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新课程改革,把统计与概率作为一个单独的学习领域引入小学数学课程,这是一个重大的举措,具有里程碑意义。广大一线教师在教学实践中,不断探索,获取了许多经验。但是,前进的道路上总会有一些问题。本文就平时教研活动中出现的三个问题,从现象入手,加以剖析,就教于专家和同行。
误区一:以“平均数”为标准确定“中等偏上”
[片段一]教学平均数
师:谁能举一个平均数的例子?
生:这次单元测验我们班的数学平均分是84分。
师:想一想,你自己考了多少分?你的成绩在班上处于什么水平?
生:我考了86分,我的成绩在班上处于中等偏上。
师:你的成绩在班上处于中等偏上,还要继续努力哦!
……
剖析:高于平均数的一定表示中上水平吗?我们举个例子来看看,10个学生的数学考试成绩为:2个0分,1个84分,6个88分,还有一位王同学是82分。这10个同学的平均成绩是69.4分,王同学高出平均分12.6分,但王同学在10人中却处于倒数第3名,可见平均数不一定能代表中等水平。而中位数的特征是比它大的数据和比它小的数据一样多,所以要问某个数据处于什么水平,要以中位数为标准,如上述片段,在班级数学成绩中位数以上的分数,才能说是“中等偏上”,显然,在这里,教师把比较的标准搞错了。
误区二:把统计方法得出的结论绝对化
[片段二]教学复式折线统计图
(课件出示:小红和小芳跳绳成绩的复式折线统计图)
师:小红跳绳的成绩有什么特点?
生:成绩最好的一次是小红跳的。
生:小红跳绳的成绩不稳定,忽高忽低。
师:小芳的呢?
生:小芳的成绩一直呈上升趋势。
师:如果我们从两人中选1人作代表参加学校组织的“冬季三项比赛”,你们认为应该选谁?为什么?
生:选小芳,因为,尽管成绩最好的一次是小红跳的,但她的成绩不稳定,而小芳的成绩一直呈上升趋势。
师:你分析得很有道理。
……
剖析:首先,我们要弄明白,数理统计学是“归纳”科学,而不是“演绎”科学,它是由“部分推断整体”,是一种合情推理,属于归纳性的结论。因此,统计规律未必蕴含因果关系,这一点是统计方法的本性。小芳的成绩一直呈上升趋势,但这仅仅是一个归纳性的结论,并不是一个必然的结论。如果我们将这个由统计方法得出的结论绝对化,认为小芳的成绩一定会越来越好,一定会超过小红的最高成绩,就会犯一个重大错误,把归纳推理当成了演绎推理。这里的选拔问题,我们应把选手的最高跳绳成绩放在第一位,其次再考虑稳定性。
误区三:通过实验去验证等可能性
[片段三]教学可能性
师:下面我们来做一个抛硬币的实验,谁先来猜一下,硬币落下来后,正面朝上和反面朝上的可能性怎样?
生:正面朝上和反面朝上的可能性相等。
师:你们都同意吗?
生(齐):同意。
师:下面我们一起做实验来验证一下。
(师生一起做实验,可不巧的是抛的累计次数越多,差距也随着不断加大。学生议论纷纷,有的说抛的同学动作有问题,有的建议重新实验,师不得已叫停了实验。)
师解释:如果我们做实验的次数越多越多,你会发现正面朝上和反面朝上的次数会很接近。下面我们来看历史上几位数学家的实验数据。(课件出示表格)
从这三位数学家的实验数据来看,“与一半比相差的次数”相对于实验的总次数来说都是很少的,可见“抛的次数很多时,硬币正面朝上和反面朝上的次数都会接近一半”。
……
剖析:抛硬币确实是一个有助于学生感受随机性的简便易行的实验,但在实际教学中,如果将它处理为验证等可能性的手段,就容易让教师处于尴尬的境地,因为等可能性是“思想”上的概率,即理论概率(古典概率),它一般不是通过实验验证的,往往是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。有些教师多次抛硬币尝试之后感慨:能否“验证1/2”要凭运气。其实,这恰恰体现了随机现象的随机性和可能性的魅力。
同样是抛硬币的问题,如果我们这样设计教学:先让学生多次抛硬币(可先分组抛,再汇总),计算出现正面和反面的次数,然后再根据实验的数据来估计一下出现正面和反面的可能性是多大。如果这个可能性接近1/2的话,就推断这个硬币大概是均匀的。这样教学改变了做实验的目的,不是要通过实验去验证等可能性,而是通过实验,让学生体会随机,感受到数据中蕴含着信息,从数据中获取的信息进行推断,这样的教学才是统计意义的教学,有助于学生增强统计意识,形成数据分析观念。我国著名概率学家陈希孺先生曾说过这样一句话:习惯于从统计规律看问题的人,在思想上不拘执一端,他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律,也承认例外。这段话把数据随机性教学的意义和价值揭示得非常深刻,值得我们广大教师仔细体会。
误区一:以“平均数”为标准确定“中等偏上”
[片段一]教学平均数
师:谁能举一个平均数的例子?
