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1 教材分析
1．1 教材地位和作用
平移是一种基本的几何变换，变换是研究函数性质的工具，它在初等数学中具有十分重要的作用．通过平移变换，复杂的函数可以转化为简单的函数，未知函数可以转化为已知函数．平移概念，学生在初中学习函数的图象时就已经开始使用，在研究二次函数的图象，特别是研究三角函数的图象时，又多次使用了它．平移本身就是一个向量，用向量的运算推导平移公式简单明了．通过本节课的学习，有利于学生对向量知识的理解，并促使学生运用向量知识去解决一些与函数有关的数学问题．
1．2 教学重点与难点
本节课的重点是平移公式的证明及平移公式、平移法则的运用，难点是平移公式在函数图象中的应用．
2 目的要求
（1） 理解平移变换的概念，掌握平移公式的证明方法，理解平移法则的推理过程，并会运用平移公式、平移法则解决一些有关的数学问题．
（2） 培养学生创造性逻辑思维能力、运算能力、提出问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生积极参与、乐于交流、勤于探索的精神．
3 主要过程设计
3．1 平移的定义及公式
3.1.1 唤醒引入
老师：（1） 同学们都听说过“平移”这个词吧？
（2） 平移就是平行移动的意思吧？
（3） “平行移动叫平移”，对不对？
设计说明及对策：第一问是联系学生已有的平移知识与本节课内容的纽带（若没有这一问，就显得有些唐突）．第二问是为引诱学生回答第三问时出现错误而设计的（学生回答第三问的错误率越高，唤醒效果越明显）．第三问起唤醒作用，由于有第二问的铺垫，学生在回答第三问时都会说“对”，当老师告诉学生“回答错误”时，学生都会感到惊讶，产生疑问：“平移不就是平行移动的意思吗？‘平行移动叫平移’，怎么会错了呢？”这时，老师可以说：“如果说‘平行移动叫平移’，那什么叫平行移动呢？总不能说平移叫平行移动吧？把‘平行移动叫平移’是用自己来定义自己，如果不知道什么是平行移动，看了这个定义之后还是不知道．”至此，学生自然会提出问题：“老师，那什么叫‘平移’呢？”此时老师不要把答案直接告诉给学生，而是——
3.1.2 让学生给“平移”下定义
老师演示图形平移的过程，让学生观察、思 考，揭示平移的实质，并尝试着给“平移”下定义．
设计说明及对策：多数老师在讲定义时，大都是照本宣科直接给出，当学生问为什么时，常说“这是规定”，甚至有的还说“哪儿有那么多为什么？”这样就扼杀了学生勤于思考的积极性和勇于探索的精神．其实，每个定义的得出都不是随随便便的，而是经过千锤百炼得出来的．每个定义的得出不是没有为什么，而是有好多为什么．
让学生通过观察、思考，并用自己的话给“平移”下定义，这样学到的概念，印象才深刻，记忆才久远．
尽管有老师的演示、自己的思考、好学生的提示，但是，毕竟一个班中的学生学习程度参差不齐，还会有不少学生不太清楚到底什么叫平移，或者不知道自己给平移下的定义准确不准确，迫切希望老师给出答案．不过，老师还是不要把标准答案告诉给学生，而是——
3.1.3 让学生做题
题目：在坐标平面内，把图形F上所有的点都移动同一向量 a =（a1,a2)到F′的位置．在图形F上任取一点P（x,y)，求图形F′上与P点对应的P′点的坐标（若学生程度较差，在此题之前可出一道数字题：已知A（-2，1），AB =（3，5），求B点的坐标）．
