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摘 要：本文在对给出的实验数据进行详细分析的基础上，将铅酸电池在恒定电流强度下 的放电过程用时间与电压之间的函数关系来描述，采用傅里叶拟合法和线性拟合法建立数学模型并求解。
关键词：铅酸蓄电池 电压 剩余放电时间 傅里叶拟合 线性拟合 放电模型
Research on Mathematical Modeling of Remaining Discharge Time of Lead-acid Battery
Chen Yuqing
Abstract：Based on a detailed analysis of the experimental data given， this article describes the discharge process of lead-acid batteries at a constant current intensity as a function of time and voltage， using Fourier fitting method and linear simulation to legally establish a mathematical model and solve it.
Key words：lead-acid battery， voltage， remaining discharge time， Fourier fitting， linear fitting， discharge model
1 问题的提出
铅酸电池是一种主要由铅及其氧化物制成的蓄电池，因其价格便宜，寿命长且性能 稳定等诸多有优点，一直被广泛应用于工业、军事、日常生活中。从充满电开始放电，电压在当前负荷下还能供电多长时间，是生产者和用户共同关心的问题。目前蓄电池放电特性的研究方法主要有：铅酸原理模型、阻容等效电路模型、内阻模型等[1]。本文根据2016年全国大学生数学建模竞赛C题提供的数据[2]，解决三个问题：
问题1：用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE）。如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据获得的模型，电池的剩余放电时间分别是多少？
问题2：建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度。
问题3：同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。预测电池衰减状态3的剩余放电时间。
符号说明：电流强度;t：蓄电池放电t时刻;ts：剩余放电时间;t1：求MRE时样本点采样放电时间;t2：求MRE时样本点模型放电时间;Coefficients：协相关系数。
2 问题求解与模型的实现
2.1 问题1的分析求解
从充满电开始放电，电压随时间变化形成放电曲线，时间也是随着电压的变化而变化，也可形成时间随电压变化的放电曲线。当电流强度为20A时，将不同的电压与放电时间的数据应用绘图工具得出以时间为x轴、以电压为y轴的放电曲线，如图1所示：
再根据傅里叶拟合方法，拟合出相应的放电曲线函数模型，在给出拟合曲线函数的同时也计算了函数中参数的估计误差，平均相对误差MRE（20A）=0.0261，Coefficients （协相关系数，95%的置信区间）：
a0=1.253e+08（-3.695e+09，3.946e+09）
a1=-1.824e+08（-2.728e+09，2.364e+09）
b1=1.365e+08（-8.027e+09，8.3e+09）
a2=4.777e+07（-5.721e+09，5.816e+09）
b2=-1.637e+08（-7.2e+09，6.872e+09）
a3=3.706e+07（-7.479e+09，7.553e+09）
b3=9.721e+07（-3.584e+08，5.528e+08）
a4=-4.313e+07（-3.638e+09，3.551e+09）
b4=-2.662e+07（-3.047e+09，2.994e+09）
a5=1.895e+07（-2.92e+08，3.298e+08）
b5=-2.055e+06（-2.141e+09，2.137e+09）
a6=-3.716e+06（-3.838e+08，3.764e+08）
b6=3.657e+06（-5.856e+08，5.929e+08）
a7=1.057e+05（-1.384e+08，1.387e+08）
b7=-9.208e+05（-4.129e+07，3.945e+07）
a8=4.385e+04（-1.291e+07，1.3e+07）
b8=6.772e+04（-5.927e+06，6.062e+06）
w=1.201（-1.004，3.407）
