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[摘 要]用于计时仪器及某些精密仪表机构中的传动齿轮的齿形，又称仪表圆弧齿形、修正摆线齿形。在计时仪器中，采用钟表齿形已有很长历史。现代钟表齿形是由摆线齿形演变而来的。内摆线是一滚圆沿另一圆的圆周内面作纯滚动时，滚圆圆周上一点的运动轨迹。滚圆叫做摆线的生成圆，而另一圆叫做摆线的母圆。在摆线啮合中，母圆就是齿轮的分度圆。为了便于制造和改善传动性能，对理论摆线齿形做了一定的修正。最初是用近似理论摆线的圆弧，代替钟表中的轮片和龆轮齿顶部分的外摆线齿形。
[关键词]模数;摆线;齿廓;滚动
[中图分类号]TH132.41 [文献标志码]A [文章编号]2095–6487（2021）03–00–03
[Abstract]It is used for the tooth profile of transmission gears in timing instruments and some precision instruments. It is also called instrument arc tooth profile and modified cycloid tooth profile. It has a long history to use the tooth shape of clocks and watches in timing instruments. The tooth shape of modern clocks and watches is evolved from cycloid tooth shape. Hypocycloid is the motion track of a point on the circle of a rolling circle when a rolling circle rolls along the inner surface of the circle of another circle. A rolling circle is called the generating circle of a cycloid， and another circle is called the parent circle of a cycloid. In cycloid meshing， the mother circle is the indexing circle of the gear. In order to manufacture and improve the transmission performance， the theoretical cycloid profile has been modified. At first， the epicycloid tooth profile of the top part of the wheel and pinion in clocks and watches was replaced by the arc of the approximate theoretical cycloid.
[Keywords]modulus; cycloid; tooth profile; rolling
手表的齒轮传动系，特别是主传动系，广泛采用一种所谓的圆弧齿形。这种齿形是接线齿形演变而来的，因纯摆线齿形加工很难，故用圆弧来代替摆线，也叫修正摆线齿形，能使齿轴的最少齿数为6，从而在轮片齿数不太多的条件下取得大的传动比，这对减小机芯直径、对高频手表极为有利，传动效率高。由于齿形由相啮合的一对齿轮和模数所决定，因此齿数和模数不同，所使用的滚刀和铣刀也不同。修正摆线的齿轮特点是：齿轮的齿顶部分采用近似摆线的圆弧，齿腰部分则是与齿顶圆弧和齿根圆弧圆滑连接的径向线。
滚刀齿形设计的基本原理。根据啮合理论，两个啮合齿形的工作部分，在相对运动时，必须互相迂回。假定把齿轮当作一个基圆滚动，而且不在另一齿轮的节圆上滑动，那么齿轮齿面的各个相继位置便会在与另一齿轮相连的固定单面上形成一组平缓曲线。这组曲线的包络线也就是所求的齿轮的啮合面。因为：①包络线上的每一点也就是曲线组中的某一根曲线上的一点;②包络线上每一点也就是曲线组中两相邻曲线在无限接近时相切的极限位置。
当滚刀滚动时，其齿面在一个与滚切齿轮相连的固定平面内形成一组平缓曲线。这组曲线的包络线就是齿轮的啮合面，或者就是所滚切的齿轮齿形。相反的，齿轮齿形的一组曲线的包络线，即是滚刀的齿形。因此，要确定滚刀的齿形，首先应该找到所滚切齿轮齿形沿齿条节圆滚动而不发生齿轮节圆上的滑动时所作出的曲线上的包络线。事实上齿轮滚刀的设计，首先就是滚刀齿廓的设计。
