<正> 危机是一种激化的、非解决不可的矛盾。数学发展过程中充满了矛盾,但是,只有矛盾激化到冲击整个数学基础时,才会构成危机。一、无理数的发现——第一次数学危机大约公元前5世纪,不可公度比的发现导致了毕达哥拉斯悖论。当时毕达哥拉斯学派重视自然及社会中不变因素的研究,把几何、算术、天文、音乐称为"四艺",在其中追求宇宙的和谐规律性。他们认为,宇宙间一切事物都可归结为整数或整数之比,其一项重大贡献是证明了勾股定理。不久,他的弟子希巴斯通过勾股定理,发现边长为1的正方形,其对角线长度并不能表示成整数或整数之比(不可公度比)。这一悖论直接触犯了毕氏学派的根本信条,导致当时认识上的轩然大波,从而产生了第一次数学危机。到了公元前370年,这个矛盾被毕氏学派的欧多克斯通过给比例下新定义的方法解决了。他的处理不可公度比的方法,出现在欧几里得《原本》第5卷中。欧多克斯和锹德金于1872年给出的无理数的解释与现代解释基本一致。今天中学几何课本中对相似三角形的处理,仍然反映出由不可公度比而带来的某些困难。