1+a）=0，所以a=-1/2，则x1=x2=-1/2，即点P与Q重合，此时曲线C1和C2有且仅有一条公切线，且公切线方程为x-y+14=0。
（三）利用导数解决不等式问题
例6 求证：不等式x-
得知y=f1（x）在[0，+∞）上单调递增，又因为x>0，所以f1（x）>f1（0）=0，即ln（1+x）>x- 成立。又构造函数f2（x）=x- -ln（1+x），则f2′=1- - = >0。y=f2（x）.在[0，+∞）上单调递增，又x>0，则f2（x）>f2（0）=0，即x- >ln（1+x）成立.综上，原命题成立。
（四）利用导数解决数列问题
例7 求和：1+2x+3x2+…+nxn-1（其中x≠0，x≠1）。
解 注意到nxn-1是xn的导数，即（xn）′=nxn-1，可先求数列{xn}的前n和x+x2+…xn= = ，然后等式两边同时对x求导，有1+2x+3x2+…nxn-1= = 。
三、结束语
导数及其应用是微积分学的重要组成部分，是解决许多问题的有力工具，它全面体现了数学的价值：既给学生提供了一种新的方法，又给学生提供了一种重要的思想。总之，开设导数不仅促进学生全面认识了数学的价值，而且发展了学生的辩证思维能力，也为今后进一步学好微积分打下基础。
【参考文献】
[1]华东师范大学数学系.数学分析（上册）.第三版.北京：高等教育出版社，2001.91