如上所述，滚刀设计的基本原理是假定被滚切的轮片在节圆附近有一个假想的滚动圆（或节圆）沿着一根直线作无滑动的滚动，在这个滚动过程中，轮片在每一瞬时对滚动直线所在平面上的投影，形成了一组原始的包络线滚刀齿形，这组曲线就是被轮片投影而成的包络线，把这组包络线经过适当的修正，即成为所要求的滚刀齿形。
小模数齿轮滚刀齿形设计的图解计算法。图解计算法是在生产实际中应用较广泛的一种设计方法，也是一种最直观的设计方法，滚刀齿形的形成过程清楚，在设计过程中容易发现设计上的差错。齿形滚动的轨迹采用坐标计算，但滚刀包络线的图形采用图解法。
1 设计滚刀的原始参数的换算与验算
1.1 设计滚刀原始参数的换算
齿轮是产品设计时根据产品性能的需要设计的，因此在设计滚刀齿形时，必须满足齿轮的设计条件，同时要求已知轮片的如下参数：
Re齿顶圆半径;
R节圆半径;
Rc中心园半径;
Sn最大齿厚; Ri齿根圆半径;
ρ齿顶圆弧半径;
ρ1齿根圆弧半径;
Z齿数;
m模数。
轮片的齿形尺寸多数都用直径或半径表示，设计滚刀时，必须把这些尺寸换算成为直角坐标尺寸。
根据图1求出下列公式：角节距。
1.2 设计滚刀原始参数的验算
为了准确地反映原始齿形设计数据，防止有误，必须将换算后的A、B、H的数据经过验算，如果这些数据出了差错，以后的设计将要全部返工。验算方法如下所述：
由式（4）可见，如果公式两面恒等，说明A、B、H三个数据计算没有错误，等式两面的精确度最好相等至小数点第六位。
2 确定滚动圆半径
正确的选择滚动半径，将有利于滚刀的切削性能，所以齿轮的滚动半径R0一般取在节圆半径R以下，使滚刀的齿根圆弧等于齿轮的齿顶圆弧，以保证齿形精度，并便于滚刀齿根圆弧半径尺寸及其中心坐标的计算，这是图解计算法设计滚刀的一个特点。因此当节圆半径R大于中心园半径Rc时（轮片），滚动圆半径R0取在节圆R与中心圆半径Rc之间。
当节圆半径R等于中心圆半径Rc时（齿轴），滚动圆半径R0一般取在节圆R以下0.003～0.006 mm。
为了满足图解计算法设计滚刀的特点，使滚刀齿根圆弧半径等于齿轮齿根圆弧半径，以得到精度较高的齿顶曲线，由于这个原因滚动圆必须认真选取，才能满足这个要求。为此，必须将按上述原则选取的滚动圆半径R0的具体参数进行作图检验。检验方法如图2所示，齿轮沿滚动线X轴滚动了一个β角，则齿轮的齿顶圆弧中心点P1移动到的位置，新的齿形位置则如虚线所示，这时虚线齿形和实线齿形必须与X轴共同相交和重合于P3、P4两点，这个要求满足了，滚动圆半径R0就算选对了。齿形按滚动圆沿X轴滚动是用坐标法表示的。在齿形上选定M、N两个点，M点选在齿顶，N点选离M点距离等于一个齿高的Y轴线上。
3 计算齿轮最大啮合半角
钟表齿轮的齿形是一种摆线啮合齿形做了一些修正，而其内摆线一般均为径向线，所以齿轮对滚刀的最大啮合半角也就是运用了这个概念进行计算。
由于齿轮齿形的齿根由径向直线的内摆线所组成，所以齿轮和滚刀的啮合点轨迹必定在圆弧线CPE上面，最大啮合半角等于。
4 计算滚动坐标点
在计算机CAD软件界面，定出坐标系XO2Y，在齿轮齿形上定出两个坐标点M、N，使齿轮的滚动圆沿基齿条节线做无滑动的滚动，至各个位置时标出M、N点坐标。计算滚动坐标点的目的在于求得滚刀齿形齿顶的包络线，所以滚动坐标点计算至啮合半角以外1°～3°就够了，计算时以1°或2°作一个等分均可，视其所设计滚刀的精度而定，从开始至τ+1°～τ+3°止。
5 求滚刀齿顶包络曲线
首先將所换算的齿轮参数如齿根圆弧中心距A，齿顶圆弧中心距B，齿轮的齿根、齿顶圆弧半径圆心垂直距离H和齿轮齿顶圆弧半径ρ及齿根圆弧半径ρ1，如图3所示，绘制在计算机上，是齿轮齿形。
然后，使用计算机CAD软件将齿形制作成块模式，按照已分配好的角度1°或2°旋转齿形至τ+1°～τ+3°。这样，好像齿轮以假想的滚动圆沿滚刀节线滚动一样，结果得出了齿形各连续位置的公共包络线。即确定了滚刀刀齿的齿形曲线。
就是滚刀齿根曲线，曲线的中心坐标采用计算方法二获得。是滚刀齿顶包络曲线，这个曲线尚需做一些修正。
修正主要是为了考虑齿轮的齿根公差，修正后曲线代替了曲线。
修正的方法如图3所示：作一条直线平行于MN线，使的距离等于，等于的齿根公差，在的直线上找一个适当的中心点，作一个圆弧与二个点相交，即是最后所求得的滚刀齿形。
6 求滚刀包络线尺寸