设计说明及对策：这道题的已知条件隐含着平移的定义，它的答案隐含着平移公式，它的解答过程实际上就是平移公式的推导过程．老师引领学生集体评议学生的解答过程之后，可以再让学生说平移的定义，程度好的学生就会茅塞顿开，从而说出平移的定义．如果学生还是说不出，老师可以指着题目的已知条件说：“在坐标平面内，把图形F上的所有点都移动同一向量到F′的位置，这一变换叫平移变换，简称平移．”指着式子 x′=x+a1
y′=y+a2 说：“这就是我们这节课要学习的平移公式”，并板书课题．这样，定义、公式、课题的得出就显得很巧妙．
3．2 公式的运用
3.2.1 让学生出题
老师：（1） 平移公式能解决哪些问题呢？
（2） 你能举出运用平移公式的题目吗？
设计说明及对策：每学一个公式之后，老师都要这样问一下，使学生养成习惯，学会自己提出此类问题．对于第一个问题，多数学生都会说，已知一个点的坐标及坐标向量的坐标，可以求出这个点平移后的坐标；程度好的学生会说，从“平移前点的坐标，平移后点的坐标，平移向量的坐标”这三个量中，知道其中的任意两个，就可以求出第三个．接下来就可以让学生自己出题．学生出的题目，估计多数是点的平移，没有“线”的平移的例子．让学生做过几道他们自己出的题目之后，老师可以启发学生：“我们学过很多函数的图象，你们能否举出一些它们平移的例子？”经过这一启发，想必有学生会举出一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象平移的例子．假若学生出的题目还是不合适，这时候，老师可以出示难度适当且非常重要的二次函数的图象平移的例题：已知函数y=x2的图象F经平移向量 a =（-2，3）后到F′的位置，求图形F′对应的函数表达式．
3.2.2 让学生做题
设计说明及对策：学生的做法可能有三种：其一，先求出函数y=x2的图象的顶点O（0，0）平移 a =（-2，3）后的坐标，然后根据二次函数的顶点式做出．其二，就是书上的解答过程（略）．这两种解法的答案都是y=(x+2)2+3．其三，设P（x′,y′)，过程同第二种解法，但答案是y′=(x′+2)2+3．
后两种解法稍微难，学生不易想出．老师要给学生充裕的时间，让其思考、解答，待多种答案做出来以后，让做出来的学生在讲台上讲解，然后让学生共同评议．若学生的解法没有后两种情况，老师就要把它讲解出来，并让学生进行比较．这时，学生会想：“一道题怎么会有两种不同的答案呢？”、“究竟谁对谁错？”从而引起学生争辩．老师呢，则要把学生的认识统一起来：函数y′=(x′+2)2+3与y=(x+2)2+3的定义域相同，对应法则也相同，因而是同一函数．在坐标系xoy下，函数y′=(x′+2)2+3应该写成 y=(x+2)2+3的形式．
3．3 平移法则
问题：函数y=x2的图象按照向量 a =(-2,3)平移后的方程是y-3=(x+2)2．它能否推广到一般情况？即函数y=f(x)的图象按照向量 a =（a1,a2)平移后，得到的新图形的方程是什么？
设计说明及对策：每做一道题之后，老师都要让学生总结一下，看能否得出一些结论，能否推广到一般情况．这个问题若学生做不出来，老师可以启发学生：
y=x2a =(-2,3) y-3=(x+2)2
y=x2a =(a1,a2) ?
y=f(x)a =(a1,a2) ?
