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初中数学多解问题比较常见，不少学生由于概念模糊、审题不清或思维不够严密等原因而造成漏解，即使在中考试题中，此类问题的得分率也偏低。那么如何正确解决此类问题呢，本文试举几例，仅供参考。
一、 函数类漏解问题
（1）当x＜-2时，y的取值范围是；
（2）当y≥-1时，x的取值范围是 。
错解（1）∵k=2＞0
∴在每个象限内，y的值随着x的增大而减小
又∵当x=-2时，y=-1
∴当x＜-2时，y＞-1
（2）解法同（1），当y≥-1时，x≤-2
分析利用反比例函数的性质解题时，一定要弄清所在象限。（1）错在此时在第三象限内，忽略了y的值是负值；（2）错在忽略了第一象限内的点也符合题目要求。
正解（1）又∵此时x的变化范围在第三象限内
∴y＜0即：-1＜y＜0
（2）又∵第一象限内的点也符合题意
∴ x＞0
即：x≤-2或x＞0
错解∵抛物线与x轴有两个交点
分析根据二次函数的定义，m的取值需满足条件：①该函数是二次函数；②令y=0后一元二次方程的△＞0，本题错解原因为忽略了条件①。
正解△＞0且m-3≠0 ∴m＞0 且m-3≠0
练习
1、已知反比例函数的图象经过点（-2，1），当x＞2时，y的取值范围是。
二、 三角形中的漏解问题
例3如图1，a、b、c分别是三条公路，现欲在公路旁建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等。
错解如图2，在△MNP中，分别作∠PMN、∠PNM的内角平分丝，相交于点A，根据角平分线上的点到角的两边距离相等， 可得点A到三条公路的距离相等， ∴A点即加油站的位置。
分析由于思维定势，学生往往只从内角平分丝出发，而忽视外角平分线的情况。
正解如图3，在△MNP中，分别再作∠PMN、∠PNM、∠NPM的外角平分线，交于B、C、D三点，∴内、外角平分线的交点共有四个，即A、B、C、D四点都可以作为加油站的位置。
例4若等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则此等腰三角形的顶角为。
错解如图4，在Rt△ABD中，BD=2，可得∠A=30°
分析三角形的高可以在三角形内，也可以在三角形外。本题应分锐角三角形和鈍角三角形两种情况。
正解（1）如图4，高BD在△ABC内，∠A=30°；（2）如图5，高BD在△ABC外，∠A=150°，即：30°或150°
例5在直角三角形中，三边长分别为3、4、5则C= 。
分析这也是一种思维定势，“3、4、5”正好是一组勾股数，学生自然想到C是斜边，而忽略C是直角边，4是斜边的情况。
练习
1、在正方形ABCD所在平面内，到正方形三边所在直线的距离都相等的点有 个。
三、 圆中的漏解问题
例6已知△ABC内接于⊙O，则∠BAC=。
错解根据同弧所对的圆角是圆心角的一半，可得∠BAC=50°
分析这里应采用分类讨论的思想，分为点A与圆心O在弦BC的同侧和两侧来考虑。
正解（1）点A与圆心O在弦BC的同侧，∠BAC=50°；（2）点A与圆心O在弦BC的两侧，∠BAC=130°，即50°或130°
例7相交两圆的半径分别为4cm和5cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距为 cm。
练习：
1、已知圆的半径为10cm，它的内接梯形上、下底的边长分别是12cm和16cm，则梯形的高为 cm。
（答案：2cm或14cm）
2、一个点到圆上的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则此圆的面积为。
