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导读:函数、导数和不等式,在高考中占了不少比例,各种难度的试题都有,是复习的重中之重。遇到多变量问题不知如何下手时,试试赵绪昌老师文中的“主元法”;恒成立与存在性问题是常考的知识点,陈星春老师教你怎么做这类题;王勇老师介绍的不仅是一种特殊不等式,而且是解不等式问题时寻找思路的方法。
所谓主元法,就是在处理含有多个变量的数学问题时,选取其中一个变量作“主变量”,把其余各量视作“常量”,使之出现我们所熟悉的问题。下面举例说明这种方法在解题中的应用。
一、求值或化简
例1试求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根。
分析:依常规法,先求出方程的根x= ,再由此式讨论方程至少有一个整数根的条件,这是较为困难的,若把a视为主元,解法将会简单。
解:着眼a来考虑,原方程可变形为a=(1)
因a是正整数,所以a≥1,即 ≥1,整理得x2+12x-8≤0。解之,得-4≤x≤2。
又因x是整数根,从(1)式显然可见x≠-2。
因此x只能取-4、-3、-1、0、1、2。
将x的这些值分别代入(1)式,即得符合条件的正数a的值是1、3、6、10这四个数。
例2设m≠n,mn≠0,a>1,x=(a+ ) ,化简( + )2-4a2• 。
分析:按常规解法将x直接代入,将会使运算繁杂,根据此题的特点,可用x的关系式来表示a,这样相当简捷。
解:由已知条件,有a+ = ,从而a- = ,
∴a= ( + ),
则原式=( + )2-( + )2• =0。
二、分解因式
例3分解因式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+x2y-2xyz。
解:以x为主元,将此式整理成关于x的二次三项式进行分解。
原式=(y-z)x2+(y2+z2-2yz)x-y2z+z2 y
=(y-z)x2+(y-z)2x-yz(y-z)
=(y-z)[x2+(y-z)x-yz]
=(y-z)(x+y)(x-z)
三、解方程(组)
例4已知x、y的方程5x2-6xy+2y2-4x+2y+1=0,求其实数解。
解:将原方程整理成关于x的二次方程:
5x2-(6y+4)x+2y2+2y+1=0。
∵x、y是实数,
∴[-(6y+4)] 2-4×5(2y2+2y+1)=-4(y-1)2≥0。
而-4(y-1)2≤0,
∴y-1=0,
∴y=1,从而得x=1。
故原方程的实数解为x=1,y=1。
四、求参数的取值范围
例5若关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,求实数a的范围。
解:原方程化为a2-(x2+2x)a+x3-1=0,即(a-x+1)(a2-x2-x-1)=0,
∴x=a+1或x2+x+1-a=0。
∵ 原方程有且只有一个实根,
∴方程x2+x+1-a=0无实根。
由△=1-4(1-a)<0,得a< ,
∴所求的实数a的范围是a< 。
五、证明等式
例6如果a、b、c、d都是实数,且a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证b2=ac。
分析:由于待证式不含字母d,那么把原式整理成含d的一元二次方程,应用判别式便可解决。
证明:原式整理成含d的一元二次方程:(a2+b2)d2+2b(a+c)d+(b2+c2)=0,
∵d∈R,
当a2+b2≠0时,△=[2b(a+c)] 2-4(a2+b2)(b2+c2)=-4(b2-ac)2≥0,
但-4(b2-ac)2 ≤0,
∴(b2-ac)2=0, ∴ b2=ac,
当a2+b2=0时,a=b=0,b2=ac仍成立。
六、证明不等式
例7设x、y、z∈(-1,0),求证:x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)>-1。
证明:视x为主元,作关于x的一次函数:f(x)=(1+y+z)x+y(1+z)+z,x∈(-1,0)。
因f(-1)=yz-1>-1且f(0)=(1+y)(1+z)-1>-1,
故f(x)>-1。
七、求最值