用图解法将滚刀包络线作出以后，在滚刀的包络线上取相应的点的坐标（包络线上的点选取多少为适宜，要根据滚刀包络线的情况以及齿轮的精度要求等因素来决定），依据各相应的坐标点计算出包络线上的圆弧中心坐标及圆弧半径。
计算完毕将所求的数值作图进行验证，如若作图线段连接圆滑，则计算正确，反之，计算有误。
7 结论
（1）钟表滚刀齿形复杂，不能用一段圆弧代替，必须用两段以上圆弧代替滚刀的理论齿形。为减小代替误差，这几段代替曲线还必须圆滑相切。
（2）滚刀齿根部分齿廓，位于滚动节圆两侧。滚动圆以下部分齿廓，曲率均匀，近似工件的齿顶圆弧;滚动圆以上部分齿廓的曲率与滚动圆以下部分齿廓的曲率差别较大，近似于齿腰部分。
（3）滚刀齿腰部分齿廓与被加工齿轮的齿数有关，加工齿轮齿数较多的滚刀，齿腰部分齿廓的曲率很小，用直线代替更为适宜。加工齿轮齿数较少的滚刀，齿腰部分齿廓的曲率较大，而且在齿腰全部齿廓范围内曲率的变化较大，需用两段圆弧代替齿腰这一段理论齿形，才能使误差控制在允许的范围内。
（4）代用圆弧与代用圆弧或代用圆弧与代用直线的相切点，直接影响误差的大小。这个切点的最佳位置因每种滚刀齿形的不同而异，齿根代用圆弧与齿腰代用曲线的最佳切点大多在滚动节圆附近。
经分析和大量计算结果表明，当加工齿轮的齿数大于60时，滚刀的齿根与齿腰这两部分理论齿形，可用一段圆弧和与其平滑相切的直线来代替，切点应选择在最佳位置，此时代替齿形误差极小。如果被加工齿轮的齿数小于20时，需用三段圆弧来代替这两部分理论齿廓，滚刀代替齿形误差亦能控制在允许的范围之内。被加工齿轮的齿数在两者之间，则可用两段圆弧代替滚刀的理论齿廓。
对于除擒纵轮滚刀外的非标准钟表齿轮（如棘轮），运用此方法同样可做出相对应的滚刀。
参考文献
[1] 龚振起.精密仪器制造刀具[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987.
[2] 宋增平.刀具制造工艺[M].北京：机械工业出版社，1987.
[3] 张友仁.机械手表制造工艺学[M].北京：轻工业出版社，1984.
[关键词]模数;摆线;齿廓;滚动
[中图分类号]TH132.41 [文献标志码]A [文章编号]2095–6487（2021）03–00–03
[Abstract]It is used for the tooth profile of transmission gears in timing instruments and some precision instruments. It is also called instrument arc tooth profile and modified cycloid tooth profile. It has a long history to use the tooth shape of clocks and watches in timing instruments. The tooth shape of modern clocks and watches is evolved from cycloid tooth shape. Hypocycloid is the motion track of a point on the circle of a rolling circle when a rolling circle rolls along the inner surface of the circle of another circle. A rolling circle is called the generating circle of a cycloid， and another circle is called the parent circle of a cycloid. In cycloid meshing， the mother circle is the indexing circle of the gear. In order to manufacture and improve the transmission performance， the theoretical cycloid profile has been modified. At first， the epicycloid tooth profile of the top part of the wheel and pinion in clocks and watches was replaced by the arc of the approximate theoretical cycloid.
