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摘 要：“开放性题”其不完备性、不确定性、发散性、创造性，有利于考查学生的探索能力、发散思维和创新意识，教师应注意多阅读、多收集、多积累有关数学开放性题的资料、信息，充分利用课本的习题，并将其改编成为开放性题，在平时教学中渗透开放性题，再进行开放性题的专题训练，较好地解决了这一难题，学生的探索能力、发散思维、创新能力也得到了提高。
关键词：开放性；发散思维；创新能力
由于数学开放性题是一种新题型，并且具有不完备性、不确定性、发散性、创造性。因此，它较以前的封闭题，综合性更强，知识的覆盖面更广，要求学生通过观察、比较、分析、联想、推理、判断等一系列的探究活动，才能得到结论，因此对学生的综合素质要求更高。刚接触数学开放性题，学生总是无从下手，特别是基础较差的学生，解答这类题目的时候更是无所适从。目前的教科书的习题主要是传统的封闭题，而新兴的数学开放性题对老师亦是一项新的挑战。
那么，在数学教学中，如何让学生掌握解答数学开放性题的有效方法呢？本人就此谈一点肤浅的体会与做法。
一、多阅读、多收集、多积累数学开放性题的资料、信息
数学开放性题是近几年才出现在中考数学试题的，是一种新题型，而我们所用的教材、辅导资料都是传统的封闭题，极少有这种类型题的练习，更不要说有系统的教学措施。因此，在平时广泛阅读关于数学方面的报刊、杂志，并借助网络，把有关数学开放性题的信息、习题进行摘录，再进行分类收集，还与有联系的封闭题进行比较，最后把这些题目进行变形，派生出新的开放性题。
二、充分利用课本的习题，改编成为数学开放性题
数学开放性题虽然是一种新题型，与传统的封闭题有很大的区别，但是可以通过对传统的封闭题改编成为数学开放性题，本人就是对课本的习题进行改编，来充实开放性题的教学。改编的方法有：
①给出结论，寻求结论成立的充分条件。例如，把“已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE”（人教版第二册《几何》第29页的例4）改为：已知，如图1，AB=AC，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE。请添加一个条件，并说明理由。
②弱化习题条件，使其结论多样化。例如，把“已知直线y=kx b经过点（9，10）和点（24，20），求k与b”（人教版第三册《代数》第110页的例2）改为：在直角坐标系内，有一点A（9，10）请写出经过点A的一次函数的解析式_______________。
在解答这类条件开放性题时，应由给定的结论出发，探索应具备怎样的条件才能使结论成立。它要求学生善于从所给的题目的结论、条件出发，逆向追索，逐步探寻。
③隐去习题的结论，使其指向多样化。例如，把“AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°求证：DC是⊙O的切线”（人教版第三册《几何》第107页的第2题）改为：如图2，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°由此可推出哪些正确的结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中）
④既定的条件下，探究结论的存在性。例如：如果竹篱笆的长是80米，能不能围成一个面积为500平方米的矩形养鸡场？并说明理由。（把第三册《代数》第43页B组第1题进行改编）
在解答这类结论开放性题时，一般由给定的已知条件探求相应的结论，首先应充分利用已知条件或图形的特征进行猜想，透彻分析在给定的条件下确定命题对象的结论是否存在，然后进行论证。
⑤既定的条件下，采用一题多解法。例如，已知：如图3，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。（人教版第二册《几何》第145页的第9题）
方法一：先证∠EAF=∠ECF，再证∠EAF=∠CFB，得AE∥FC，且AF∥EC可证得结论。
方法二：先证△ADE≌△CBF，再证CE=AF，且CE∥AF可证得结论。
方法三：先证△ADE≌△CBF，再证∠AEC=∠AFC，且∠EAF=∠ECF可证得结论。
方法四：先证△ADE≌△CBF，可得AE=CF，再证EC=AF可证得结论。
用一题多解法解题时，应从各条途径，多角度地思考问题，探索尽可能多的可行的方法。
⑥在给定的条件或关系，进行综合的探索。例如，把“求证：等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等。”（人教版第二册《几何》第79页的例4）改为：已知：如图4，△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于O，给出下列四组条件：（1）AB=AC（2）∠ABD=∠ACE（3）AE=AD（4）∠BEO=∠CDO，在这些条件中哪两个条件可以证得BO=CO（用序号写出所有的情形），并选其中一种情形写出证明过程。