例8求关于x的二次方程(a2+1)x2+ax-1=0的最大实根和最小实根。
解:原方程整理成关于a的二次方程:x2a2+xa+(x2-1)=0。
显然x=0时,方程左右两边不等,故x≠0,
又因为a为实数,故△≥0,
即x2-4x2(x2-1)≥0,(2x+ )(2x- )≤0,
解之,得- ≤x≤ 。
∴最大实根是 ,最小实根是- 。
责任编辑李婷婷
所谓主元法,就是在处理含有多个变量的数学问题时,选取其中一个变量作“主变量”,把其余各量视作“常量”,使之出现我们所熟悉的问题。下面举例说明这种方法在解题中的应用。
一、求值或化简
例1试求出所有这样的正整数a,使得二次方程ax2+2(2a-1)x+4(a-3)=0至少有一个整数根。
分析:依常规法,先求出方程的根x= ,再由此式讨论方程至少有一个整数根的条件,这是较为困难的,若把a视为主元,解法将会简单。
解:着眼a来考虑,原方程可变形为a=(1)
因a是正整数,所以a≥1,即 ≥1,整理得x2+12x-8≤0。解之,得-4≤x≤2。
又因x是整数根,从(1)式显然可见x≠-2。
因此x只能取-4、-3、-1、0、1、2。
将x的这些值分别代入(1)式,即得符合条件的正数a的值是1、3、6、10这四个数。
例2设m≠n,mn≠0,a>1,x=(a+ ) ,化简( + )2-4a2• 。
分析:按常规解法将x直接代入,将会使运算繁杂,根据此题的特点,可用x的关系式来表示a,这样相当简捷。
解:由已知条件,有a+ = ,从而a- = ,
∴a= ( + ),
则原式=( + )2-( + )2• =0。
二、分解因式
例3分解因式x2y-y2z+z2x-x2z+y2x+x2y-2xyz。
解:以x为主元,将此式整理成关于x的二次三项式进行分解。
原式=(y-z)x2+(y2+z2-2yz)x-y2z+z2 y
=(y-z)x2+(y-z)2x-yz(y-z)
=(y-z)[x2+(y-z)x-yz]
=(y-z)(x+y)(x-z)
三、解方程(组)
例4已知x、y的方程5x2-6xy+2y2-4x+2y+1=0,求其实数解。
解:将原方程整理成关于x的二次方程:
5x2-(6y+4)x+2y2+2y+1=0。
∵x、y是实数,
∴[-(6y+4)] 2-4×5(2y2+2y+1)=-4(y-1)2≥0。
而-4(y-1)2≤0,
∴y-1=0,
∴y=1,从而得x=1。
故原方程的实数解为x=1,y=1。
四、求参数的取值范围
例5若关于x的方程x3-ax2-2ax+a2-1=0有且只有一个实根,求实数a的范围。
解:原方程化为a2-(x2+2x)a+x3-1=0,即(a-x+1)(a2-x2-x-1)=0,
∴x=a+1或x2+x+1-a=0。
∵ 原方程有且只有一个实根,
∴方程x2+x+1-a=0无实根。
由△=1-4(1-a)<0,得a< ,
∴所求的实数a的范围是a< 。
五、证明等式
例6如果a、b、c、d都是实数,且a2d2+b2(d2+1)+c2+2b(a+c)d=0,求证b2=ac。
分析:由于待证式不含字母d,那么把原式整理成含d的一元二次方程,应用判别式便可解决。
证明:原式整理成含d的一元二次方程:(a2+b2)d2+2b(a+c)d+(b2+c2)=0,
∵d∈R,
当a2+b2≠0时,△=[2b(a+c)] 2-4(a2+b2)(b2+c2)=-4(b2-ac)2≥0,
但-4(b2-ac)2 ≤0,
∴(b2-ac)2=0, ∴ b2=ac,
当a2+b2=0时,a=b=0,b2=ac仍成立。
六、证明不等式
例7设x、y、z∈(-1,0),求证:x(1+y)+y(1+z)+z(1+x)>-1。
证明:视x为主元,作关于x的一次函数:f(x)=(1+y+z)x+y(1+z)+z,x∈(-1,0)。
因f(-1)=yz-1>-1且f(0)=(1+y)(1+z)-1>-1,
故f(x)>-1。
七、求最值
例8求关于x的二次方程(a2+1)x2+ax-1=0的最大实根和最小实根。
解:原方程整理成关于a的二次方程:x2a2+xa+(x2-1)=0。
显然x=0时,方程左右两边不等,故x≠0,
又因为a为实数,故△≥0,
即x2-4x2(x2-1)≥0,(2x+ )(2x- )≤0,
解之,得- ≤x≤ 。
∴最大实根是 ,最小实根是- 。
责任编辑李婷婷