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开放型习题是相对有明确条件和明确结论的封闭式习题而言的，是指题目的条件不完备或结论不确定的习题。练习是数学教学重要的组成部分，恰到好处的习题，不仅能巩固知识，形成技能，而且能启发思维，培养能力。在教学过程中，除注意增加变式题、综合题外，适当设计一些开放型习题，可以培养学生思维的深刻性 和灵活性，克服学生思维的呆板性。
一、运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性
不定型开放题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而培养学生思维的深刻性。
比如在学习分数时，学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”往往混淆不清，以至于解题时在该知识点上出现错误，教师虽反复指出它们的区别，却难以收到理想的效果。在学习分数应用题后，让学生做这样一道习题：“有两根同样长的绳子，第一根截去9/10，第二根截去9/10米，哪一根绳子剩下的部分长？”此题出示后，有的学生说：“一样长。”有的学生说：“不一定。”我让学生讨论哪种说法对，为什么？学生纷纷发表意见，经过讨论，统一认识：“因为两根绳子的长度没有确定，第一根截去的长度就无法确定，所以哪一根绳子剩下的部分长也就无法确定，必须知道绳子原来的长度，才能确定哪根绳子剩下的部分长。”这时再让学生讨论：两根绳子剩下部分的长度有几种情况？经过充分的讨论，最后得出如下结论：①当绳子的长度是1米时，第一根的9/10等于9/10米，所以两根绳子剩下的部分一样长；②当绳子的长度大于1米时，第一根绳子的 9/10大于9/10米，所以第二根绳子剩下的长；③当绳子的长度小于1米时，第一根绳子的9/10小于9/10 米 ，由于绳子的长度小于9/10米时，就无法从第二根绳子上截去9/10米，所以当绳子的长度小于1米而大于9/10米时，第一根绳子剩下的部分长。
这样的练习，加深了学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”的区别的认识，巩固了分数应用题的解题方法，培养了学生思维的深刻性，提高了全面分析、解决问题的能力。
二、运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性
多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。
如：甲乙两队合修一条长1500米的公路，20天完成，完工时甲队比乙队多修100米，乙队每天修35米，甲队每天修多少米？
这道题从不同的角度思考，得出了不同的解法：
1、先求出乙队20天修的，根据全长和乙队20天修的可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是：（1500-35×20）÷20
2、先求出乙队20天修的，根据乙队20天修的和甲队比乙队多修100米可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是：（35×20 100）÷20
3、可以先求出两队平均每天共修多少米，再求甲队每天修多少米。算式是：1500÷20-35
4、可以先求出甲队每天比乙队多修多少米，再求甲队每天修多少米。算式是：100÷20 35
5、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，然后求两队每天修的，再求甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷20÷2
6、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，然后求甲队20天修的，再求甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷2÷20
7、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，也就是甲队（20×2）天修的，由此可以求出甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷（20×2）
然后引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路最简捷。
这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力。
三、运用多余型开放题，培养学生思维品质的批判性
多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素，这就需要在解题时，认真分析条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性。
如：一根绳子长25米，第一次用去8米，第二次用去12米， 这根绳子比原来短了多少米？
由于受封闭式解题习惯的影响，学生往往会产生一种凡是题中出现的条件都要用上的思维定势，不对题目进行认真分析，错误地列式为：25-8-12或25-（8 12）。
做题时引导学生画图分析，使学生明白：要求这根绳子比原来短了多少米，实际上就是求两次一共用去多少米，这里25米是与解决问题无关的条件，正确的列式是：8 12.
通过引导分析这类题，可以防止学生滥用题中的条件，有利于培养学生思维的批判性，提高学生明辨是非、去伪存真的鉴别能力。
四、运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性
隐藏型开放题，是解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意容易遗漏。在解题时既要考虑问题及明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性。
如：做一个长8分米、宽5分米的面袋，至少需要白布多少平方米？
解答此题时，学生往往忽视了面袋有“两层”这个隐藏条件，错误地列式为：8×5，正确列式应为：8×5×2.
