摘 要:本文主要对学生在解含参数的一元二次不等式时,所存在的困难进行了探讨,并就如何解含参数的一元二次不等式进行了详细的举例分析。
　　关键词:一元二次不等式 参数 解法
　　【中图分类号】 G633.6 【文献标识码】 C 【文章编号】1671-8437(2010)02-0101-01
　　
　　求解含参数的一元二次不等式,很多同学感到比较困难。知道在解题过程中要进行分类讨论,也进行了一些分类讨论,但与正确答案往往有较大差距,或漏掉部分解、或重复部分解、或出现完全错误的解答。整个解题过程无章可依,比较混乱。究其原因是对解含参数的一元二次不等式需要讨论什么?分类讨论的标准如何划分?如何进行讨论?这三个问题没有搞清楚,认识上的模糊导致解题过程中的混乱、错误。那么,究竟应该怎样解含参数的一元二次不等式呢?
　　我们知道一般的一元二次不等式ax2+bx+c≥0(或ax2+bx+c≤0)(a≠0)的解集与其对应的一元二次方程的解有密切的关系,而“△”对一元二次方程的解有决定性作用。因此在解一元二次不等式的过程中,需要对“△”进行判断。而含参数的一元二次不等式所对应的一元二次方程的“△”可能也含有参数。而参数取不同值时,“△”的符号发生变化,不等式的解的情况也随之变化,因此需要对“△”进行讨论。
　　一元二次不等式二次項系数如果含有参数,那么当a=0时,就不为一元二次不等式;当a≠0时,那么a的正负将决定解集的表达形式是在两根之外或两根之间,所以需要对二次项系数进行讨论。若二次项系数不含参数,则不需讨论。
　　含参数的一元二次不等式对应的一元二次方程如果有解,则它的根一般也含有参数,则参数对两根的大小会产生影响。而要正确写出一元二次不等式的解,必须搞清楚两根的大小。所以需要判断出两根的大小。
　　综上所述,要正确求解一元二次不等式,可能需要讨论二次项系数、“△”的符号,两根的大小。在解题过程中,一般按照“△”和二次项系数的零点对实数进行分段。从左向右逐段逐点讨论二次项系数、“△”的符号、两根的大小,写出不等式的解集, 这样既不会遗漏也不会重复不等式的解集。
　　例1.解关于x的不等式mx2+2x+1≥0 。
　　解:当m≠0时,△=4-4m,零点为1,
　　 二次项系数的零点为0。
　　△>0时,x1=,x2 =。
　　①当m<0时,△>0,x1>x2;
　　不等式的解集为{x|≤x≤}。
　　②当m=0时,原不等式变为2x+1≥0,解集为{x|x≥-}。
　　③当00,x2>x1;
　　不等式的解集为{x|x≤,或x≥}。
　　④当m=1时,原不等式变为x2+2x+1≥0,解集为R。
　　⑤当m>1时,△<0,解集为R。
　　点评:按二次项系数和“△”的零点进行分区间讨论,在每一区间内不等式有变化,△有变化,两根的大小有变化,根据每一区间内它们的具体情况写出不等式的解集。
　　例2.解关于x的不等式x2+mx+1≤0。
　　解:△=m2-4, 零点为 -2,2
　　△>0时,x1=,x2=。
　　①当m<-2时,△>0,解集为{x|≤x≤}。
　　②当m=-2时,原不等式变为x2-2x+1≤0,解集为{1}。
　　③当-2　　④当m=2时,原不等式变为x2+2x+1≤0,解集为{-1}。
　　⑤当m>2时,△>0,解集为{x|≤x≤}。
　　综上所述,当m<-2或m>2时,不等式的解集为{x|≤x≤};当m=-2时,解集为{-1};
　　当-2　　点评:此题中二次项系数为定值,两根x1,x2在△>0时,总有x1　　例3.解关于x的不等式x2-(a+1)x+a<0。
　　解:原不等式可化为(x-1)(x-a)<0,△=(a-1)2≥0,x1=a,x2=1。
　　①当a<1时,解集为{x|a　　②当a=1时,原不等式变为(x-1)2<0,解集为空集。
　　③当a>1时,解集为{x|1　　点评:此题中二次项系数和“△”不需要讨论,只考察两根的大小,写出解集即可。
　　巩固性练习:解关于x的不等式
　　1. (ax-1)(x-1)≤0;
　　2. mx2-(m2+1)x +m≥0;
　　3. (m+1)x2 -4x+1≤0 。
　　作者简介:宋稳尚,男,汉,陕西武功县人,武功县普集高中从事高中数学教学。