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“定義新运算”是一种创新运算，它是在一类数中给出一种新的运算法则，通过已知普通的加、减、乘、除和乘方运算来定义的.由于“定义新运算”型问题构思精巧，新颖灵活，综合性强，有利于考查基本素质和能力.所以，这类试题在全国各地各类初中数学竞赛中常有出现，下面举例介绍常见的几种类型，供读者学习参考.
类型一有关运算律的问题
例1（2010届广东省初中数学竞赛初赛题）定义运算符号“*”的意义为：a*b=a+bab（其中a、b均不为0）.下面有两个结论：（1）运算“*”满足交换律；（2）运算“*”满足结合律.其中（）.
A.只有（1）正确B.只有（2）正确
C.（1）和（2）都正确D.（1）和（2）都不正确
解由a*b=a+bab=1a+1b=1b+1a=b*a可知，运算“*”满足交换律.
而a*(b+c)=1a+1b+c，a*b+a*c=1a＋1b+1a+1c，由a的任意性可知，运算“*”不满足结合律.故选A.
类型二有关求值的问题
例2（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）对于任意实数a,b,c,d，定义有序实数对（a,b）与（c，d）之间的运算“”为：（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）.
若对于任意实数u、v，都有（u，v）（x，y）=（u，v），则（x，y）为（）.
A.（0,1）B.(1,0）
C.（-1,0）D.（0，-1）
解依定义的运算法则，有
ux+vy=u,
vx+uy=v.得u(x-1)+vy=0,
v(x-1)+uy=0.
对任意实数u、v都成立.
由实数u、v的任意性，得（x，y）=（1,0）.故选B.
例3（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛初三试题）设x*y定义为x*y=(x+1)(y+1)，x*2定义为x*2=x*x，则多项式3*(x*2)-2*x+1，当x=2时的值为.
解由题设的定义，得x*2=x*x=(x+1)(x+1)=(x+1)2，则
［3*(x*2)］-2*x+1=［3*(x+1)2］-2*x+1
=（3＋1）［(x+1)2＋1］-（2＋1）（x＋1）＋1
=4x2+5x+6.
当x=2时，原式=4×22＋5×2＋6=32.
例4（第19届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试题）Foreach pair of real numbers a≠b ,define the operation ★ as (a★b)=a+ba-b,then the value of((1★2)★3)is（）.
A.-23B.-15C.0D.12
(英汉小词典：each pair每对；real numbers实数；define定义；operation运算；value值）
解由题设，有(1★2)=1+21-2=-3，
所以((1★2)★3)=-3+3-3-3=0.
故选C.
类型三有关解方程的问题
例5（第17届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）对实数a,b，定义运算“*”如下：a*b=a2b,当a≥b时，
ab2,当a A.23B.4
C.±23D.4或±22
解当3≥m时，3*m=9m=36，则m=4，与3≥m矛盾，舍去.
当3 例6（第18届“希望杯”全国数学邀请赛初一第1试题）对任意四个有理数a，b，c，d定义新运算：ab
cd=ad-bc，已知2x-4
x1=18，则x=（）.
A.1B.2
C.3D.4
解由定义新运算，得2x+4x=18，所以x=3.故选C.
例7（2009年“新知杯”上海市初中数学竞赛题）对任意两个实数a,b，规定一种新运算“*”：a*b=a（a+b）+b.若已知a*2.5=28.5，则实数a的值是.
解由题设有a(a+2.5)+2.5=28.5，解得a=4或-6.5.
类型四有关确定字母取值范围的问题
例8（2008年全国初中数学竞赛题）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v.若关于x的方程x*（a*x）=-14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是.
解由定义的运算，得关于x的方程为(a+1)x2+(a+1)x+14=0.
∵方程有两个不同的实数根，
∴a+1≠0,
(a+1)2-4(a+1)×14>0，
解之得a>0或a<-1
类型一有关运算律的问题
例1（2010届广东省初中数学竞赛初赛题）定义运算符号“*”的意义为：a*b=a+bab（其中a、b均不为0）.下面有两个结论：（1）运算“*”满足交换律；（2）运算“*”满足结合律.其中（）.
A.只有（1）正确B.只有（2）正确
C.（1）和（2）都正确D.（1）和（2）都不正确
解由a*b=a+bab=1a+1b=1b+1a=b*a可知，运算“*”满足交换律.
而a*(b+c)=1a+1b+c，a*b+a*c=1a＋1b+1a+1c，由a的任意性可知，运算“*”不满足结合律.故选A.
类型二有关求值的问题
例2（2011年《数学周报》杯全国初中数学竞赛题）对于任意实数a,b,c,d，定义有序实数对（a,b）与（c，d）之间的运算“”为：（a，b）（c，d）=（ac+bd，ad+bc）.
若对于任意实数u、v，都有（u，v）（x，y）=（u，v），则（x，y）为（）.
A.（0,1）B.(1,0）
C.（-1,0）D.（0，-1）
解依定义的运算法则，有
ux+vy=u,
vx+uy=v.得u(x-1)+vy=0,
v(x-1)+uy=0.
对任意实数u、v都成立.
由实数u、v的任意性，得（x，y）=（1,0）.故选B.
例3（2005年湖州市“期望杯”数学竞赛初三试题）设x*y定义为x*y=(x+1)(y+1)，x*2定义为x*2=x*x，则多项式3*(x*2)-2*x+1，当x=2时的值为.
解由题设的定义，得x*2=x*x=(x+1)(x+1)=(x+1)2，则
［3*(x*2)］-2*x+1=［3*(x+1)2］-2*x+1
=（3＋1）［(x+1)2＋1］-（2＋1）（x＋1）＋1
=4x2+5x+6.
当x=2时，原式=4×22＋5×2＋6=32.
例4（第19届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试题）Foreach pair of real numbers a≠b ,define the operation ★ as (a★b)=a+ba-b,then the value of((1★2)★3)is（）.
A.-23B.-15C.0D.12
(英汉小词典：each pair每对；real numbers实数；define定义；operation运算；value值）
解由题设，有(1★2)=1+21-2=-3，
所以((1★2)★3)=-3+3-3-3=0.
故选C.
类型三有关解方程的问题
例5（第17届“希望杯”全国数学邀请赛初二试题）对实数a,b，定义运算“*”如下：a*b=a2b,当a≥b时，
ab2,当a
C.±23D.4或±22
解当3≥m时，3*m=9m=36，则m=4，与3≥m矛盾，舍去.
当3
cd=ad-bc，已知2x-4
x1=18，则x=（）.
A.1B.2
C.3D.4
解由定义新运算，得2x+4x=18，所以x=3.故选C.
例7（2009年“新知杯”上海市初中数学竞赛题）对任意两个实数a,b，规定一种新运算“*”：a*b=a（a+b）+b.若已知a*2.5=28.5，则实数a的值是.
解由题设有a(a+2.5)+2.5=28.5，解得a=4或-6.5.
类型四有关确定字母取值范围的问题
例8（2008年全国初中数学竞赛题）对于实数u，v，定义一种运算“*”为：u*v=uv+v.若关于x的方程x*（a*x）=-14有两个不同的实数根，则满足条件的实数a的取值范围是.
解由定义的运算，得关于x的方程为(a+1)x2+(a+1)x+14=0.
∵方程有两个不同的实数根，
∴a+1≠0,
(a+1)2-4(a+1)×14>0，
解之得a>0或a<-1