解此类题时要引导学生认真分析题意，找出题中的隐藏条件，使学生养成认真审题的良好习惯，培养学生思维的缜密性。
五、运用缺少型开放题，培养学生思维的灵活性
缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。
如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？
按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但根据题中所给条件，用小学的数学知识无法求出。换个角度来考虑：可以设所剪圆的半径为r，那么正方形的边长为2r，正方形的面积为（2r）2=4r2=12，r2=3，所以圆的面积是3.14×3=9.42（平方厘米）。
还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径为r，那么每个小正方形的面积为r2，原正方形的面积为4r2，r2=12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。
通过此类题的练习，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。
总之，解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索，且有些问题的答案是不确定的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参与的积极性，从而达到训练学生思维能力的目的。
一、运用不定型开放题，培养学生思维的深刻性
不定型开放题，所给条件包含着答案不唯一的因素，在解题的过程中，必须利用已有的知识，结合有关条件，从不同的角度对问题作全面分析，正确判断，得出结论，从而培养学生思维的深刻性。
比如在学习分数时，学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”往往混淆不清，以至于解题时在该知识点上出现错误，教师虽反复指出它们的区别，却难以收到理想的效果。在学习分数应用题后，让学生做这样一道习题：“有两根同样长的绳子，第一根截去9/10，第二根截去9/10米，哪一根绳子剩下的部分长？”此题出示后，有的学生说：“一样长。”有的学生说：“不一定。”我让学生讨论哪种说法对，为什么？学生纷纷发表意见，经过讨论，统一认识：“因为两根绳子的长度没有确定，第一根截去的长度就无法确定，所以哪一根绳子剩下的部分长也就无法确定，必须知道绳子原来的长度，才能确定哪根绳子剩下的部分长。”这时再让学生讨论：两根绳子剩下部分的长度有几种情况？经过充分的讨论，最后得出如下结论：①当绳子的长度是1米时，第一根的9/10等于9/10米，所以两根绳子剩下的部分一样长；②当绳子的长度大于1米时，第一根绳子的 9/10大于9/10米，所以第二根绳子剩下的长；③当绳子的长度小于1米时，第一根绳子的9/10小于9/10 米 ，由于绳子的长度小于9/10米时，就无法从第二根绳子上截去9/10米，所以当绳子的长度小于1米而大于9/10米时，第一根绳子剩下的部分长。
这样的练习，加深了学生对“分率”和“用分数表示的具体数量”的区别的认识，巩固了分数应用题的解题方法，培养了学生思维的深刻性，提高了全面分析、解决问题的能力。
二、运用多向型开放题，培养学生思维的广阔性
多向型开放题，对同一个问题可以有多种思考方向，使学生产生纵横联想，启发学生一题多解、一题多变、一题多思，训练学生的发散思维，培养学生思维的广阔性和灵活性。
如：甲乙两队合修一条长1500米的公路，20天完成，完工时甲队比乙队多修100米，乙队每天修35米，甲队每天修多少米？
这道题从不同的角度思考，得出了不同的解法：
1、先求出乙队20天修的，根据全长和乙队20天修的可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是：（1500-35×20）÷20
2、先求出乙队20天修的，根据乙队20天修的和甲队比乙队多修100米可以求出甲队20天修的，然后求甲队每天修的。算式是：（35×20 100）÷20
3、可以先求出两队平均每天共修多少米，再求甲队每天修多少米。算式是：1500÷20-35
4、可以先求出甲队每天比乙队多修多少米，再求甲队每天修多少米。算式是：100÷20 35
5、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，然后求两队每天修的，再求甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷20÷2
6、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，然后求甲队20天修的，再求甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷2÷20
7、假设乙队和甲队修的同样多，那么两队20天共修（1500 100）米，也就是甲队（20×2）天修的，由此可以求出甲队每天修的。算式是：（1500 100）÷（20×2）
然后引导学生比较哪种方法最简便，哪种思路最简捷。
这类题，可以给学生最大的思维空间，使学生从不同的角度分析问题，探究数量间的相互关系，并能从不同的解法中找出最简捷的方法，提高学生初步的逻辑思维能力。
三、运用多余型开放题，培养学生思维品质的批判性
多余型开放题，将题目中的有用条件和无用条件混在一起，产生干扰因素，这就需要在解题时，认真分析条件与问题的关系，充分利用有用条件，舍弃无用条件，学会排除干扰因素，提高学生的鉴别能力，从而培养学生思维的批判性。
如：一根绳子长25米，第一次用去8米，第二次用去12米， 这根绳子比原来短了多少米？
由于受封闭式解题习惯的影响，学生往往会产生一种凡是题中出现的条件都要用上的思维定势，不对题目进行认真分析，错误地列式为：25-8-12或25-（8 12）。
做题时引导学生画图分析，使学生明白：要求这根绳子比原来短了多少米，实际上就是求两次一共用去多少米，这里25米是与解决问题无关的条件，正确的列式是：8 12.
通过引导分析这类题，可以防止学生滥用题中的条件，有利于培养学生思维的批判性，提高学生明辨是非、去伪存真的鉴别能力。
四、运用隐藏型开放题，培养学生思维的缜密性
隐藏型开放题，是解题所需的某些条件隐藏在题目的背后，如不注意容易遗漏。在解题时既要考虑问题及明确的条件，又要考虑与问题有关的隐藏着的条件。这样有利于培养学生认真细致的审题习惯和思维的缜密性。
如：做一个长8分米、宽5分米的面袋，至少需要白布多少平方米？
解答此题时，学生往往忽视了面袋有“两层”这个隐藏条件，错误地列式为：8×5，正确列式应为：8×5×2.
解此类题时要引导学生认真分析题意，找出题中的隐藏条件，使学生养成认真审题的良好习惯，培养学生思维的缜密性。
五、运用缺少型开放题，培养学生思维的灵活性
缺少型开放题，按常规解法所给条件似乎不足，但如果换个角度去思考，便可得到解决。
如：在一个面积为12平方厘米的正方形内剪一个最大的圆，所剪圆的面积是多少平方厘米？
按常规的思考方法：要求圆的面积，需先求出圆的半径，根据题意，圆的半径就是正方形边长的一半，但根据题中所给条件，用小学的数学知识无法求出。换个角度来考虑：可以设所剪圆的半径为r，那么正方形的边长为2r，正方形的面积为（2r）2=4r2=12，r2=3，所以圆的面积是3.14×3=9.42（平方厘米）。
还可以这样想：把原正方形平均分成4个小正方形，每个小正方形的边长就是所剪圆的半径，设圆的半径为r，那么每个小正方形的面积为r2，原正方形的面积为4r2，r2=12÷4，所剪圆的面积是3.14×（12 ÷4）=9.42（平方厘米）。
通过此类题的练习，有利于培养学生思维的灵活性，提高灵活解题的能力。
总之，解答开放型习题，由于没有现成的解题模式，解题时往往需要从多个不同角度进行思考和深索，且有些问题的答案是不确定的，因而能激发学生丰富的想象力和强烈的好奇心，提高学生的学习兴趣，调动学生主动参与的积极性，从而达到训练学生思维能力的目的。