生:这次单元测验我们班的数学平均分是84分。
师:想一想,你自己考了多少分?你的成绩在班上处于什么水平?
生:我考了86分,我的成绩在班上处于中等偏上。
师:你的成绩在班上处于中等偏上,还要继续努力哦!
……
剖析:高于平均数的一定表示中上水平吗?我们举个例子来看看,10个学生的数学考试成绩为:2个0分,1个84分,6个88分,还有一位王同学是82分。这10个同学的平均成绩是69.4分,王同学高出平均分12.6分,但王同学在10人中却处于倒数第3名,可见平均数不一定能代表中等水平。而中位数的特征是比它大的数据和比它小的数据一样多,所以要问某个数据处于什么水平,要以中位数为标准,如上述片段,在班级数学成绩中位数以上的分数,才能说是“中等偏上”,显然,在这里,教师把比较的标准搞错了。
误区二:把统计方法得出的结论绝对化
[片段二]教学复式折线统计图
(课件出示:小红和小芳跳绳成绩的复式折线统计图)
师:小红跳绳的成绩有什么特点?
生:成绩最好的一次是小红跳的。
生:小红跳绳的成绩不稳定,忽高忽低。
师:小芳的呢?
生:小芳的成绩一直呈上升趋势。
师:如果我们从两人中选1人作代表参加学校组织的“冬季三项比赛”,你们认为应该选谁?为什么?
生:选小芳,因为,尽管成绩最好的一次是小红跳的,但她的成绩不稳定,而小芳的成绩一直呈上升趋势。
师:你分析得很有道理。
……
剖析:首先,我们要弄明白,数理统计学是“归纳”科学,而不是“演绎”科学,它是由“部分推断整体”,是一种合情推理,属于归纳性的结论。因此,统计规律未必蕴含因果关系,这一点是统计方法的本性。小芳的成绩一直呈上升趋势,但这仅仅是一个归纳性的结论,并不是一个必然的结论。如果我们将这个由统计方法得出的结论绝对化,认为小芳的成绩一定会越来越好,一定会超过小红的最高成绩,就会犯一个重大错误,把归纳推理当成了演绎推理。这里的选拔问题,我们应把选手的最高跳绳成绩放在第一位,其次再考虑稳定性。
误区三:通过实验去验证等可能性
[片段三]教学可能性
师:下面我们来做一个抛硬币的实验,谁先来猜一下,硬币落下来后,正面朝上和反面朝上的可能性怎样?
生:正面朝上和反面朝上的可能性相等。
师:你们都同意吗?
生(齐):同意。
师:下面我们一起做实验来验证一下。
(师生一起做实验,可不巧的是抛的累计次数越多,差距也随着不断加大。学生议论纷纷,有的说抛的同学动作有问题,有的建议重新实验,师不得已叫停了实验。)
师解释:如果我们做实验的次数越多越多,你会发现正面朝上和反面朝上的次数会很接近。下面我们来看历史上几位数学家的实验数据。(课件出示表格)
从这三位数学家的实验数据来看,“与一半比相差的次数”相对于实验的总次数来说都是很少的,可见“抛的次数很多时,硬币正面朝上和反面朝上的次数都会接近一半”。
……
剖析:抛硬币确实是一个有助于学生感受随机性的简便易行的实验,但在实际教学中,如果将它处理为验证等可能性的手段,就容易让教师处于尴尬的境地,因为等可能性是“思想”上的概率,即理论概率(古典概率),它一般不是通过实验验证的,往往是根据人们长期形成的“对称性经验”确认的。有些教师多次抛硬币尝试之后感慨:能否“验证1/2”要凭运气。其实,这恰恰体现了随机现象的随机性和可能性的魅力。
同样是抛硬币的问题,如果我们这样设计教学:先让学生多次抛硬币(可先分组抛,再汇总),计算出现正面和反面的次数,然后再根据实验的数据来估计一下出现正面和反面的可能性是多大。如果这个可能性接近1/2的话,就推断这个硬币大概是均匀的。这样教学改变了做实验的目的,不是要通过实验去验证等可能性,而是通过实验,让学生体会随机,感受到数据中蕴含着信息,从数据中获取的信息进行推断,这样的教学才是统计意义的教学,有助于学生增强统计意识,形成数据分析观念。我国著名概率学家陈希孺先生曾说过这样一句话:习惯于从统计规律看问题的人,在思想上不拘执一端,他既认识到一种事物从总的方面看有一定的规律,也承认例外。这段话把数据随机性教学的意义和价值揭示得非常深刻,值得我们广大教师仔细体会。