梁启超先生在《成败》一文[1]中写道：天下岂有终身不经失败之人哉！做过不如错过，错过不如错得多.失败者实天惠之学校也，能受此天惠与否，则亦视其人也已矣.
　　来自学生或教师的错误，都是一个非常值得珍视的资源.[2]因为，由着这个错误的源头追索、反思，不仅能走出误区，而且还会另有一番风景豁然眼前，别有洞天，这是最为难得的.
　　笔者在《等腰三角形》的教学过程中，碰到一些颇有意味的教学案例，在咀嚼、回味的同时，更有一些教学感悟和思想油然而生，如今撰文，以飨同人.
　　
　　
　　2. 课堂教学中学生的动态及其教学的导向
　　笔者在本节课教学的开课伊始，让全体同学动手画一个等腰三角形，于是，各种各样的画法呈现在全班同学的面前.当然，判定定理所昭示的方法也在其中.那么，画法的正确性必然是需要探究和论证的，怎么证明呢？
　　生甲：可以作△ABC的角平分线AD，然后利用AAS判定AB，AC所在的两个三角形全等.
　　师：OK！（此举得到了所有同学的认可，而且，受之启发跃跃欲试者纷然.）
　　生乙：还可以作BC边上的高线，也是利用AAS判定AB，AC所在的两个三角形全等.
　　师：很好！还有其他方法吗？
　　生丙（急切地）：作BC边上的中线.
　　师：请同学们将丙同学提供的证明思路叙写出来.
　　（很快，有一股强烈的声音在涌动：不行，三角形的全等不能得证！因为现有的条件是两边和其中一边的对角相等，不能判定两个三角形全等）
　　众生（嚷嚷）：老师，作中线不行啊！
　　师：作中线果然不行吗？作中线一定不行吗？作中线绝对不行吗？
　　（空气有些许沉寂，众生开始思索，继而有议论声起）
　　生丁（沉吟地）：我认为作中线也是可以的，只是略麻烦一些，需要证明两次全等．
　　生戊（生丁的同座站起来补充）：经过点D作AB，AC边上的垂线（如图2），垂足为点E，F，先利用AAS证明△DEB≌△DFC，再利用HL证明△AED≌△AFD.
　　生己：还可以倍长中线来证明（如图3）. 倍长中线AD至G，连结CG，容易证得△ABD≌△GCD，接下来只要证明△ADC≌△GDC即可，过点D作AC，GC边上的垂线，垂足为点E，F，先利用角平分线的性质证明DE=DF，再分别利用HL证明△DEC≌△DFC，△AED≌△GFD.
　　生庚：我认为，事实上戊同学和己同学的思路是一致的.
　　（众生饶有兴味地看着、听着、思考着……）
　　师：各位同学，事实上，不添辅助线也可以证明（如图4）．
　　（众生期盼）
　　师：在△ABC与△ACB中，
　　∠A=∠A，
　　BC=CB，
　　∠B=∠C，
　　∴ △ABC≌△ACB（AAS），
　　∴ AB=AC（全等三角形对应边相等），
　　∴ △ABC是等腰三角形.
　　
　　我们不妨提出一个新的命题：
　　在△ABC中，条件：（a）AB=AC（等腰三角形），（b）点D平分BC，（c）AD平分∠BAC，（d）AD⊥BC.
　　其中任意两个成立，必然能推出另两个成立.
　　于是，就有下列六种情形：
　　①（a）（b）