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[摘要]本文介绍了高等数学考试中单项选择题的三种解题方法和技巧，同时指出在解题时除了要掌握各种解题方法和技巧外，更要注意每种技巧方法的条件要求。
[关键词]直接法 排除法 特例法
高等数学考试中选择题一般是单项选择题。从目前情况看，学生在这部分得分率较低，分析其原因主要在于很多学生没有很好地掌握做选择题的解题方法和技巧。做单项选择题常用的解题方法有三种：一是直接验证某个选项正确，则其余选项必定不正确（不必验证），这种方法称为直接法。二是验证其中三个不正确，则剩余的一个必定是正确的（也不必验证），这种方法通常称为排除法。三是根据题干中的条件，选取特殊的对象找出正确选项，这种方法通常称为特例法。下面结合具体问题来说明如何利用这三种方法快速求解单项选择题。
一、直接法
说明：直接法就是利用题干中的条件直接验证某个选项正确，通常有两种途经：一种是利用题干中的条件直接计算或推演得出某个选项正确，这种方法通常称为推演法；另一种方法是借助于几何分析得出正确的选项，这种方法称为几何法。下面举例说明推演法和几何法的应用。
1.推演法
提示：若题目中备选答案为“数值”或某种运算率，或题干给出的某种运算形式时，常用推演法。
[例1]设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵13A2-1有一个特征值等于（）
（A）43（B）34（C）12（D）14
解：注意到13A2-1=
（A-1）2由于λ为A的特征值，则A-1有特征值1λ，于是3（A-1）2有一个特征值3（12）2=34故应选（B）
[例2]设f(x)为可导且以2为周期函数，满足f(+x)+2f(1-x)=3x+sin2x则曲线f(x)在x=3处的切线斜率为（）
（A）0；（B）1；（C）2；（D）-1
解：因为f(x)可导，所以f(x)连续，固有limx→［f(1+x)+2f(1-x)］=3f(1)，从而
[例3]若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)则必有()
(A)X与Y相互独立 (B)D(Y)=0 (C)X与Y不相关 (D)D(X)gD(Y)=0
解：
2.几何法
提示：该方法适用于：高等数学中已知函数图形特征（对称性、奇偶性、渐进性、单调性、凸凹性）或概率中两事件的概率关系（一般用文氏图分析）或已知概率分布密度函数图形特征的题目。利用几何法解选择题时，一定要对题目中所涉及概念的几何意义非常清楚。
[例4]若f(-x)=f(x),x∈（-∞，+∞），在（-∞，0）内f′（x）＞0且f″（x）＜0，则在（0，+∞）内（）
解：由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数，因此y=f(x)的图形关于y轴对称，而由在(-∞,0)内f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，在(0,+∞)内y=f(x)的图形是单增下凹的，因此在(0,+∞)内y=f(x)的图形是单减下凹的，故应选(C).
[例5]设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)则()
解：由于相互独立正态分布的随机变量的线形组合任服从正态分布，且X+Y:N(1,22),X-Y:N(-1,22)由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为12，因此正确选项为(B).
[例6]设随机变量ξ的密度函数是φ(x)，且φ(-x)=φ(x),F(X)是ξ的分布函数，则对任意实数a，有( )
解:由φ(-x)=φ(x)知, φ(x)为偶函数,其图形关于y轴对称,由几何意义可设F(-a)=S,则S1+S2=12,因此.
二、排除法
说明：该方法通常用于由题干中的条件，不易判断正确选项的选择题，尤其适用于抽象函数的命题。一般做法是通过适当的反例排除不正确的选项后，得到正确的结果。
[例7]设f(x)处处可导，则( )
[例8]向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关充分必要条件是（ ）
(A)其中每一个向量都是其余m-1个向量的线性组合;
(B)α1，α2，…，αm中至少有一个是零向量;
(C)α1，α2，…，αm中任意两个向量成比例;
(D)α1，α2，…，αm中存在一个向量可由其余m-1个向量线性表出.
解:若(A)成立,则α1，α2，…，αm线性相关。但反之，α1，α2，…，αm线性相关得不到每个向量都可由其余向量线性表出的结论。例如，α1=(1,0)T，α2=(0,1)T，α3=(1,0)T线性相关，因为α3可由线性表出：α3=α1+0α2但α2不能由α1,α3表出。故(A)只是α1,α2,…，α3（m≥2）线性相关的充分条件，但不是必要条件。
若（B）成立,则α1，0，…，αm线性相关。但反之，α1,α2，…，αm线性相关，并不一定包含零向量，如上例。故(B)也是充分条件，但不是必要条件。
若(C)成立,即任意两个向量成比例，得任意两个向量线性相关。设α1,α2线性相关，增加向量个数到α1，α2，…，αm仍然相关。反之，α1，α2，…，αm线性相关。如上例α1=(1,0)T，α2=(0,1)T，α3=(1,0)T线性相关。但α1,α2不成比例。
据向量组线性相关判别的充分必要条件，应选(D)
[例9]设两个函数f(x),g(x)都在x-a处取得极大值，则F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )
(A)必取得极大值；(B)必取得极小值；(C)不可能取极值；(D)是否取极值不能确定.