當电流强度分别以30A、40A、50A、60A、70A的恒定电流放电时，用同样的方法可以拟合出铅酸电池在不同电流强度下的放电曲线图及曲线函数，计算出对应的电曲线的MRE，将电压x=9.8带入所得曲线函数，直接计算就可获得各电流强度对应下的剩余放电时间，结果如表1：
2.2 问题2的分析求解
本问题中，电流强度是变化的量，要想得出任一恒定电流强度放电时的放电曲线数学模型，必须要知道时间、电流强度、电压三者之间的变化规律。我们根据题目中给定的9个恒定电流数据，利用线性拟合法拟合出时间随着电压变化的数学模型为： ，其中a，b ，c为待定系数
因为数据较少，会影响结果，所以采用此方法，得出的模型中待定系数的个数会减少，误差就会减小，再用线性数据插值得出电流强度I分别与系数a，b，c之间的函数关系，从而可以得出出时间与电流强度、电压之间的变化关系。如电流强度I为55A时，可计算得a=-1.2437e+03，b=-727.9535，c=1.3507e+03，拟合曲线如图2：
2.3 问题3的分析求解
利用 Matlab 工具线性拟合方法结合数据，得出电池在新电池状态、衰减状态1、衰减状态2下的时间t随着电压V的变化规律图，如图3至图5所示：由图3、4、5可以发现，在这三种状态下拟合得出的曲线与原始数据曲线误差较小，说明不同状态下放电规律具有一致性，所以，可以用同样的方法，根据已经给出的衰减状态3下的数据，拟合出在衰减状态3下的时间随电压变化的曲线图及数学模型，如图6所示：
利用函数拟合工具creatfit 即可得到数学模型：
f4（x）=a*（（sin（x-pi）））+b*（（（x-10）^2））+c Coefficients （協相关系数，95%的置信区间）：
a=-957.6 （-975.1，-940.2）
b=-623.1 （-663.2，-583）
c=957 （947.5，966.5）
当电压为9时，将x=9带入上述模型，计算得时间为728.5856分钟， 所以剩余放电时间为728.5856-596.2=132.3856分钟。
3 小结
实际生活中，铅酸电池的放电过程会受到空气湿度、温度等诸多因素影响。本文从数据处理和分析的角度，通过建立放电曲线来建立蓄电池放电的数学模型，从而对剩余放电时间进行预测，虽然是理想状态下研究，但也着实际应用意义。
参考文献：
[1]李勃，刘云峰，郑益，蓄电池剩余放电时间综合分析模型研究，月亮高度及升降时 刻与方位的计算，煤炭技术，2011年，第 30卷第12期.
[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.CUMCM2016-CAppendix-Chinese.xlsx[R/OL].http：∥www.Mcm.edu.cn/html_cn/node/bdo26d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html.
关键词：铅酸蓄电池 电压 剩余放电时间 傅里叶拟合 线性拟合 放电模型
Research on Mathematical Modeling of Remaining Discharge Time of Lead-acid Battery
Chen Yuqing
Abstract：Based on a detailed analysis of the experimental data given， this article describes the discharge process of lead-acid batteries at a constant current intensity as a function of time and voltage， using Fourier fitting method and linear simulation to legally establish a mathematical model and solve it.
Key words：lead-acid battery， voltage， remaining discharge time， Fourier fitting， linear fitting， discharge model
1 问题的提出
铅酸电池是一种主要由铅及其氧化物制成的蓄电池，因其价格便宜，寿命长且性能 稳定等诸多有优点，一直被广泛应用于工业、军事、日常生活中。从充满电开始放电，电压在当前负荷下还能供电多长时间，是生产者和用户共同关心的问题。目前蓄电池放电特性的研究方法主要有：铅酸原理模型、阻容等效电路模型、内阻模型等[1]。本文根据2016年全国大学生数学建模竞赛C题提供的数据[2]，解决三个问题：
问题1：用初等函数表示各放电曲线，并分别给出各放电曲线的平均相对误差（MRE）。如果在新电池使用中，分别以30A、40A、50A、60A和70A电流强度放电，测得电压都为9.8伏时，根据获得的模型，电池的剩余放电时间分别是多少？
问题2：建立以20A到100A之间任一恒定电流强度放电时的放电曲线的数学模型，并用MRE评估模型的精度。
问题3：同一电池在不同衰减状态下以同一电流强度从充满电开始放电的记录数据。预测电池衰减状态3的剩余放电时间。
