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摘 要:通过活动加强生生间,师生间的互动,激发学生参与活动,投身学习的热情. 活动教学、活动课堂更能彰显学生的主体地位,挖掘学生的潜能,为教师的展示提供更多意外的生成和惊喜.
关键词:活动教学;逆矩阵;课例评析
本节课内容是笔者在江苏省第25期校长培训班上,开设的一节公开课. 本节内容是苏教版选修4-2《矩阵与变换》中第四小节的内容,教学的目标是理解逆矩阵的意义;理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义,会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 本节课笔者先从几何直观、变换的角度让学生认识到研究逆矩阵的必要性,体会实际生活、其他学科以及数学内部无处不在的”反向”、“逆”的现象和思维;然后通过第二大节学习的几种常见变换对应矩阵是否存在逆矩阵,加以分析哪几种有逆矩阵,另外几种为什么没有;最后通过学生自主探究推导出一般求逆矩阵的方法和公式,并且让学生在推导过程中体会逆矩阵存在的条件是什么. 而对于逆矩阵存在的唯一性,笔者更多是让学生举例验证说明,并没有进行严谨、翔实的证明. 基于上述思考和分析,笔者结合本地区教改优势,借助如皋活动导学的先进理念,设计如下的活动单:
[?] 活动单设计
课题:逆矩阵的概念
学习目标:
1. 通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件;通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.
2. 了解证明逆矩阵的惟一性
3. 会求二阶可逆矩阵的逆矩阵
学习过程:
活动一:问题情境
设计意图:在第二节学习几种常见变换的基础上,通过图形的变换,让学生写出由左图变换到右图对应的矩阵,再让学生写出由右图变换到左图对应的矩阵,让学生初步体会“反”、“逆”的思维. 另外让学生举出实际生活中、其他学科中、数学内部的类似于这种“逆”的思维. 这样的设计可以激发学生学习的兴趣,让学生意识到研究逆矩阵的必要性和可能性. 同时可以让学生联系对比之前学习和研究“逆”问题的方法,可以加深对已学知识的理解. 从方法论角度,可以培养学生研究问题的方法,从“逆”的视角重新认识问题,深化对问题的认识,提高思维的深刻性.
活动二:建构数学
问题:对于下列给出的变换矩阵M,是否存在变换矩阵N,使得连续进行两次变换(先TM后TN)的结果与恒等变换的结果相同?
(1)以x轴为反射轴的反射变换;
(2)绕原点逆时针旋转做旋转变换;
(3)横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的倍做伸压变换;
(4)沿y轴方向,向x轴做投影变换.
设计意图:通过四道问题,一是让学生回顾第二大节学习几种常见变换所对应的矩阵,二是让学生进一步体会逆矩阵的存在性,在前面学习的几种矩阵中哪些有逆矩阵,哪些没有逆矩阵,只让学生从几何变换的角度加以说明,不让学生加以严格的论证;然后让学生思考如何给出逆矩阵的符号;最后提出一个思考问题,为什么有些矩阵有逆矩阵,有些没有逆矩阵,原因到底是什么?为下面进一步研究做铺垫.
思考:用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,则把它求出来;若不存在,说明理由.
活动三:数学应用
探究二阶可逆矩阵的逆矩阵
一般结论:
设计意图:通常情况是会给出几道例题,让学生尝试求解,但对活动教学,要敢于让学生提出问题,发现问题,让学生在此基础上,自己解决问题,然后自己总结,自己获得知识. 所以这里笔者并没有给出具体题目,而是让两位学生在黑板上写出两个二阶矩阵,其他学生选择做其中一道. 通过这样的设计,可以激发学生学习的欲望和激情,发挥学生的主体地位和主动性,同时也为教师的发挥留下广阔的空间.
[?] 教学实录
1. 活动一的教学中,学生举出许多实际生活、其他学科、本学科的例子,尽管有些例子不是十分精准,但是都能很好地体现“逆”的思维. 印象最深刻的是有位学生说:化学中的可逆反应,很精确地体现逆的存在性.