解：令f(x)=g(x)=0,x=0,
-1,x≠0.显然x=0是f(x),g(x)的极大值点，但F(x)=f(x)g(x)=0,X=0,
1,X≠0.可见x=0不是F(x)的极大值点，而是极小值点。故(A),(C)不对。令f(x)=g(x)=1,x=0,
0,x≠0.显然x=0是f(x),g(x)的极大值点，但F(x)=f(x)g(x)=1,x=0,
0,x≠0.可见x=0是F(x)的极大值点，(B)不对。故应选(D).
三、特例法
说明：该方法的适用范围与排除法类似，但选项中的结论无不确定的选项。此时对抽象对象构造符合题干条件的特殊例子，确定出正确的选项。
[例10]已知f(x)在x=0的某邻域内连续，且则在点x=0处f(x)( )
(A)不可导；(B)可导且f′(0)≠0；(C)取得极大值；(D)取得极小值.
解:由于当x→0时,1-cosx:x22,所以令f(x)=x2则f(x)符合条件。而f(x)在x=0处可导，f′(0)=0，取极小值，则正确选项为(D).
[例11]设A,B,A+B,A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于()
(A)A-1+B-1; (B)A+B; (C)A(A+B)-1B; (D)(A+B)-1.
解(1)：（常规解法）因为(A-1+B-1)-1=(A-1+B-1AA-1)-1=A(B-1B+B-1A)-1=A(A+B)-1B，故(C)正确。
解(2)：（特例法）取A=I,B=2I则(A-1+B-1)-1=23I直接计算应选(C).
参考文献：
[1]刘书田．高等数学[M]．北京：北京大学出版社, 2005．
[2]丁家泰．微积分解题方法[M]．北京师范大学出版社, 1981．
[3]华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社, 1997．
[4]同济大学．高等数学[M]．北京：高等教育出版社, 2001．
(作者单位：河南洛阳理工学院）
[关键词]直接法 排除法 特例法
高等数学考试中选择题一般是单项选择题。从目前情况看，学生在这部分得分率较低，分析其原因主要在于很多学生没有很好地掌握做选择题的解题方法和技巧。做单项选择题常用的解题方法有三种：一是直接验证某个选项正确，则其余选项必定不正确（不必验证），这种方法称为直接法。二是验证其中三个不正确，则剩余的一个必定是正确的（也不必验证），这种方法通常称为排除法。三是根据题干中的条件，选取特殊的对象找出正确选项，这种方法通常称为特例法。下面结合具体问题来说明如何利用这三种方法快速求解单项选择题。
一、直接法
说明：直接法就是利用题干中的条件直接验证某个选项正确，通常有两种途经：一种是利用题干中的条件直接计算或推演得出某个选项正确，这种方法通常称为推演法；另一种方法是借助于几何分析得出正确的选项，这种方法称为几何法。下面举例说明推演法和几何法的应用。
1.推演法
提示：若题目中备选答案为“数值”或某种运算率，或题干给出的某种运算形式时，常用推演法。
[例1]设λ=2是非奇异矩阵A的一个特征值，则矩阵13A2-1有一个特征值等于（）
（A）43（B）34（C）12（D）14
解：注意到13A2-1=
（A-1）2由于λ为A的特征值，则A-1有特征值1λ，于是3（A-1）2有一个特征值3（12）2=34故应选（B）
[例2]设f(x)为可导且以2为周期函数，满足f(+x)+2f(1-x)=3x+sin2x则曲线f(x)在x=3处的切线斜率为（）
（A）0；（B）1；（C）2；（D）-1
解：因为f(x)可导，所以f(x)连续，固有limx→［f(1+x)+2f(1-x)］=3f(1)，从而
[例3]若随机变量X与Y满足D(X+Y)=D(X-Y)则必有()
(A)X与Y相互独立 (B)D(Y)=0 (C)X与Y不相关 (D)D(X)gD(Y)=0
解：
2.几何法
提示：该方法适用于：高等数学中已知函数图形特征（对称性、奇偶性、渐进性、单调性、凸凹性）或概率中两事件的概率关系（一般用文氏图分析）或已知概率分布密度函数图形特征的题目。利用几何法解选择题时，一定要对题目中所涉及概念的几何意义非常清楚。
[例4]若f(-x)=f(x),x∈（-∞，+∞），在（-∞，0）内f′（x）＞0且f″（x）＜0，则在（0，+∞）内（）
解：由f(-x)=f(x)知，f(x)为偶函数，因此y=f(x)的图形关于y轴对称，而由在(-∞,0)内f′（x）＞0且f″（x）＜0可知，在(0,+∞)内y=f(x)的图形是单增下凹的，因此在(0,+∞)内y=f(x)的图形是单减下凹的，故应选(C).