[Keywords]modulus; cycloid; tooth profile; rolling
手表的齒轮传动系，特别是主传动系，广泛采用一种所谓的圆弧齿形。这种齿形是接线齿形演变而来的，因纯摆线齿形加工很难，故用圆弧来代替摆线，也叫修正摆线齿形，能使齿轴的最少齿数为6，从而在轮片齿数不太多的条件下取得大的传动比，这对减小机芯直径、对高频手表极为有利，传动效率高。由于齿形由相啮合的一对齿轮和模数所决定，因此齿数和模数不同，所使用的滚刀和铣刀也不同。修正摆线的齿轮特点是：齿轮的齿顶部分采用近似摆线的圆弧，齿腰部分则是与齿顶圆弧和齿根圆弧圆滑连接的径向线。
滚刀齿形设计的基本原理。根据啮合理论，两个啮合齿形的工作部分，在相对运动时，必须互相迂回。假定把齿轮当作一个基圆滚动，而且不在另一齿轮的节圆上滑动，那么齿轮齿面的各个相继位置便会在与另一齿轮相连的固定单面上形成一组平缓曲线。这组曲线的包络线也就是所求的齿轮的啮合面。因为：①包络线上的每一点也就是曲线组中的某一根曲线上的一点;②包络线上每一点也就是曲线组中两相邻曲线在无限接近时相切的极限位置。
当滚刀滚动时，其齿面在一个与滚切齿轮相连的固定平面内形成一组平缓曲线。这组曲线的包络线就是齿轮的啮合面，或者就是所滚切的齿轮齿形。相反的，齿轮齿形的一组曲线的包络线，即是滚刀的齿形。因此，要确定滚刀的齿形，首先应该找到所滚切齿轮齿形沿齿条节圆滚动而不发生齿轮节圆上的滑动时所作出的曲线上的包络线。事实上齿轮滚刀的设计，首先就是滚刀齿廓的设计。
如上所述，滚刀设计的基本原理是假定被滚切的轮片在节圆附近有一个假想的滚动圆（或节圆）沿着一根直线作无滑动的滚动，在这个滚动过程中，轮片在每一瞬时对滚动直线所在平面上的投影，形成了一组原始的包络线滚刀齿形，这组曲线就是被轮片投影而成的包络线，把这组包络线经过适当的修正，即成为所要求的滚刀齿形。
小模数齿轮滚刀齿形设计的图解计算法。图解计算法是在生产实际中应用较广泛的一种设计方法，也是一种最直观的设计方法，滚刀齿形的形成过程清楚，在设计过程中容易发现设计上的差错。齿形滚动的轨迹采用坐标计算，但滚刀包络线的图形采用图解法。
1 设计滚刀的原始参数的换算与验算
1.1 设计滚刀原始参数的换算
齿轮是产品设计时根据产品性能的需要设计的，因此在设计滚刀齿形时，必须满足齿轮的设计条件，同时要求已知轮片的如下参数：
Re齿顶圆半径;
R节圆半径;
Rc中心园半径;
Sn最大齿厚; Ri齿根圆半径;
ρ齿顶圆弧半径;
ρ1齿根圆弧半径;
Z齿数;
m模数。
轮片的齿形尺寸多数都用直径或半径表示，设计滚刀时，必须把这些尺寸换算成为直角坐标尺寸。
根据图1求出下列公式：角节距。
1.2 设计滚刀原始参数的验算
为了准确地反映原始齿形设计数据，防止有误，必须将换算后的A、B、H的数据经过验算，如果这些数据出了差错，以后的设计将要全部返工。验算方法如下所述：
由式（4）可见，如果公式两面恒等，说明A、B、H三个数据计算没有错误，等式两面的精确度最好相等至小数点第六位。
2 确定滚动圆半径