从而总结出一般结论：一般地，函数y=f(x)的图象按向量 a =（a1,a2)平移后，得到新图形的方程是：y-a2=f(x-a1)．老师要告诉学生这个结论可以直接运用，并让学生根据这个结论叙述例题和学生自己出的其他题目．
3．4 小结
老师：同学们，这节课你们掌握的怎么样？请同学们填写课内总结性日记：
姓名日期 年 月 日
今天数学课的课题：
所涉及的知识要点：
我理解得最好的地方：
我不明白的地方：
老师在哪些方面引导得比较成功：
老师在哪些方面还需改进：
对老师的建议：
设计说明及对策：这样做，便于反馈学生对所学知识的掌握情况，也便于培养学生乐于交流的精神，更便于老师授课水平的提高．老师可以在辅导时，对学生不明白的地方进行讲解．学生毕竟是学生，对老师授课水平的评价及老师的建议不可能完全正确，教师要抱着有则改之，无则加勉的态度正确对待，切不可对给自己评价较低、建议有误的学生进行打击报复．
4 反思与讨论
4．1 引入要唤醒
学生在开始上课时，由于课前休息了一段时间，思维还处于“睡眠”状态．因此，老师进入教室后的首要任务是唤醒学生．老师可以在引入新课时，根据新课内容提出一个似是而非的问题，引诱学生在不知不觉中答错，使错得很自然、错得好像还挺有理，然后再警醒学生“回答错误”．这时，学生就会被唤醒：“啊，怎么会错了呢？不对吧？”从而去思索，去探讨，投入到学习中去，这是最佳 的引入方式．
4．2 问题要暴露
学生在学习新课时，由于对新知识还处于接触阶段，对新知识的理解难免会出现一些偏差，有些观点甚至是完全错误的．只有把问题暴露出来，才谈得上解决．这时，老师的主要任务是暴露问题．
对于内容较容易的课，老师要尽量让学生提问题，下定义，推公式，出题目，说思路，写过程，评答案，得结论，甚至布置作业，尽量做到能让学生讲的老师不讲，能让学生写的老师不写．要让学生主动发表自己的见解，真正参与到整个互动学习的过程中去．老师可以根据从中暴露出来的问题进行讲解，这样的讲解自然具有针对性，互动性．
对于难度较大的课，老师仍然要让学生按照上述步骤去做．当学生实在做不出来时，老师再去启发；如果还是启发不出来，最后才是老师的讲解．
4．3 课后有建议
现在的老师都很重视自己教学水平的提高，然而，教学水平的提高不是一朝一夕的事．许多老师往往通过听有经验的教师的课或者学习书本上的教学方法，以此来提高自己的教学水平．其实，学生才是自己最好的老师．高中阶段的学生，已经有分辨优劣的能力，已经能对老师讲的课提出有益的建议．自己的课讲的怎么样，学生是节节都听着的，学生是自己最忠实的听众，是最有发言权的．老师可以在课下（为了方便，在学生写课内总结性日记时也可以）让学生对自己讲的课进行评议，通过卡片反馈给老师．老师要从中虚心学习学生提出的建议，改进自己的教学方式，久而久之，还怕自己的教学水平得不到提高？
参考文献
周荣伟．谈“数学日记”在数学教学中的应用．数学教学通讯，2003（5）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文
1．1 教材地位和作用
平移是一种基本的几何变换，变换是研究函数性质的工具，它在初等数学中具有十分重要的作用．通过平移变换，复杂的函数可以转化为简单的函数，未知函数可以转化为已知函数．平移概念，学生在初中学习函数的图象时就已经开始使用，在研究二次函数的图象，特别是研究三角函数的图象时，又多次使用了它．平移本身就是一个向量，用向量的运算推导平移公式简单明了．通过本节课的学习，有利于学生对向量知识的理解，并促使学生运用向量知识去解决一些与函数有关的数学问题．
1．2 教学重点与难点
本节课的重点是平移公式的证明及平移公式、平移法则的运用，难点是平移公式在函数图象中的应用．
2 目的要求
（1） 理解平移变换的概念，掌握平移公式的证明方法，理解平移法则的推理过程，并会运用平移公式、平移法则解决一些有关的数学问题．
（2） 培养学生创造性逻辑思维能力、运算能力、提出问题、分析问题和解决问题的能力；培养学生积极参与、乐于交流、勤于探索的精神．
3 主要过程设计
3．1 平移的定义及公式
3.1.1 唤醒引入
老师：（1） 同学们都听说过“平移”这个词吧？
（2） 平移就是平行移动的意思吧？
（3） “平行移动叫平移”，对不对？
设计说明及对策：第一问是联系学生已有的平移知识与本节课内容的纽带（若没有这一问，就显得有些唐突）．第二问是为引诱学生回答第三问时出现错误而设计的（学生回答第三问的错误率越高，唤醒效果越明显）．第三问起唤醒作用，由于有第二问的铺垫，学生在回答第三问时都会说“对”，当老师告诉学生“回答错误”时，学生都会感到惊讶，产生疑问：“平移不就是平行移动的意思吗？‘平行移动叫平移’，怎么会错了呢？”这时，老师可以说：“如果说‘平行移动叫平移’，那什么叫平行移动呢？总不能说平移叫平行移动吧？把‘平行移动叫平移’是用自己来定义自己，如果不知道什么是平行移动，看了这个定义之后还是不知道．”至此，学生自然会提出问题：“老师，那什么叫‘平移’呢？”此时老师不要把答案直接告诉给学生，而是——