2. 活动二教学过程中,学生通过四道题,已经发现哪些矩阵有逆矩阵,哪些没有逆矩阵. 对于有逆矩阵的矩阵,学生通过建构的过程发现了逆矩阵与原矩阵之间的关系,两个矩阵的相乘为单位矩阵,即恒等变换. 笔者当时提出的一个问题以及学生的回答如下.
教师:存在逆矩阵的矩阵A,A的逆矩阵如何表示呢?
学生1:表示成.
教师:为什么?
学生1:因为xy=1,y=.
教师:非常好.
学生已经把矩阵的问题类比到实数问题,不仅领会了“逆”的思维,而且运用了类比研究的方法和表示方法. 当时在课堂上是意外的惊喜.
3. 活动三教学是本节的重点,通常情况:教师给出题目——学生尝试解决——教师点评提升,总结——学生整理,领悟. 笔者打破常规做法,结合活动教学的优势,做了如下尝试:学生自己出题——学生自主解题——学生自己发现——学生交流做题、发现体验——学生自己提炼、总结. 这里笔者将重点阐述上课前的课堂预设,以及如何巧妙地处理课堂的意外生成.
学生自己出题时,会出现一些情况,第一种情形:两道题都存在逆矩阵,学生可以按照定义求出逆矩阵,但这里就隐藏着一个问题没有解决,什么矩阵有逆矩阵,什么矩阵没有逆矩阵. 第二种情形:两道题都不存在逆矩阵,就会弱化重点内容,如何求逆矩阵,当然学生可以在笔者的引导下发现不存在逆矩阵的根源,进而转到求逆矩阵的一般方法. 第三种情形,两道题中一道存在逆矩阵,一道不存在逆矩阵,让学生在比较中发现矩阵存在逆矩阵的条件. 笔者课堂上出现的是第一种情形,只不过学生出的数据比较大,比较难算. 笔者过渡到对于给定存在逆矩阵的矩阵,如何求出逆矩阵呢?让学生通过求解的一般过程发现矩阵存在逆矩阵的条件,进而在此基础上,给出一道题(不存在逆矩阵的)让学生深化认识. 在学生提炼这一部分,笔者注重让学生观察逆矩阵公式的特征,让学生发现与原矩阵差异和特征比较,概括出分母、分子的特征,使学生进一步深化认识逆矩阵的求法,本质就是待定系数法,解二元一次方程组.
[?] 教学反思
从本节课,学生的课堂反应,学习的效果以及与专家的反馈交流中,引发笔者从活动单的设计、课堂教学、活动教学三个方面进行思考.
1. 活动单的设计的思考
活动单通常由三大部分构成:学习目标、学习过程、课堂反馈. 其中学习过程中通常由三至四个活动组成. 与传统的导学案最大的区别是在活动单的设计过程中,处处体现学生是学习的第一要素,比如导学案中的教学目标变成活动单中的学习目标,从学生的角度出发,本节课要学习什么内容. 在学习过程中,传统的做法是学生先做例题,然后教师点评;而活动单在设计时,就给学生、教师留下广阔的空间,是通过学生自主的思考,交流合作,探究问题的,自己获取知识. 在本活动单中,体现也比较明显. 激发笔者进一步思考的是,如何把活动单命制更加精致,如何更能切合学生认知需求,如何更能贴近学生的“最近发展区”,如何设计活动让学生更易操作和交流等等. 笔者以为,教师在命制活动单时,应该站在系统的高度、全局的高度,来审视知识,审视知识在整个知识系统的地位和作用,来审视知识发生、发展的全过程. 本节知识之前学生已经学习的内容,对本节课知识起到什么作用. 本节主要使学生认识、学习到该知识哪些方面,需要达到什么要求. 只有这样,在命制活动单时,才能有的放矢. 而对于具体的活动设计,采用什么方式呈现,更多依赖于知识本身生长的规律. 比如,笔者在设计活动单第二部分第三个活动时,思考这样几个问题,本活动要达到的目标是让学生会求矩阵的逆矩阵,同时知道如何判定哪些矩阵没有逆矩阵. 围绕这两个目标,以及充分调动学生的主动性,让学生在活动中成长,自我关注. 初稿设计时,如果直接给出两个矩阵,让学生求逆矩阵,这里就不能挖掘问题,与传统导学案授课没有区别,不能让学生体验发现问题、解决问题的历程. 进而笔者把该部分留白,让学生自己出题目,自己解决,自己发现问题,然后小组交流,得到共识. 这样能充分激发学生学习的积极性和兴趣. 更重要的是,培养学生自学能力,发现问题的能力,提出问题的能力.
