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摘 要：数学课堂中的留白，常指教师精心预设教学内容，而不是在课堂中牵着学生照着预设的内容按部就班地完成教学任务，教师留给学生足够的空间和时间，引起他们的认知冲突，让他们思维的火花碰撞，让他们充分地动起来，引起学生追求完美的倾向，让他们用自己的智慧填补教师留下的空白，发展其想象力、思维力，教师以学定教，引导学生的思维走向深刻，使学生的学习更积极、主动、有效、高效。
关键词：留白；有效；预设；生成；思维的深刻性
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）11-031-2
留白，指在书画艺术创作中，书画家为使整个作品画面、章法更为协调精美而有意留下相应的空白，留有想象的空间。留白予人以想象之余地，具有很高的审美价值。在数学教学中，留白同样体现的是一种智慧，是一种境界。数学课堂中的有效留白，常指教师精心预设教学内容，留给学生足够的空间和时间，引起他们的认知冲突，让他们思维的火花碰撞，让他们充分地动起来，引起学生心理上追求完美的倾向，这种对“完美”的追求一旦实现便给人以愉快的感受，能激励学生的积极性，发展其想象力、思维力，让学生用他们的智慧填补教师留下的空白，教师根据学生的生成以学定教，引导学生的思维走向深刻，使学生的学习能实现预期目的，即有效、高效，从而演绎数学课堂的精彩。
一、给学生的生成“留白”
1.给学生问的空间。根据儿童的心理特点，教师在教学中不要预设得太满，让学生始终受老师的牵制，教师要给与学生提出问题的课件，让学生成为发现者，这样他们的学习兴趣会被充分调动起来。
【教学片段】
（出示小学苏教版五年级上册教材P59的例1的场景图）
师：说一说从图中你知道了什么？
师：盆花是按什么规律摆放的？彩灯和彩旗呢？在小组里说一说。
总结：盆花是按一盆蓝、一盆红；彩灯是按一盏红、一盏紫、一盏绿；彩旗是按两面红、两面黄这样的规律分别重复排列的。
这样引导学生感知物体的有序排列，体会生活中的周期现象。在教学例题时，引导学生体验多样的解题策略主要有“画图、列举、计算”后，教师没有立刻让学生比较反思：“对于这几种方法，你喜欢哪一种，为什么？”因为这时学生才初步体验到多样的解题策略，这时就让学生来优化解题的方法有些操之过急，应该让学生在探究的过程中再去经历去感知，这时还凸显不出计算法的优越性。在接下来的教学中，教师没有受教材的限制，基本上没有再设计什么具体问题让学生解答，而是抛出“关于花盆摆放你还有什么疑问”这一问题，给学生空间，让他们的思维活跃起来，放手让他们提出问题，教师的教跟着学生走。
生1：第1000盆是什么颜色的花？
生2：是红花。
师：你怎么判断的这么快而准确呀？
生2：刚才我们已经总结出：奇数的都是蓝花，偶数的都是红花。因为1000是偶数，所以第1000盆是红花。
教室里响起了学生的掌声。
2.给学生答的空间。教师要有强烈的资源意识，去努力开发，积极利用，要善于抓住课堂上的每一个契机，为课堂生成制造空间，从而给学生搭建一个个展示个性的舞台，让学生的个性得以张扬、发展。《2011版小学数学新课程标准》强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
【接上一教学片段】
师：关于花盆的摆放你还能提出什么问题？
生3：如果再多一种颜色的花又有什么摆放规律呢？
师：你的问题具体些就是：三种颜色的花按周期摆放有什么规律？这里的彩灯正好有三种颜色，我们可以以彩灯的摆放为例。关于彩灯你想提出什么问题？
生4：第44盏是什么颜色的彩灯？
生5：：44÷3=14（组）……2（盏）
第44盏彩灯是紫色的。
师：为什么？
生5：余下的两盏在第15组，每一组的第2盏都是紫色，所以第44盏彩灯是紫色的。
师：谁来告诉大家这里的3代表什么？
生6：“3”代表每一组有红、紫、绿三种颜色的彩灯。
教师在后面的教学中，把问题的设计和解答的机会都放给了学生，教师只起到了引导、传球的作用，在学生遇到问题时不立刻亲自现身帮学生解答，而是把问题继续抛给学生，让他们动手实践，自主探索与合作交流，给他们的思考留有空间、时间，使他们的思维有广度、有深度，并给他们留有足够的回答空间，让学生的思维碰撞出火花，引导他们解决问题，再提出问题，让他们在和谐的氛围中学习。