3.1.2 让学生给“平移”下定义
老师演示图形平移的过程，让学生观察、思 考，揭示平移的实质，并尝试着给“平移”下定义．
设计说明及对策：多数老师在讲定义时，大都是照本宣科直接给出，当学生问为什么时，常说“这是规定”，甚至有的还说“哪儿有那么多为什么？”这样就扼杀了学生勤于思考的积极性和勇于探索的精神．其实，每个定义的得出都不是随随便便的，而是经过千锤百炼得出来的．每个定义的得出不是没有为什么，而是有好多为什么．
让学生通过观察、思考，并用自己的话给“平移”下定义，这样学到的概念，印象才深刻，记忆才久远．
尽管有老师的演示、自己的思考、好学生的提示，但是，毕竟一个班中的学生学习程度参差不齐，还会有不少学生不太清楚到底什么叫平移，或者不知道自己给平移下的定义准确不准确，迫切希望老师给出答案．不过，老师还是不要把标准答案告诉给学生，而是——
3.1.3 让学生做题
题目：在坐标平面内，把图形F上所有的点都移动同一向量 a =（a1,a2)到F′的位置．在图形F上任取一点P（x,y)，求图形F′上与P点对应的P′点的坐标（若学生程度较差，在此题之前可出一道数字题：已知A（-2，1），AB =（3，5），求B点的坐标）．
设计说明及对策：这道题的已知条件隐含着平移的定义，它的答案隐含着平移公式，它的解答过程实际上就是平移公式的推导过程．老师引领学生集体评议学生的解答过程之后，可以再让学生说平移的定义，程度好的学生就会茅塞顿开，从而说出平移的定义．如果学生还是说不出，老师可以指着题目的已知条件说：“在坐标平面内，把图形F上的所有点都移动同一向量到F′的位置，这一变换叫平移变换，简称平移．”指着式子 x′=x+a1
y′=y+a2 说：“这就是我们这节课要学习的平移公式”，并板书课题．这样，定义、公式、课题的得出就显得很巧妙．
3．2 公式的运用
3.2.1 让学生出题
老师：（1） 平移公式能解决哪些问题呢？
（2） 你能举出运用平移公式的题目吗？
设计说明及对策：每学一个公式之后，老师都要这样问一下，使学生养成习惯，学会自己提出此类问题．对于第一个问题，多数学生都会说，已知一个点的坐标及坐标向量的坐标，可以求出这个点平移后的坐标；程度好的学生会说，从“平移前点的坐标，平移后点的坐标，平移向量的坐标”这三个量中，知道其中的任意两个，就可以求出第三个．接下来就可以让学生自己出题．学生出的题目，估计多数是点的平移，没有“线”的平移的例子．让学生做过几道他们自己出的题目之后，老师可以启发学生：“我们学过很多函数的图象，你们能否举出一些它们平移的例子？”经过这一启发，想必有学生会举出一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等函数的图象平移的例子．假若学生出的题目还是不合适，这时候，老师可以出示难度适当且非常重要的二次函数的图象平移的例题：已知函数y=x2的图象F经平移向量 a =（-2，3）后到F′的位置，求图形F′对应的函数表达式．
3.2.2 让学生做题
设计说明及对策：学生的做法可能有三种：其一，先求出函数y=x2的图象的顶点O（0，0）平移 a =（-2，3）后的坐标，然后根据二次函数的顶点式做出．其二，就是书上的解答过程（略）．这两种解法的答案都是y=(x+2)2+3．其三，设P（x′,y′)，过程同第二种解法，但答案是y′=(x′+2)2+3．
后两种解法稍微难，学生不易想出．老师要给学生充裕的时间，让其思考、解答，待多种答案做出来以后，让做出来的学生在讲台上讲解，然后让学生共同评议．若学生的解法没有后两种情况，老师就要把它讲解出来，并让学生进行比较．这时，学生会想：“一道题怎么会有两种不同的答案呢？”、“究竟谁对谁错？”从而引起学生争辩．老师呢，则要把学生的认识统一起来：函数y′=(x′+2)2+3与y=(x+2)2+3的定义域相同，对应法则也相同，因而是同一函数．在坐标系xoy下，函数y′=(x′+2)2+3应该写成 y=(x+2)2+3的形式．
3．3 平移法则
问题：函数y=x2的图象按照向量 a =(-2,3)平移后的方程是y-3=(x+2)2．它能否推广到一般情况？即函数y=f(x)的图象按照向量 a =（a1,a2)平移后，得到的新图形的方程是什么？
设计说明及对策：每做一道题之后，老师都要让学生总结一下，看能否得出一些结论，能否推广到一般情况．这个问题若学生做不出来，老师可以启发学生：
y=x2a =(-2,3) y-3=(x+2)2
y=x2a =(a1,a2) ?