2. 课堂教学的思考
本节课学生整个学习的过程是顺畅、清晰的,笔者在注重知识生成的过程,激发学生参与活动,让学生自主建构知识的过程中,让学生体验到学习的乐趣,同时也体会学生意外生成给笔者带来的惊喜. 但在两个细节处理上,还值得反思. 在学生给出矩阵逆矩阵符号时,没有进一步追问,其他学生有没有另外的思考,以及没有让学生进一步体会、领悟在数学内部其他模块知识同样体现着这种逆的思维. 还有一个细节:假如一个矩阵存在逆矩阵,那么它的逆矩阵是否唯一. 课本上给出了严格的证明,但笔者在这里处理时,只是通过让学生举例,来体会逆矩阵的唯一性,笔者思考,这里还是应该让学生体验这种证明的思维方式,或者让小组合作来体验,否则就削弱了这种证明思想的价值. 因为这种方法只在这里有体现,同时该方法是学生后续学习高等数学、群论中一种重要的证明方法,有点小小的遗憾!
关键词:活动教学;逆矩阵;课例评析
本节课内容是笔者在江苏省第25期校长培训班上,开设的一节公开课. 本节内容是苏教版选修4-2《矩阵与变换》中第四小节的内容,教学的目标是理解逆矩阵的意义;理解二阶矩阵存在逆矩阵的条件. 理解逆矩阵的唯一性和 (AB)-1=B-1A-1等简单性质,并了解其在变换中的意义,会从几何变换的角度求出AB的逆矩阵. 本节课笔者先从几何直观、变换的角度让学生认识到研究逆矩阵的必要性,体会实际生活、其他学科以及数学内部无处不在的”反向”、“逆”的现象和思维;然后通过第二大节学习的几种常见变换对应矩阵是否存在逆矩阵,加以分析哪几种有逆矩阵,另外几种为什么没有;最后通过学生自主探究推导出一般求逆矩阵的方法和公式,并且让学生在推导过程中体会逆矩阵存在的条件是什么. 而对于逆矩阵存在的唯一性,笔者更多是让学生举例验证说明,并没有进行严谨、翔实的证明. 基于上述思考和分析,笔者结合本地区教改优势,借助如皋活动导学的先进理念,设计如下的活动单:
[?] 活动单设计
课题:逆矩阵的概念
学习目标:
1. 通过具体的图形变换,理解逆矩阵的意义并掌握二阶矩阵存在逆矩阵的条件;通过具体的投影变换,说明它所对应矩阵的逆矩阵不存在.
2. 了解证明逆矩阵的惟一性
3. 会求二阶可逆矩阵的逆矩阵
学习过程:
活动一:问题情境
设计意图:在第二节学习几种常见变换的基础上,通过图形的变换,让学生写出由左图变换到右图对应的矩阵,再让学生写出由右图变换到左图对应的矩阵,让学生初步体会“反”、“逆”的思维. 另外让学生举出实际生活中、其他学科中、数学内部的类似于这种“逆”的思维. 这样的设计可以激发学生学习的兴趣,让学生意识到研究逆矩阵的必要性和可能性. 同时可以让学生联系对比之前学习和研究“逆”问题的方法,可以加深对已学知识的理解. 从方法论角度,可以培养学生研究问题的方法,从“逆”的视角重新认识问题,深化对问题的认识,提高思维的深刻性.