二、生成与预设的有机结合处“留白”，激发学生的思维走向深刻
我们知道，教学是预设与生成的矛盾统一体，课堂教学既要有预设又要有生成，使预设和生成有机结合，能实现预期目的，即有效，有效果。预设是课前对教学目标、教学内容、教学过程、教学方法的预先设计；生成是指在具体教学中，因学情的变化，对目标、内容、过程、方法的适当调整以及在教学中由于教师的教学机智和合理调控，产生有价值的问题，解决问题的思路、方法，学生出色的、出人意料的回答，教师精当的点拨或讲解，这些资源的出现和适时运用，使课堂闪光，使学生顿悟，使学生在知识、能力或方法上实现自我建构。充分的预设是课堂教学成功的保障。只有课前精心预设，才能在课堂上动态生成。然而课堂教学是千变万化的，再好的预设也不可能预见课堂上可能出现的所有情况。课堂上出现了意料之外的情况，教师应该调整预设，给生成腾出空间，机智地驾驭课堂，让课堂呈现别样的精彩。思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，涉及思维活动的广度、深度和难度。人类的思维主要是言语思维，是抽象理性的认识。在感性材料的基础上，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里，进而抓住事物的本质与内在联系，认识事物的规律性。思维的深刻性集中表现为在智力活动中深入思考问题，善于概括归类，逻辑抽象性强，善于抓住事物的本质和规律，开展系统的理解活动，善于预见事物的发展进程。教师要用自己的教学智慧及时调整教学，使课堂生成与预设之间达到一种动态的平衡，激发学生的思维走向深刻。 1.恰当地抓住生成的时机和资源，能够更大程度地提高教学的有效性。在教学例题时，教师引导学生体验多样的解题策略主要有“画图、列举、计算”后，没有立刻让学生比较反思：“对于这几种方法，你喜欢哪一种，为什么？”而是抛出“关于花盆摆放你还有什么问题？”学生接着提出了：第1000盆是什么颜色的花？
生2：是红花。
师：你怎么判断的这么快而准确呀？
生2：刚才我们已经总结出：奇数的都是蓝花，偶数的都是红花。因为1000是偶数，所以第1000盆是红花。
教室里响起了学生的掌声。
师：关于花盆的摆放你还能提出什么问题？
生3：如果再多一种颜色的花又有什么摆放规律呢？
师：你的问题具体些就是：三种颜色的花按周期摆放有什么规律？这里的彩灯正好有三种颜色，我们可以以彩灯的摆放为例。关于彩灯你想提出什么问题？
……
师：真棒！关于彩灯的摆放你们还想提出什么问题吗？
生16：如果再增添一盏颜色的彩灯又会怎样呢？
师：你的意思是四种颜色的彩灯有规律的摆放会是什么样的？这个问题可以以彩旗的摆放为例。请大家回顾一下：图中的彩旗的摆放有什么规律？
生17：两红两黄依次重复排列，它们是4面旗子为一组。
师：你想提出什么问题给大家解答？
……
教师根据学生提出的问题，适时地引导预设上来，不露痕迹地把解决花盆摆放问题引到解决彩灯的摆放问题上，即由每组个数是2的过渡到每组个数是3的有序排列问题上，使教学有序、动态的进行着。当探讨完每组个数是3的有序排列问题后，又由3过的到4，即由彩灯摆放的问题过渡到彩旗摆放的问题。
这时的学生处于“兴奋”的学习状态，他们的学习已经向积极主动的方向发展，教师不失时机的表扬、肯定，又为学生的学习激情扬起了高昂的风帆。
2.恰当地抓住生成的时机和资源，教师及时调整预设，学生的思维走向深刻。
【接上一教学片段】
师：关于彩灯的摆放你还有什么问题吗？
生6：第99998盏彩灯是什么颜色的？
生7：99998÷3=33332（组）……2（盏）
余下的两盏在第33332组，每一组的第2盏都是紫色，所以第99998盏彩灯是紫色的。
师：你用计算的方法来解决问题的，还有谁有不同的意见吗？
……
第21盏是绿色的灯。因为最后一盏灯是第7组的第3盏，每一组的第3盏灯都是绿色的，所以第21盏是绿色的灯。