y=f(x)a =(a1,a2) ?
从而总结出一般结论：一般地，函数y=f(x)的图象按向量 a =（a1,a2)平移后，得到新图形的方程是：y-a2=f(x-a1)．老师要告诉学生这个结论可以直接运用，并让学生根据这个结论叙述例题和学生自己出的其他题目．
3．4 小结
老师：同学们，这节课你们掌握的怎么样？请同学们填写课内总结性日记：
姓名日期 年 月 日
今天数学课的课题：
所涉及的知识要点：
我理解得最好的地方：
我不明白的地方：
老师在哪些方面引导得比较成功：
老师在哪些方面还需改进：
对老师的建议：
设计说明及对策：这样做，便于反馈学生对所学知识的掌握情况，也便于培养学生乐于交流的精神，更便于老师授课水平的提高．老师可以在辅导时，对学生不明白的地方进行讲解．学生毕竟是学生，对老师授课水平的评价及老师的建议不可能完全正确，教师要抱着有则改之，无则加勉的态度正确对待，切不可对给自己评价较低、建议有误的学生进行打击报复．
4 反思与讨论
4．1 引入要唤醒
学生在开始上课时，由于课前休息了一段时间，思维还处于“睡眠”状态．因此，老师进入教室后的首要任务是唤醒学生．老师可以在引入新课时，根据新课内容提出一个似是而非的问题，引诱学生在不知不觉中答错，使错得很自然、错得好像还挺有理，然后再警醒学生“回答错误”．这时，学生就会被唤醒：“啊，怎么会错了呢？不对吧？”从而去思索，去探讨，投入到学习中去，这是最佳 的引入方式．
4．2 问题要暴露
学生在学习新课时，由于对新知识还处于接触阶段，对新知识的理解难免会出现一些偏差，有些观点甚至是完全错误的．只有把问题暴露出来，才谈得上解决．这时，老师的主要任务是暴露问题．
对于内容较容易的课，老师要尽量让学生提问题，下定义，推公式，出题目，说思路，写过程，评答案，得结论，甚至布置作业，尽量做到能让学生讲的老师不讲，能让学生写的老师不写．要让学生主动发表自己的见解，真正参与到整个互动学习的过程中去．老师可以根据从中暴露出来的问题进行讲解，这样的讲解自然具有针对性，互动性．
对于难度较大的课，老师仍然要让学生按照上述步骤去做．当学生实在做不出来时，老师再去启发；如果还是启发不出来，最后才是老师的讲解．
4．3 课后有建议
现在的老师都很重视自己教学水平的提高，然而，教学水平的提高不是一朝一夕的事．许多老师往往通过听有经验的教师的课或者学习书本上的教学方法，以此来提高自己的教学水平．其实，学生才是自己最好的老师．高中阶段的学生，已经有分辨优劣的能力，已经能对老师讲的课提出有益的建议．自己的课讲的怎么样，学生是节节都听着的，学生是自己最忠实的听众，是最有发言权的．老师可以在课下（为了方便，在学生写课内总结性日记时也可以）让学生对自己讲的课进行评议，通过卡片反馈给老师．老师要从中虚心学习学生提出的建议，改进自己的教学方式，久而久之，还怕自己的教学水平得不到提高？
参考文献
周荣伟．谈“数学日记”在数学教学中的应用．数学教学通讯，2003（5）
注:本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文