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在数学教学中，我们要判断某个命题是假命题，只要列举一个符合命题的条件、但结论不成立的例子，从而轻易地否定这个命题，这样的例子就是反例。要判断某个命题是错误的，用举反例的方法能起到事半功倍的效果。这一方法对于培养学生的思维的缜密性、提高学生思维的全面性、促进学生思维的发散性及创新性等都有较好的实用意义。
反例教学和运用反例证明题目应遵循以下几个方面：
1 构造反例的要求
1.1 反例的引入要符合学生的认知水平
不同年龄段学生的学习生理、心理特征和所学知识结构不同。初中阶段的学生有时还不具备独立复杂推理论证的能力，推理思维还有很大程度的局限性，得到的结论还考虑不够全面。教师在平时的教学过程中适当适时引入反例，这符合学生的认识水平，并且是合理可行的。
例如，在讲解“‘在四边形ABCD中，有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形’这结论是否正确”时，如果要从正面来证明它是错的，受学生的知识结构和认知能力限制，是很难办到的。而举例等腰梯形来说明这个结论是错的，对学生来说容易接受和理解。这样就能言简意赅地把问题讲清楚，也易于学生消化吸收。
又如，“兩个三角形中，如果有两边及其一边的对角对应相等，这样的两个三角形全等”。要说明这个结论的错误性，只需画图，画出符合已知条件的两个三角形，能得到两个三角形的形状可能相同，也可能不同。由此进一步发挥：什么情况下一定全等？这就引出了直角三角形“HL”的判定。同时也能清楚判断两个三角形是否全等，没有“SSA”这一判定，且“HL”是“SSA”的特殊情况。这使得知识更加系统化。
1.2 反例的构建要有利于深化学生的理解、应用能力
在日常教学过程中，教师不但要适时适当举出反例、应用反例，还要引导学生构建反例，深刻认识到深化理解应用反例对部分题目的理解和证明，起到事半功倍的意义。
例如，在讲解运用“等腰三角形三线合一”的性质时，有的学生没注意成立的前提是“等腰三角形”，有的学生对“三线”是哪三线没记清。教学时可以让学生相互举反例来说明错误运用的严重性，增强学生考虑问题的严密性和深度。
1.3 反例的构建要体现有梯度
在平时的教学过程中，反例的构建要根据学生知识层面、解题能力、认知能力的逐步提高由浅入深、由易到难逐渐引入和开展。
如，当|a|=a时a>0，到|a+3|=a+3时a>-3，再到|2a+3|=2a+3时a>- ，其中答案不完整、不严密，可以通过反例来步步深入体现例子由简单到复杂、由易到难，让学生体会到深层次构建反例的必要性。
2 几种有利于培养学生数学思维的教学反例构建法
（1）把学生容易犯错误的知识点或做法设置成例题或习题，在解题过程中感受反例的魅力，从而培养学生考虑问题的缜密性。
如，“任何数的平方都是正数”。对于这一结论，很多学生认为是对的。确实对于无数的数，这个结论是正确的，唯独当这个数是零时，这个结论不成立。这样，题目一做，反例一举，学生就会恍然大悟，体会深刻。
又如，任意实数a的绝对值都是正数，任意实数a的倒数是。这些都具有异曲同工之效。
（2）为了防止学生出现知识漏洞而构建反例，有利于提高学生考虑问题的全面性。
如，“角平分线上的点到角两边距离相等”。有不少学生没理解清楚“距离”是指垂直距离，误用为只要是角平分线的点与角两边的连线就会相等。这个问题要说明清楚并不难，只要画图举反例就可以让学生心服口服，以后就会少犯这样的错误。
又如，“线段中垂线上的点到线段两端距离相等”。有些同学没有注意到“垂直”和“平分”应同时具备。我们可以举缺少一个条件的例子，使得结论不成立，这样学生就会感受深刻，就能理解到位。
（3）利用题目已知条件的开放性构建反例。
通过分情况讨论法、穷举法，发现在现有的已知条件下，结论不一定成立。这其中就有构建反例的功劳，这样做有利于培养学生的发散性思维。
如，“任何数的零次幂都是1”对吗？不少同学没记好条件限制，很容易认为是对的。其实反例很容易找到，就是当a为零时，a的零次幂没有意义。在这基础上可以把a换成（2a+1），它的零次幂又是多少？如何作答？
又如，两个无理数的积是否一定是无理数？我们可以举出几个反例来说明两个无理数的积不一定都是无理数。如与 -，与。结论是：只要是化成最简二次根式后被开方数相同的两个无理数的积都是有理数。这样就把这个题目提升到一个更高的层面。同时我们还可以推而广之：两个无理数的和是否一定是无理数？两个无理数的差是否一定是无理数？两个无理数的商是否一定是无理数……
这样，学生发散性思维就能得到很好的锻炼。
3 注重反例在考试中的实战意义
目前学生的学业成绩还是以考试分数来衡量，这势必要求学生所学知识、方法有利于考试，为考试服务。所以就必须讲究所学“构建反例”方法在考试中的作用。
（1）通过举反例可以防止出错。“当什么情况下时命题不成立”，多培养锻炼学生这种思维模式，让学生形成一种自然的解题思路和注意事项，这样就可以防止考试时因为考虑不周而丢分。平时老师还可以引导学生把类似的题目做归纳整理，方便记忆。
（2）利用举反例轻松证明命题是错误的。由于学生知识面和能力的限制，有些命题要从正面去证明它是错误的，难度很大，很复杂，若利用反例来证明，只要列举一个符合命题的条件、但结论不成立的例子，就可以轻松解决问题。这对于提高应试能力具有重要意义。
