论文部分内容阅读
函数方程思想即函数与方程之间的转化思想，也就是将函数问题转化为方程的观点来解决，或者将方程问题转化为函数的思想来解决.这个思想方法既是全国各地高考命题的重点，又是热点，几乎每年高考数学试题中都会出现，因此，掌握好函数方程思想是十分必要的.
第一，常见如下三种类型的转化.
（1）若a>f（x）（a≥f（x））恒成立，则a>f（x）max（a≥f（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则a≥n）.
若a （2）设函数f（x）的定义域为D，若x1∈D，使a>f（x）（a≥f（x））成立，则a>f（x）min（或a≥f（x）min）（如果函数没有最小值，其值域是（m，n）则a>m）.
若x1∈D，使a （3）若方程a=f（x）有解，则a的取值范围为函数f（x）的值域.
第二，根据以上三点，有下列变式结论.
（1）若对x1，x2∈D，|f（x1）-f（x2）|≤a成立，则a≥f（x）max-f（x）max.
（2）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠.
（3）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.
（4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2∈D，使得f（x1）≤g（x2）f（x）max≤g（x）min.
（5）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2）f（x）min≥g（x）min.
例1已知集合P=x|12≤x≤2|，函数y=log2（ax2-2x 2）的定义域为Q.
（1）若P∩Q≠，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2（ax2-2x 2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围；
（3）若不等式log2（ax2-2x 2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意，不等式ax2-2x 2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x 2>0成立.
由ax2-2x 2>0，得a>-2（1x）2 2·1x.
∵x∈12，2，
∴1x∈12，2.
∴函数y=-2（1x）2 2·1x∈-4，12.
∴a>-4.
（2）由题意，方程a=2x 2x2在区间12，2内有解，令x 1=t，则x=t-1，t∈32，3；则a=2x 2x2=2t 1t-2.
令y=t 1t，则y′=1-1t2>0.
∴y=t 1t在区间32，3上是增函数.
∴2t 1t-2∈
32，12，即a∈32，12.
（3）由题意，a>2x 2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x 2x2∈32，12，所以a>12.
例2设函数f（x）=ax xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0，2]，使g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M.
解：由题意，M≤[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min即可.
∵g′（x）=3x2-2x=x（3x-2），
∴x∈（0，32）时，g′（x）<0，g（x）递减；x∈（23，2）时，g′（x）>0，g（x）递增.
∴g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=max{g（0），g（2）}=1.
∴g（x）max-g（x）min=11227.
即M≤11227，所以满足条件的最大整数M为4.
第一，常见如下三种类型的转化.
（1）若a>f（x）（a≥f（x））恒成立，则a>f（x）max（a≥f（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则a≥n）.
若a
若x1∈D，使a
第二，根据以上三点，有下列变式结论.
（1）若对x1，x2∈D，|f（x1）-f（x2）|≤a成立，则a≥f（x）max-f（x）max.
（2）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠.
（3）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.
（4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2∈D，使得f（x1）≤g（x2）f（x）max≤g（x）min.
（5）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2）f（x）min≥g（x）min.
例1已知集合P=x|12≤x≤2|，函数y=log2（ax2-2x 2）的定义域为Q.
（1）若P∩Q≠，求实数a的取值范围；
（2）若方程log2（ax2-2x 2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围；
（3）若不等式log2（ax2-2x 2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围.
解：（1）由题意，不等式ax2-2x 2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x 2>0成立.
由ax2-2x 2>0，得a>-2（1x）2 2·1x.
∵x∈12，2，
∴1x∈12，2.
∴函数y=-2（1x）2 2·1x∈-4，12.
∴a>-4.
（2）由题意，方程a=2x 2x2在区间12，2内有解，令x 1=t，则x=t-1，t∈32，3；则a=2x 2x2=2t 1t-2.
令y=t 1t，则y′=1-1t2>0.
∴y=t 1t在区间32，3上是增函数.
∴2t 1t-2∈
32，12，即a∈32，12.
（3）由题意，a>2x 2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x 2x2∈32，12，所以a>12.
例2设函数f（x）=ax xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0，2]，使g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M.
解：由题意，M≤[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min即可.
∵g′（x）=3x2-2x=x（3x-2），
∴x∈（0，32）时，g′（x）<0，g（x）递减；x∈（23，2）时，g′（x）>0，g（x）递增.
∴g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=max{g（0），g（2）}=1.
∴g（x）max-g（x）min=11227.
即M≤11227，所以满足条件的最大整数M为4.