活动二:建构数学
问题:对于下列给出的变换矩阵M,是否存在变换矩阵N,使得连续进行两次变换(先TM后TN)的结果与恒等变换的结果相同?
(1)以x轴为反射轴的反射变换;
(2)绕原点逆时针旋转做旋转变换;
(3)横坐标不变,沿y轴方向将纵坐标拉伸为原来的倍做伸压变换;
(4)沿y轴方向,向x轴做投影变换.
设计意图:通过四道问题,一是让学生回顾第二大节学习几种常见变换所对应的矩阵,二是让学生进一步体会逆矩阵的存在性,在前面学习的几种矩阵中哪些有逆矩阵,哪些没有逆矩阵,只让学生从几何变换的角度加以说明,不让学生加以严格的论证;然后让学生思考如何给出逆矩阵的符号;最后提出一个思考问题,为什么有些矩阵有逆矩阵,有些没有逆矩阵,原因到底是什么?为下面进一步研究做铺垫.
思考:用几何的观点判断下列矩阵是否存在逆矩阵,若存在,则把它求出来;若不存在,说明理由.
活动三:数学应用
探究二阶可逆矩阵的逆矩阵
一般结论:
设计意图:通常情况是会给出几道例题,让学生尝试求解,但对活动教学,要敢于让学生提出问题,发现问题,让学生在此基础上,自己解决问题,然后自己总结,自己获得知识. 所以这里笔者并没有给出具体题目,而是让两位学生在黑板上写出两个二阶矩阵,其他学生选择做其中一道. 通过这样的设计,可以激发学生学习的欲望和激情,发挥学生的主体地位和主动性,同时也为教师的发挥留下广阔的空间.
[?] 教学实录
1. 活动一的教学中,学生举出许多实际生活、其他学科、本学科的例子,尽管有些例子不是十分精准,但是都能很好地体现“逆”的思维. 印象最深刻的是有位学生说:化学中的可逆反应,很精确地体现逆的存在性.
2. 活动二教学过程中,学生通过四道题,已经发现哪些矩阵有逆矩阵,哪些没有逆矩阵. 对于有逆矩阵的矩阵,学生通过建构的过程发现了逆矩阵与原矩阵之间的关系,两个矩阵的相乘为单位矩阵,即恒等变换. 笔者当时提出的一个问题以及学生的回答如下.
教师:存在逆矩阵的矩阵A,A的逆矩阵如何表示呢?
学生1:表示成.
教师:为什么?
学生1:因为xy=1,y=.
教师:非常好.
学生已经把矩阵的问题类比到实数问题,不仅领会了“逆”的思维,而且运用了类比研究的方法和表示方法. 当时在课堂上是意外的惊喜.
3. 活动三教学是本节的重点,通常情况:教师给出题目——学生尝试解决——教师点评提升,总结——学生整理,领悟. 笔者打破常规做法,结合活动教学的优势,做了如下尝试:学生自己出题——学生自主解题——学生自己发现——学生交流做题、发现体验——学生自己提炼、总结. 这里笔者将重点阐述上课前的课堂预设,以及如何巧妙地处理课堂的意外生成.