总之，举反例说明一个命题的错误性，是一种常用的解题方法，掌握好它，应用好它，可以起到事半功倍的效果，值得大家探讨和掌握。
（作者单位：福建省诏安县怀恩中学）
反例教学和运用反例证明题目应遵循以下几个方面：
1 构造反例的要求
1.1 反例的引入要符合学生的认知水平
不同年龄段学生的学习生理、心理特征和所学知识结构不同。初中阶段的学生有时还不具备独立复杂推理论证的能力，推理思维还有很大程度的局限性，得到的结论还考虑不够全面。教师在平时的教学过程中适当适时引入反例，这符合学生的认识水平，并且是合理可行的。
例如，在讲解“‘在四边形ABCD中，有一组对边平行，而另一组对边相等的四边形是平行四边形’这结论是否正确”时，如果要从正面来证明它是错的，受学生的知识结构和认知能力限制，是很难办到的。而举例等腰梯形来说明这个结论是错的，对学生来说容易接受和理解。这样就能言简意赅地把问题讲清楚，也易于学生消化吸收。
又如，“兩个三角形中，如果有两边及其一边的对角对应相等，这样的两个三角形全等”。要说明这个结论的错误性，只需画图，画出符合已知条件的两个三角形，能得到两个三角形的形状可能相同，也可能不同。由此进一步发挥：什么情况下一定全等？这就引出了直角三角形“HL”的判定。同时也能清楚判断两个三角形是否全等，没有“SSA”这一判定，且“HL”是“SSA”的特殊情况。这使得知识更加系统化。
1.2 反例的构建要有利于深化学生的理解、应用能力
在日常教学过程中，教师不但要适时适当举出反例、应用反例，还要引导学生构建反例，深刻认识到深化理解应用反例对部分题目的理解和证明，起到事半功倍的意义。
例如，在讲解运用“等腰三角形三线合一”的性质时，有的学生没注意成立的前提是“等腰三角形”，有的学生对“三线”是哪三线没记清。教学时可以让学生相互举反例来说明错误运用的严重性，增强学生考虑问题的严密性和深度。
1.3 反例的构建要体现有梯度
在平时的教学过程中，反例的构建要根据学生知识层面、解题能力、认知能力的逐步提高由浅入深、由易到难逐渐引入和开展。
如，当|a|=a时a>0，到|a+3|=a+3时a>-3，再到|2a+3|=2a+3时a>- ，其中答案不完整、不严密，可以通过反例来步步深入体现例子由简单到复杂、由易到难，让学生体会到深层次构建反例的必要性。
2 几种有利于培养学生数学思维的教学反例构建法
（1）把学生容易犯错误的知识点或做法设置成例题或习题，在解题过程中感受反例的魅力，从而培养学生考虑问题的缜密性。
如，“任何数的平方都是正数”。对于这一结论，很多学生认为是对的。确实对于无数的数，这个结论是正确的，唯独当这个数是零时，这个结论不成立。这样，题目一做，反例一举，学生就会恍然大悟，体会深刻。
又如，任意实数a的绝对值都是正数，任意实数a的倒数是。这些都具有异曲同工之效。
（2）为了防止学生出现知识漏洞而构建反例，有利于提高学生考虑问题的全面性。
如，“角平分线上的点到角两边距离相等”。有不少学生没理解清楚“距离”是指垂直距离，误用为只要是角平分线的点与角两边的连线就会相等。这个问题要说明清楚并不难，只要画图举反例就可以让学生心服口服，以后就会少犯这样的错误。
又如，“线段中垂线上的点到线段两端距离相等”。有些同学没有注意到“垂直”和“平分”应同时具备。我们可以举缺少一个条件的例子，使得结论不成立，这样学生就会感受深刻，就能理解到位。
（3）利用题目已知条件的开放性构建反例。
通过分情况讨论法、穷举法，发现在现有的已知条件下，结论不一定成立。这其中就有构建反例的功劳，这样做有利于培养学生的发散性思维。
如，“任何数的零次幂都是1”对吗？不少同学没记好条件限制，很容易认为是对的。其实反例很容易找到，就是当a为零时，a的零次幂没有意义。在这基础上可以把a换成（2a+1），它的零次幂又是多少？如何作答？
又如，两个无理数的积是否一定是无理数？我们可以举出几个反例来说明两个无理数的积不一定都是无理数。如与 -，与。结论是：只要是化成最简二次根式后被开方数相同的两个无理数的积都是有理数。这样就把这个题目提升到一个更高的层面。同时我们还可以推而广之：两个无理数的和是否一定是无理数？两个无理数的差是否一定是无理数？两个无理数的商是否一定是无理数……
这样，学生发散性思维就能得到很好的锻炼。
3 注重反例在考试中的实战意义
目前学生的学业成绩还是以考试分数来衡量，这势必要求学生所学知识、方法有利于考试，为考试服务。所以就必须讲究所学“构建反例”方法在考试中的作用。
（1）通过举反例可以防止出错。“当什么情况下时命题不成立”，多培养锻炼学生这种思维模式，让学生形成一种自然的解题思路和注意事项，这样就可以防止考试时因为考虑不周而丢分。平时老师还可以引导学生把类似的题目做归纳整理，方便记忆。
（2）利用举反例轻松证明命题是错误的。由于学生知识面和能力的限制，有些命题要从正面去证明它是错误的，难度很大，很复杂，若利用反例来证明，只要列举一个符合命题的条件、但结论不成立的例子，就可以轻松解决问题。这对于提高应试能力具有重要意义。
总之，举反例说明一个命题的错误性，是一种常用的解题方法，掌握好它，应用好它，可以起到事半功倍的效果，值得大家探讨和掌握。
（作者单位：福建省诏安县怀恩中学）