[例5]设两个相互独立的随机变量X和Y分别服从正态分布N(0,1)和N(1,1)则()
解：由于相互独立正态分布的随机变量的线形组合任服从正态分布，且X+Y:N(1,22),X-Y:N(-1,22)由正态分布的几何意义知，正态分布的密度函数关于均值左右对称，则其小于均值的概率为12，因此正确选项为(B).
[例6]设随机变量ξ的密度函数是φ(x)，且φ(-x)=φ(x),F(X)是ξ的分布函数，则对任意实数a，有( )
解:由φ(-x)=φ(x)知, φ(x)为偶函数,其图形关于y轴对称,由几何意义可设F(-a)=S,则S1+S2=12,因此.
二、排除法
说明：该方法通常用于由题干中的条件，不易判断正确选项的选择题，尤其适用于抽象函数的命题。一般做法是通过适当的反例排除不正确的选项后，得到正确的结果。
[例7]设f(x)处处可导，则( )
[例8]向量组α1，α2，…，αm(m≥2)线性相关充分必要条件是（ ）
(A)其中每一个向量都是其余m-1个向量的线性组合;
(B)α1，α2，…，αm中至少有一个是零向量;
(C)α1，α2，…，αm中任意两个向量成比例;
(D)α1，α2，…，αm中存在一个向量可由其余m-1个向量线性表出.
解:若(A)成立,则α1，α2，…，αm线性相关。但反之，α1，α2，…，αm线性相关得不到每个向量都可由其余向量线性表出的结论。例如，α1=(1,0)T，α2=(0,1)T，α3=(1,0)T线性相关，因为α3可由线性表出：α3=α1+0α2但α2不能由α1,α3表出。故(A)只是α1,α2,…，α3（m≥2）线性相关的充分条件，但不是必要条件。
若（B）成立,则α1，0，…，αm线性相关。但反之，α1,α2，…，αm线性相关，并不一定包含零向量，如上例。故(B)也是充分条件，但不是必要条件。
若(C)成立,即任意两个向量成比例，得任意两个向量线性相关。设α1,α2线性相关，增加向量个数到α1，α2，…，αm仍然相关。反之，α1，α2，…，αm线性相关。如上例α1=(1,0)T，α2=(0,1)T，α3=(1,0)T线性相关。但α1,α2不成比例。
据向量组线性相关判别的充分必要条件，应选(D)
[例9]设两个函数f(x),g(x)都在x-a处取得极大值，则F(x)=f(x)g(x)在x=a处( )
(A)必取得极大值；(B)必取得极小值；(C)不可能取极值；(D)是否取极值不能确定.
解：令f(x)=g(x)=0,x=0,
-1,x≠0.显然x=0是f(x),g(x)的极大值点，但F(x)=f(x)g(x)=0,X=0,
1,X≠0.可见x=0不是F(x)的极大值点，而是极小值点。故(A),(C)不对。令f(x)=g(x)=1,x=0,
0,x≠0.显然x=0是f(x),g(x)的极大值点，但F(x)=f(x)g(x)=1,x=0,
0,x≠0.可见x=0是F(x)的极大值点，(B)不对。故应选(D).
三、特例法
说明：该方法的适用范围与排除法类似，但选项中的结论无不确定的选项。此时对抽象对象构造符合题干条件的特殊例子，确定出正确的选项。
[例10]已知f(x)在x=0的某邻域内连续，且则在点x=0处f(x)( )
(A)不可导；(B)可导且f′(0)≠0；(C)取得极大值；(D)取得极小值.
解:由于当x→0时,1-cosx:x22,所以令f(x)=x2则f(x)符合条件。而f(x)在x=0处可导，f′(0)=0，取极小值，则正确选项为(D).
[例11]设A,B,A+B,A-1+B-1均为n阶可逆矩阵，则(A-1+B-1)-1等于()
(A)A-1+B-1; (B)A+B; (C)A(A+B)-1B; (D)(A+B)-1.
解(1)：（常规解法）因为(A-1+B-1)-1=(A-1+B-1AA-1)-1=A(B-1B+B-1A)-1=A(A+B)-1B，故(C)正确。
解(2)：（特例法）取A=I,B=2I则(A-1+B-1)-1=23I直接计算应选(C).
参考文献：
[1]刘书田．高等数学[M]．北京：北京大学出版社, 2005．
[2]丁家泰．微积分解题方法[M]．北京师范大学出版社, 1981．
[3]华东师范大学数学系．数学分析[M]．高等教育出版社, 1997．
[4]同济大学．高等数学[M]．北京：高等教育出版社, 2001．
(作者单位：河南洛阳理工学院）