当学生又提出“第99998盏彩灯是什么颜色的”问题，其他学生用计算方法解答后，教师不失时机地引导学生进行比较“画图、列举、计算”法，学生在自己亲身经历的基础上很容易优化出解决问题的策略，确定用除法解决这一问题的优越性。优化出计算的方法解决简单的周期现象问题是本节课的重点也是难点之一，教师在学生很主动的学习过程中利用学生的生成引导学生突破重点，化解了难点。接着教师引导学生回顾“第44盏和第99998盏的彩灯都是紫色，这是一种巧合吗？”这把学生的思维引向深处，学生通过思考得出结论：“只要余数是2，最后一盏灯的颜色都是紫色的”。在教师的引导下，学生不再停留在会提问、会解答的阶段，而是在前面的基础上会反思、会总结了，这是一种多么好的学习品质呀！
教师没有停留在这一刻，而是又不失时机地引导学生思考：“刚才大家已经发现：只要余数是2，最后一盏灯的颜色都是紫色的，那余数是几时，彩灯的颜色一定是红色的？”学生得出结论“只要余数是1，最后一盏灯的颜色都是红色的”之后，教师又抓住生成抛出“谁来提一问题验证一下，使最后一盏灯的颜色是红色的”。
教师肯定评价后，又抛出“那谁来告诉大家什么情况下，最后一盏灯是绿色的？”一生答“余数是3时。”他的答案明显没有深入全面思考，教师没有立即评价，而是给学生时间和空间思考，等其他同学发表意见：“不对，余数不能是3，余数要比除数小。也就是当没有余数时，最后一盏灯就是绿色的。”教师又顺水推舟问：“谁来提一问题使最后一盏灯是绿色的？”一生问：“第21盏是什么颜色的灯？”其他学生解答交流验证结论正确。
在这一环节中，教师有机结合学生的生成，非线性地完成了教学的预设，成功地引导学生探究出周期现象中有余数和没余数的对应的物体规律。能深入浅出，也能总结并验证，正体现了《新课标》的要求：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”
教师要理性地看待“预设”和“生成”，预设要有弹性、有留白的空间，以便在目标实施中能宽容地、开放地纳入始料未及的“生成”。对学生积极的、正面的、价值高的“生成”要大加鼓励、利用；对消极的、负面的、价值低的“生成”，教师应采取更为机智的方法，让其思维“归队”，在教师的有效留白中，回到预设的教学安排上来，课堂教学因预设而有序，因生成而精彩，学生的思维因教师的机智引导向深处延伸。
[参考文献]
[1]陈星媚.学习体会——预设和生成.海西教育网，2013（03）.
[2]人海中.留白.朝华出版社， 2008（02）.
[3]戴志宣.补白的艺术.商情（科学教育家）杂志编辑部，2008（05）.
[4]裴红波.精彩源于生成——《认识线段》教学片断对比与反思.考试周刊，2011（66）.
关键词：留白；有效；预设；生成；思维的深刻性
中图分类号：G427 文献标识码：A 文章编号：1992-7711（2013）11-031-2
留白，指在书画艺术创作中，书画家为使整个作品画面、章法更为协调精美而有意留下相应的空白，留有想象的空间。留白予人以想象之余地，具有很高的审美价值。在数学教学中，留白同样体现的是一种智慧，是一种境界。数学课堂中的有效留白，常指教师精心预设教学内容，留给学生足够的空间和时间，引起他们的认知冲突，让他们思维的火花碰撞，让他们充分地动起来，引起学生心理上追求完美的倾向，这种对“完美”的追求一旦实现便给人以愉快的感受，能激励学生的积极性，发展其想象力、思维力，让学生用他们的智慧填补教师留下的空白，教师根据学生的生成以学定教，引导学生的思维走向深刻，使学生的学习能实现预期目的，即有效、高效，从而演绎数学课堂的精彩。
一、给学生的生成“留白”
1.给学生问的空间。根据儿童的心理特点，教师在教学中不要预设得太满，让学生始终受老师的牵制，教师要给与学生提出问题的课件，让学生成为发现者，这样他们的学习兴趣会被充分调动起来。
【教学片段】
（出示小学苏教版五年级上册教材P59的例1的场景图）
师：说一说从图中你知道了什么？
师：盆花是按什么规律摆放的？彩灯和彩旗呢？在小组里说一说。
总结：盆花是按一盆蓝、一盆红；彩灯是按一盏红、一盏紫、一盏绿；彩旗是按两面红、两面黄这样的规律分别重复排列的。
这样引导学生感知物体的有序排列，体会生活中的周期现象。在教学例题时，引导学生体验多样的解题策略主要有“画图、列举、计算”后，教师没有立刻让学生比较反思：“对于这几种方法，你喜欢哪一种，为什么？”因为这时学生才初步体验到多样的解题策略，这时就让学生来优化解题的方法有些操之过急，应该让学生在探究的过程中再去经历去感知，这时还凸显不出计算法的优越性。在接下来的教学中，教师没有受教材的限制，基本上没有再设计什么具体问题让学生解答，而是抛出“关于花盆摆放你还有什么疑问”这一问题，给学生空间，让他们的思维活跃起来，放手让他们提出问题，教师的教跟着学生走。