在解答这种类型题时，要根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜想，寻求尽可能多的答案，然后对所得的答案进行认真筛选、推理、计算，最后确定满足题目要求的答案。
三、在平时教学中渗透数学开放性题的教学
因为解答数学开放性题要求学生要有较高的综合能力，而对一般的学生来讲，有很大的困难，所以在平时的教学中渗透开放性题的教学。使难点分散，学生容易接受，并把课本的习题改编成开放性题，然后穿插到平时的教学中去。在教学过程中通常采用下列方法：
①举例教学。例如，在讲解勾股数时，除了3、4、5，你们还可以举一些勾股数的例子吗？再如，在讲无理数时，请你写出五个无理数__________。
②一题多解教学。例如上面讲到的第二点中的第5小点的一题多解。
③变式教学。即在平时的教学中，讲完书本的例题或习题后，把条件进行删减、变形或隐去结论，让同学进行讨论。
例如，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP。（1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC；（2）AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC。（第二册《几何》第233页的例5）改为：已知（如图5）△ABC，点P是边AB上的一点，连结CP，满足__________条件时，△ACP∽△ABC。或者把此题变形为：已知△ABC，点P是AB边上一点，过点P（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
通过在平时的教学中渗透开放性题的教学，消除了同学们对这种题的恐惧心理，并且在平时的解题过程中，教会学生观察、分析、综合、类比、推理、归纳等思维方法，有利于培养学生的发散思维和创新能力。
四、开设数学开放性题的专题教学
把开放性题分散到平时的教学中，有利于消除学生的畏难情绪，分散难点，但缺乏系统性。而专题教学则具有条理性、针对性、巩固性、综合性和系统性。专题教学一般在一个阶段、期中或者期末进行，把以前学过的开放性题，以及再补充课外的习题分为条件开放性题、结论开放性题、策略开放性题、综合开放性题，进行系统的、有针对性的教学。
此外，在平时的教学中，可以要求学生查阅、收集新的开放性题，鼓励他们自改自编开放性题，这样促使学生主动参与，积极探索，既能增强他们学习数学的兴趣，又能培养他们思维的灵活性、缜密性和创造性。
（责任编辑：张华伟）
关键词：开放性；发散思维；创新能力
由于数学开放性题是一种新题型，并且具有不完备性、不确定性、发散性、创造性。因此，它较以前的封闭题，综合性更强，知识的覆盖面更广，要求学生通过观察、比较、分析、联想、推理、判断等一系列的探究活动，才能得到结论，因此对学生的综合素质要求更高。刚接触数学开放性题，学生总是无从下手，特别是基础较差的学生，解答这类题目的时候更是无所适从。目前的教科书的习题主要是传统的封闭题，而新兴的数学开放性题对老师亦是一项新的挑战。
那么，在数学教学中，如何让学生掌握解答数学开放性题的有效方法呢？本人就此谈一点肤浅的体会与做法。
一、多阅读、多收集、多积累数学开放性题的资料、信息
数学开放性题是近几年才出现在中考数学试题的，是一种新题型，而我们所用的教材、辅导资料都是传统的封闭题，极少有这种类型题的练习，更不要说有系统的教学措施。因此，在平时广泛阅读关于数学方面的报刊、杂志，并借助网络，把有关数学开放性题的信息、习题进行摘录，再进行分类收集，还与有联系的封闭题进行比较，最后把这些题目进行变形，派生出新的开放性题。
二、充分利用课本的习题，改编成为数学开放性题
数学开放性题虽然是一种新题型，与传统的封闭题有很大的区别，但是可以通过对传统的封闭题改编成为数学开放性题，本人就是对课本的习题进行改编，来充实开放性题的教学。改编的方法有：
①给出结论，寻求结论成立的充分条件。例如，把“已知：AB=AC，AD=AE，∠1=∠2。求证：△ABD≌△ACE”（人教版第二册《几何》第29页的例4）改为：已知，如图1，AB=AC，∠1=∠2，要使△ABD≌△ACE。请添加一个条件，并说明理由。
②弱化习题条件，使其结论多样化。例如，把“已知直线y=kx b经过点（9，10）和点（24，20），求k与b”（人教版第三册《代数》第110页的例2）改为：在直角坐标系内，有一点A（9，10）请写出经过点A的一次函数的解析式_______________。