学生自己出题时,会出现一些情况,第一种情形:两道题都存在逆矩阵,学生可以按照定义求出逆矩阵,但这里就隐藏着一个问题没有解决,什么矩阵有逆矩阵,什么矩阵没有逆矩阵. 第二种情形:两道题都不存在逆矩阵,就会弱化重点内容,如何求逆矩阵,当然学生可以在笔者的引导下发现不存在逆矩阵的根源,进而转到求逆矩阵的一般方法. 第三种情形,两道题中一道存在逆矩阵,一道不存在逆矩阵,让学生在比较中发现矩阵存在逆矩阵的条件. 笔者课堂上出现的是第一种情形,只不过学生出的数据比较大,比较难算. 笔者过渡到对于给定存在逆矩阵的矩阵,如何求出逆矩阵呢?让学生通过求解的一般过程发现矩阵存在逆矩阵的条件,进而在此基础上,给出一道题(不存在逆矩阵的)让学生深化认识. 在学生提炼这一部分,笔者注重让学生观察逆矩阵公式的特征,让学生发现与原矩阵差异和特征比较,概括出分母、分子的特征,使学生进一步深化认识逆矩阵的求法,本质就是待定系数法,解二元一次方程组.
[?] 教学反思
从本节课,学生的课堂反应,学习的效果以及与专家的反馈交流中,引发笔者从活动单的设计、课堂教学、活动教学三个方面进行思考.
1. 活动单的设计的思考
活动单通常由三大部分构成:学习目标、学习过程、课堂反馈. 其中学习过程中通常由三至四个活动组成. 与传统的导学案最大的区别是在活动单的设计过程中,处处体现学生是学习的第一要素,比如导学案中的教学目标变成活动单中的学习目标,从学生的角度出发,本节课要学习什么内容. 在学习过程中,传统的做法是学生先做例题,然后教师点评;而活动单在设计时,就给学生、教师留下广阔的空间,是通过学生自主的思考,交流合作,探究问题的,自己获取知识. 在本活动单中,体现也比较明显. 激发笔者进一步思考的是,如何把活动单命制更加精致,如何更能切合学生认知需求,如何更能贴近学生的“最近发展区”,如何设计活动让学生更易操作和交流等等. 笔者以为,教师在命制活动单时,应该站在系统的高度、全局的高度,来审视知识,审视知识在整个知识系统的地位和作用,来审视知识发生、发展的全过程. 本节知识之前学生已经学习的内容,对本节课知识起到什么作用. 本节主要使学生认识、学习到该知识哪些方面,需要达到什么要求. 只有这样,在命制活动单时,才能有的放矢. 而对于具体的活动设计,采用什么方式呈现,更多依赖于知识本身生长的规律. 比如,笔者在设计活动单第二部分第三个活动时,思考这样几个问题,本活动要达到的目标是让学生会求矩阵的逆矩阵,同时知道如何判定哪些矩阵没有逆矩阵. 围绕这两个目标,以及充分调动学生的主动性,让学生在活动中成长,自我关注. 初稿设计时,如果直接给出两个矩阵,让学生求逆矩阵,这里就不能挖掘问题,与传统导学案授课没有区别,不能让学生体验发现问题、解决问题的历程. 进而笔者把该部分留白,让学生自己出题目,自己解决,自己发现问题,然后小组交流,得到共识. 这样能充分激发学生学习的积极性和兴趣. 更重要的是,培养学生自学能力,发现问题的能力,提出问题的能力.
2. 课堂教学的思考
本节课学生整个学习的过程是顺畅、清晰的,笔者在注重知识生成的过程,激发学生参与活动,让学生自主建构知识的过程中,让学生体验到学习的乐趣,同时也体会学生意外生成给笔者带来的惊喜. 但在两个细节处理上,还值得反思. 在学生给出矩阵逆矩阵符号时,没有进一步追问,其他学生有没有另外的思考,以及没有让学生进一步体会、领悟在数学内部其他模块知识同样体现着这种逆的思维. 还有一个细节:假如一个矩阵存在逆矩阵,那么它的逆矩阵是否唯一. 课本上给出了严格的证明,但笔者在这里处理时,只是通过让学生举例,来体会逆矩阵的唯一性,笔者思考,这里还是应该让学生体验这种证明的思维方式,或者让小组合作来体验,否则就削弱了这种证明思想的价值. 因为这种方法只在这里有体现,同时该方法是学生后续学习高等数学、群论中一种重要的证明方法,有点小小的遗憾!