符号说明：电流强度;t：蓄电池放电t时刻;ts：剩余放电时间;t1：求MRE时样本点采样放电时间;t2：求MRE时样本点模型放电时间;Coefficients：协相关系数。
2 问题求解与模型的实现
2.1 问题1的分析求解
从充满电开始放电，电压随时间变化形成放电曲线，时间也是随着电压的变化而变化，也可形成时间随电压变化的放电曲线。当电流强度为20A时，将不同的电压与放电时间的数据应用绘图工具得出以时间为x轴、以电压为y轴的放电曲线，如图1所示：
再根据傅里叶拟合方法，拟合出相应的放电曲线函数模型，在给出拟合曲线函数的同时也计算了函数中参数的估计误差，平均相对误差MRE（20A）=0.0261，Coefficients （协相关系数，95%的置信区间）：
a0=1.253e+08（-3.695e+09，3.946e+09）
a1=-1.824e+08（-2.728e+09，2.364e+09）
b1=1.365e+08（-8.027e+09，8.3e+09）
a2=4.777e+07（-5.721e+09，5.816e+09）
b2=-1.637e+08（-7.2e+09，6.872e+09）
a3=3.706e+07（-7.479e+09，7.553e+09）
b3=9.721e+07（-3.584e+08，5.528e+08）
a4=-4.313e+07（-3.638e+09，3.551e+09）
b4=-2.662e+07（-3.047e+09，2.994e+09）
a5=1.895e+07（-2.92e+08，3.298e+08）
b5=-2.055e+06（-2.141e+09，2.137e+09）
a6=-3.716e+06（-3.838e+08，3.764e+08）
b6=3.657e+06（-5.856e+08，5.929e+08）
a7=1.057e+05（-1.384e+08，1.387e+08）
b7=-9.208e+05（-4.129e+07，3.945e+07）
a8=4.385e+04（-1.291e+07，1.3e+07）
b8=6.772e+04（-5.927e+06，6.062e+06）
w=1.201（-1.004，3.407）
當电流强度分别以30A、40A、50A、60A、70A的恒定电流放电时，用同样的方法可以拟合出铅酸电池在不同电流强度下的放电曲线图及曲线函数，计算出对应的电曲线的MRE，将电压x=9.8带入所得曲线函数，直接计算就可获得各电流强度对应下的剩余放电时间，结果如表1：
2.2 问题2的分析求解
本问题中，电流强度是变化的量，要想得出任一恒定电流强度放电时的放电曲线数学模型，必须要知道时间、电流强度、电压三者之间的变化规律。我们根据题目中给定的9个恒定电流数据，利用线性拟合法拟合出时间随着电压变化的数学模型为： ，其中a，b ，c为待定系数
因为数据较少，会影响结果，所以采用此方法，得出的模型中待定系数的个数会减少，误差就会减小，再用线性数据插值得出电流强度I分别与系数a，b，c之间的函数关系，从而可以得出出时间与电流强度、电压之间的变化关系。如电流强度I为55A时，可计算得a=-1.2437e+03，b=-727.9535，c=1.3507e+03，拟合曲线如图2：
2.3 问题3的分析求解
利用 Matlab 工具线性拟合方法结合数据，得出电池在新电池状态、衰减状态1、衰减状态2下的时间t随着电压V的变化规律图，如图3至图5所示：由图3、4、5可以发现，在这三种状态下拟合得出的曲线与原始数据曲线误差较小，说明不同状态下放电规律具有一致性，所以，可以用同样的方法，根据已经给出的衰减状态3下的数据，拟合出在衰减状态3下的时间随电压变化的曲线图及数学模型，如图6所示：
利用函数拟合工具creatfit 即可得到数学模型：
f4（x）=a*（（sin（x-pi）））+b*（（（x-10）^2））+c Coefficients （協相关系数，95%的置信区间）：
a=-957.6 （-975.1，-940.2）
b=-623.1 （-663.2，-583）
c=957 （947.5，966.5）
当电压为9时，将x=9带入上述模型，计算得时间为728.5856分钟， 所以剩余放电时间为728.5856-596.2=132.3856分钟。
3 小结
实际生活中，铅酸电池的放电过程会受到空气湿度、温度等诸多因素影响。本文从数据处理和分析的角度，通过建立放电曲线来建立蓄电池放电的数学模型，从而对剩余放电时间进行预测，虽然是理想状态下研究，但也着实际应用意义。
参考文献：
[1]李勃，刘云峰，郑益，蓄电池剩余放电时间综合分析模型研究，月亮高度及升降时 刻与方位的计算，煤炭技术，2011年，第 30卷第12期.
[2]全国大学生数学建模竞赛组委会.CUMCM2016-CAppendix-Chinese.xlsx[R/OL].http：∥www.Mcm.edu.cn/html_cn/node/bdo26d84bd785435f92e3079b4a87a2b.html.