在解答这类条件开放性题时，应由给定的结论出发，探索应具备怎样的条件才能使结论成立。它要求学生善于从所给的题目的结论、条件出发，逆向追索，逐步探寻。
③隐去习题的结论，使其指向多样化。例如，把“AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°求证：DC是⊙O的切线”（人教版第三册《几何》第107页的第2题）改为：如图2，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，BD=OB，点C在圆上，∠CAB=30°由此可推出哪些正确的结论？（要求：不再标注其他字母，找结论的过程中所连的辅助线不能出现在结论中）
④既定的条件下，探究结论的存在性。例如：如果竹篱笆的长是80米，能不能围成一个面积为500平方米的矩形养鸡场？并说明理由。（把第三册《代数》第43页B组第1题进行改编）
在解答这类结论开放性题时，一般由给定的已知条件探求相应的结论，首先应充分利用已知条件或图形的特征进行猜想，透彻分析在给定的条件下确定命题对象的结论是否存在，然后进行论证。
⑤既定的条件下，采用一题多解法。例如，已知：如图3，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形。（人教版第二册《几何》第145页的第9题）
方法一：先证∠EAF=∠ECF，再证∠EAF=∠CFB，得AE∥FC，且AF∥EC可证得结论。
方法二：先证△ADE≌△CBF，再证CE=AF，且CE∥AF可证得结论。
方法三：先证△ADE≌△CBF，再证∠AEC=∠AFC，且∠EAF=∠ECF可证得结论。
方法四：先证△ADE≌△CBF，可得AE=CF，再证EC=AF可证得结论。
用一题多解法解题时，应从各条途径，多角度地思考问题，探索尽可能多的可行的方法。
⑥在给定的条件或关系，进行综合的探索。例如，把“求证：等腰三角形两底角的平分线的交点到底边的两端点距离相等。”（人教版第二册《几何》第79页的例4）改为：已知：如图4，△ABC中，D、E分别是AC、AB边上的点，BD与CE相交于O，给出下列四组条件：（1）AB=AC（2）∠ABD=∠ACE（3）AE=AD（4）∠BEO=∠CDO，在这些条件中哪两个条件可以证得BO=CO（用序号写出所有的情形），并选其中一种情形写出证明过程。
在解答这种类型题时，要根据题目的条件或结论，利用所学过的知识，从多个角度去思考、分析，大胆猜想，寻求尽可能多的答案，然后对所得的答案进行认真筛选、推理、计算，最后确定满足题目要求的答案。
三、在平时教学中渗透数学开放性题的教学
因为解答数学开放性题要求学生要有较高的综合能力，而对一般的学生来讲，有很大的困难，所以在平时的教学中渗透开放性题的教学。使难点分散，学生容易接受，并把课本的习题改编成开放性题，然后穿插到平时的教学中去。在教学过程中通常采用下列方法：
①举例教学。例如，在讲解勾股数时，除了3、4、5，你们还可以举一些勾股数的例子吗？再如，在讲无理数时，请你写出五个无理数__________。
②一题多解教学。例如上面讲到的第二点中的第5小点的一题多解。
③变式教学。即在平时的教学中，讲完书本的例题或习题后，把条件进行删减、变形或隐去结论，让同学进行讨论。
例如，已知△ABC，P是边AB上的一点，连结CP。（1）∠ACP满足什么条件时，△ACP∽△ABC；（2）AC∶AP满足什么条件时，△ACP∽△ABC。（第二册《几何》第233页的例5）改为：已知（如图5）△ABC，点P是边AB上的一点，连结CP，满足__________条件时，△ACP∽△ABC。或者把此题变形为：已知△ABC，点P是AB边上一点，过点P（不与直线AB重合）截△ABC，使截得的三角形与原△ABC相似，满足这样条件的直线最多有（ ）
A.2条 B.3条 C.4条 D.5条
通过在平时的教学中渗透开放性题的教学，消除了同学们对这种题的恐惧心理，并且在平时的解题过程中，教会学生观察、分析、综合、类比、推理、归纳等思维方法，有利于培养学生的发散思维和创新能力。
四、开设数学开放性题的专题教学
把开放性题分散到平时的教学中，有利于消除学生的畏难情绪，分散难点，但缺乏系统性。而专题教学则具有条理性、针对性、巩固性、综合性和系统性。专题教学一般在一个阶段、期中或者期末进行，把以前学过的开放性题，以及再补充课外的习题分为条件开放性题、结论开放性题、策略开放性题、综合开放性题，进行系统的、有针对性的教学。
此外，在平时的教学中，可以要求学生查阅、收集新的开放性题，鼓励他们自改自编开放性题，这样促使学生主动参与，积极探索，既能增强他们学习数学的兴趣，又能培养他们思维的灵活性、缜密性和创造性。
（责任编辑：张华伟）