生1：第1000盆是什么颜色的花？
生2：是红花。
师：你怎么判断的这么快而准确呀？
生2：刚才我们已经总结出：奇数的都是蓝花，偶数的都是红花。因为1000是偶数，所以第1000盆是红花。
教室里响起了学生的掌声。
2.给学生答的空间。教师要有强烈的资源意识，去努力开发，积极利用，要善于抓住课堂上的每一个契机，为课堂生成制造空间，从而给学生搭建一个个展示个性的舞台，让学生的个性得以张扬、发展。《2011版小学数学新课程标准》强调：有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者与合作者。
【接上一教学片段】
师：关于花盆的摆放你还能提出什么问题？
生3：如果再多一种颜色的花又有什么摆放规律呢？
师：你的问题具体些就是：三种颜色的花按周期摆放有什么规律？这里的彩灯正好有三种颜色，我们可以以彩灯的摆放为例。关于彩灯你想提出什么问题？
生4：第44盏是什么颜色的彩灯？
生5：：44÷3=14（组）……2（盏）
第44盏彩灯是紫色的。
师：为什么？
生5：余下的两盏在第15组，每一组的第2盏都是紫色，所以第44盏彩灯是紫色的。
师：谁来告诉大家这里的3代表什么？
生6：“3”代表每一组有红、紫、绿三种颜色的彩灯。
教师在后面的教学中，把问题的设计和解答的机会都放给了学生，教师只起到了引导、传球的作用，在学生遇到问题时不立刻亲自现身帮学生解答，而是把问题继续抛给学生，让他们动手实践，自主探索与合作交流，给他们的思考留有空间、时间，使他们的思维有广度、有深度，并给他们留有足够的回答空间，让学生的思维碰撞出火花，引导他们解决问题，再提出问题，让他们在和谐的氛围中学习。
二、生成与预设的有机结合处“留白”，激发学生的思维走向深刻
我们知道，教学是预设与生成的矛盾统一体，课堂教学既要有预设又要有生成，使预设和生成有机结合，能实现预期目的，即有效，有效果。预设是课前对教学目标、教学内容、教学过程、教学方法的预先设计；生成是指在具体教学中，因学情的变化，对目标、内容、过程、方法的适当调整以及在教学中由于教师的教学机智和合理调控，产生有价值的问题，解决问题的思路、方法，学生出色的、出人意料的回答，教师精当的点拨或讲解，这些资源的出现和适时运用，使课堂闪光，使学生顿悟，使学生在知识、能力或方法上实现自我建构。充分的预设是课堂教学成功的保障。只有课前精心预设，才能在课堂上动态生成。然而课堂教学是千变万化的，再好的预设也不可能预见课堂上可能出现的所有情况。课堂上出现了意料之外的情况，教师应该调整预设，给生成腾出空间，机智地驾驭课堂，让课堂呈现别样的精彩。思维的深刻性是指思维活动的抽象程度和逻辑水平，涉及思维活动的广度、深度和难度。人类的思维主要是言语思维，是抽象理性的认识。在感性材料的基础上，去粗取精、去伪存真，由此及彼、由表及里，进而抓住事物的本质与内在联系，认识事物的规律性。思维的深刻性集中表现为在智力活动中深入思考问题，善于概括归类，逻辑抽象性强，善于抓住事物的本质和规律，开展系统的理解活动，善于预见事物的发展进程。教师要用自己的教学智慧及时调整教学，使课堂生成与预设之间达到一种动态的平衡，激发学生的思维走向深刻。 1.恰当地抓住生成的时机和资源，能够更大程度地提高教学的有效性。在教学例题时，教师引导学生体验多样的解题策略主要有“画图、列举、计算”后，没有立刻让学生比较反思：“对于这几种方法，你喜欢哪一种，为什么？”而是抛出“关于花盆摆放你还有什么问题？”学生接着提出了：第1000盆是什么颜色的花？
生2：是红花。
师：你怎么判断的这么快而准确呀？
生2：刚才我们已经总结出：奇数的都是蓝花，偶数的都是红花。因为1000是偶数，所以第1000盆是红花。
教室里响起了学生的掌声。
师：关于花盆的摆放你还能提出什么问题？
生3：如果再多一种颜色的花又有什么摆放规律呢？
师：你的问题具体些就是：三种颜色的花按周期摆放有什么规律？这里的彩灯正好有三种颜色，我们可以以彩灯的摆放为例。关于彩灯你想提出什么问题？
……