当然漏解问题还有许多，但要解决漏解问题，最重要的是在平时的学习过程中，首先要加强概念学习，重视知识的呈现过程；其次要培养良好的审题习惯，理解题意，抓住所有已知条件；最后学会运用分类讨论思想，突破思维定势，相信此类问题就可迎刃而解了。
（责任编辑 钱家庆）
“本文中所涉及到的图表、注解、公式等内容请以PDF格式阅读原文”
一、 函数类漏解问题
（1）当x＜-2时，y的取值范围是；
（2）当y≥-1时，x的取值范围是 。
错解（1）∵k=2＞0
∴在每个象限内，y的值随着x的增大而减小
又∵当x=-2时，y=-1
∴当x＜-2时，y＞-1
（2）解法同（1），当y≥-1时，x≤-2
分析利用反比例函数的性质解题时，一定要弄清所在象限。（1）错在此时在第三象限内，忽略了y的值是负值；（2）错在忽略了第一象限内的点也符合题目要求。
正解（1）又∵此时x的变化范围在第三象限内
∴y＜0即：-1＜y＜0
（2）又∵第一象限内的点也符合题意
∴ x＞0
即：x≤-2或x＞0
错解∵抛物线与x轴有两个交点
分析根据二次函数的定义，m的取值需满足条件：①该函数是二次函数；②令y=0后一元二次方程的△＞0，本题错解原因为忽略了条件①。
正解△＞0且m-3≠0 ∴m＞0 且m-3≠0
练习
1、已知反比例函数的图象经过点（-2，1），当x＞2时，y的取值范围是。
二、 三角形中的漏解问题
例3如图1，a、b、c分别是三条公路，现欲在公路旁建一加油站，使加油站到三条公路的距离相等。
错解如图2，在△MNP中，分别作∠PMN、∠PNM的内角平分丝，相交于点A，根据角平分线上的点到角的两边距离相等， 可得点A到三条公路的距离相等， ∴A点即加油站的位置。
分析由于思维定势，学生往往只从内角平分丝出发，而忽视外角平分线的情况。
正解如图3，在△MNP中，分别再作∠PMN、∠PNM、∠NPM的外角平分线，交于B、C、D三点，∴内、外角平分线的交点共有四个，即A、B、C、D四点都可以作为加油站的位置。
例4若等腰三角形的腰长为4cm，腰上的高为2cm，则此等腰三角形的顶角为。
错解如图4，在Rt△ABD中，BD=2，可得∠A=30°
分析三角形的高可以在三角形内，也可以在三角形外。本题应分锐角三角形和鈍角三角形两种情况。
正解（1）如图4，高BD在△ABC内，∠A=30°；（2）如图5，高BD在△ABC外，∠A=150°，即：30°或150°
例5在直角三角形中，三边长分别为3、4、5则C= 。
分析这也是一种思维定势，“3、4、5”正好是一组勾股数，学生自然想到C是斜边，而忽略C是直角边，4是斜边的情况。
练习
1、在正方形ABCD所在平面内，到正方形三边所在直线的距离都相等的点有 个。
三、 圆中的漏解问题
例6已知△ABC内接于⊙O，则∠BAC=。
错解根据同弧所对的圆角是圆心角的一半，可得∠BAC=50°
分析这里应采用分类讨论的思想，分为点A与圆心O在弦BC的同侧和两侧来考虑。
正解（1）点A与圆心O在弦BC的同侧，∠BAC=50°；（2）点A与圆心O在弦BC的两侧，∠BAC=130°，即50°或130°
例7相交两圆的半径分别为4cm和5cm，公共弦长为6cm，则两圆的圆心距为 cm。
练习：
1、已知圆的半径为10cm，它的内接梯形上、下底的边长分别是12cm和16cm，则梯形的高为 cm。
（答案：2cm或14cm）
2、一个点到圆上的最大距离为9cm，最小距离为4cm，则此圆的面积为。
当然漏解问题还有许多，但要解决漏解问题，最重要的是在平时的学习过程中，首先要加强概念学习，重视知识的呈现过程；其次要培养良好的审题习惯，理解题意，抓住所有已知条件；最后学会运用分类讨论思想，突破思维定势，相信此类问题就可迎刃而解了。
（责任编辑 钱家庆）
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