师：真棒！关于彩灯的摆放你们还想提出什么问题吗？
生16：如果再增添一盏颜色的彩灯又会怎样呢？
师：你的意思是四种颜色的彩灯有规律的摆放会是什么样的？这个问题可以以彩旗的摆放为例。请大家回顾一下：图中的彩旗的摆放有什么规律？
生17：两红两黄依次重复排列，它们是4面旗子为一组。
师：你想提出什么问题给大家解答？
……
教师根据学生提出的问题，适时地引导预设上来，不露痕迹地把解决花盆摆放问题引到解决彩灯的摆放问题上，即由每组个数是2的过渡到每组个数是3的有序排列问题上，使教学有序、动态的进行着。当探讨完每组个数是3的有序排列问题后，又由3过的到4，即由彩灯摆放的问题过渡到彩旗摆放的问题。
这时的学生处于“兴奋”的学习状态，他们的学习已经向积极主动的方向发展，教师不失时机的表扬、肯定，又为学生的学习激情扬起了高昂的风帆。
2.恰当地抓住生成的时机和资源，教师及时调整预设，学生的思维走向深刻。
【接上一教学片段】
师：关于彩灯的摆放你还有什么问题吗？
生6：第99998盏彩灯是什么颜色的？
生7：99998÷3=33332（组）……2（盏）
余下的两盏在第33332组，每一组的第2盏都是紫色，所以第99998盏彩灯是紫色的。
师：你用计算的方法来解决问题的，还有谁有不同的意见吗？
……
第21盏是绿色的灯。因为最后一盏灯是第7组的第3盏，每一组的第3盏灯都是绿色的，所以第21盏是绿色的灯。
当学生又提出“第99998盏彩灯是什么颜色的”问题，其他学生用计算方法解答后，教师不失时机地引导学生进行比较“画图、列举、计算”法，学生在自己亲身经历的基础上很容易优化出解决问题的策略，确定用除法解决这一问题的优越性。优化出计算的方法解决简单的周期现象问题是本节课的重点也是难点之一，教师在学生很主动的学习过程中利用学生的生成引导学生突破重点，化解了难点。接着教师引导学生回顾“第44盏和第99998盏的彩灯都是紫色，这是一种巧合吗？”这把学生的思维引向深处，学生通过思考得出结论：“只要余数是2，最后一盏灯的颜色都是紫色的”。在教师的引导下，学生不再停留在会提问、会解答的阶段，而是在前面的基础上会反思、会总结了，这是一种多么好的学习品质呀！
教师没有停留在这一刻，而是又不失时机地引导学生思考：“刚才大家已经发现：只要余数是2，最后一盏灯的颜色都是紫色的，那余数是几时，彩灯的颜色一定是红色的？”学生得出结论“只要余数是1，最后一盏灯的颜色都是红色的”之后，教师又抓住生成抛出“谁来提一问题验证一下，使最后一盏灯的颜色是红色的”。
教师肯定评价后，又抛出“那谁来告诉大家什么情况下，最后一盏灯是绿色的？”一生答“余数是3时。”他的答案明显没有深入全面思考，教师没有立即评价，而是给学生时间和空间思考，等其他同学发表意见：“不对，余数不能是3，余数要比除数小。也就是当没有余数时，最后一盏灯就是绿色的。”教师又顺水推舟问：“谁来提一问题使最后一盏灯是绿色的？”一生问：“第21盏是什么颜色的灯？”其他学生解答交流验证结论正确。
在这一环节中，教师有机结合学生的生成，非线性地完成了教学的预设，成功地引导学生探究出周期现象中有余数和没余数的对应的物体规律。能深入浅出，也能总结并验证，正体现了《新课标》的要求：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。除接受学习外，动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程。”
教师要理性地看待“预设”和“生成”，预设要有弹性、有留白的空间，以便在目标实施中能宽容地、开放地纳入始料未及的“生成”。对学生积极的、正面的、价值高的“生成”要大加鼓励、利用；对消极的、负面的、价值低的“生成”，教师应采取更为机智的方法，让其思维“归队”，在教师的有效留白中，回到预设的教学安排上来，课堂教学因预设而有序，因生成而精彩，学生的思维因教师的机智引导向深处延伸。
[参考文献]
[1]陈星媚.学习体会——预设和生成.海西教育网，2013（03）.
[2]人海中.留白.朝华出版社， 2008（02）.
[3]戴志宣.补白的艺术.商情（科学教育家）杂志编辑部，2008（05）.
[4]裴红波.精彩源于生成——《认识线段》教学片断对比与反思.考试周刊，2011（66）.