正确的选择滚动半径，将有利于滚刀的切削性能，所以齿轮的滚动半径R0一般取在节圆半径R以下，使滚刀的齿根圆弧等于齿轮的齿顶圆弧，以保证齿形精度，并便于滚刀齿根圆弧半径尺寸及其中心坐标的计算，这是图解计算法设计滚刀的一个特点。因此当节圆半径R大于中心园半径Rc时（轮片），滚动圆半径R0取在节圆R与中心圆半径Rc之间。
当节圆半径R等于中心圆半径Rc时（齿轴），滚动圆半径R0一般取在节圆R以下0.003～0.006 mm。
为了满足图解计算法设计滚刀的特点，使滚刀齿根圆弧半径等于齿轮齿根圆弧半径，以得到精度较高的齿顶曲线，由于这个原因滚动圆必须认真选取，才能满足这个要求。为此，必须将按上述原则选取的滚动圆半径R0的具体参数进行作图检验。检验方法如图2所示，齿轮沿滚动线X轴滚动了一个β角，则齿轮的齿顶圆弧中心点P1移动到的位置，新的齿形位置则如虚线所示，这时虚线齿形和实线齿形必须与X轴共同相交和重合于P3、P4两点，这个要求满足了，滚动圆半径R0就算选对了。齿形按滚动圆沿X轴滚动是用坐标法表示的。在齿形上选定M、N两个点，M点选在齿顶，N点选离M点距离等于一个齿高的Y轴线上。
3 计算齿轮最大啮合半角
钟表齿轮的齿形是一种摆线啮合齿形做了一些修正，而其内摆线一般均为径向线，所以齿轮对滚刀的最大啮合半角也就是运用了这个概念进行计算。
由于齿轮齿形的齿根由径向直线的内摆线所组成，所以齿轮和滚刀的啮合点轨迹必定在圆弧线CPE上面，最大啮合半角等于。
4 计算滚动坐标点
在计算机CAD软件界面，定出坐标系XO2Y，在齿轮齿形上定出两个坐标点M、N，使齿轮的滚动圆沿基齿条节线做无滑动的滚动，至各个位置时标出M、N点坐标。计算滚动坐标点的目的在于求得滚刀齿形齿顶的包络线，所以滚动坐标点计算至啮合半角以外1°～3°就够了，计算时以1°或2°作一个等分均可，视其所设计滚刀的精度而定，从开始至τ+1°～τ+3°止。
5 求滚刀齿顶包络曲线
首先將所换算的齿轮参数如齿根圆弧中心距A，齿顶圆弧中心距B，齿轮的齿根、齿顶圆弧半径圆心垂直距离H和齿轮齿顶圆弧半径ρ及齿根圆弧半径ρ1，如图3所示，绘制在计算机上，是齿轮齿形。
然后，使用计算机CAD软件将齿形制作成块模式，按照已分配好的角度1°或2°旋转齿形至τ+1°～τ+3°。这样，好像齿轮以假想的滚动圆沿滚刀节线滚动一样，结果得出了齿形各连续位置的公共包络线。即确定了滚刀刀齿的齿形曲线。
就是滚刀齿根曲线，曲线的中心坐标采用计算方法二获得。是滚刀齿顶包络曲线，这个曲线尚需做一些修正。
修正主要是为了考虑齿轮的齿根公差，修正后曲线代替了曲线。
修正的方法如图3所示：作一条直线平行于MN线，使的距离等于，等于的齿根公差，在的直线上找一个适当的中心点，作一个圆弧与二个点相交，即是最后所求得的滚刀齿形。
6 求滚刀包络线尺寸
用图解法将滚刀包络线作出以后，在滚刀的包络线上取相应的点的坐标（包络线上的点选取多少为适宜，要根据滚刀包络线的情况以及齿轮的精度要求等因素来决定），依据各相应的坐标点计算出包络线上的圆弧中心坐标及圆弧半径。
计算完毕将所求的数值作图进行验证，如若作图线段连接圆滑，则计算正确，反之，计算有误。
7 结论
（1）钟表滚刀齿形复杂，不能用一段圆弧代替，必须用两段以上圆弧代替滚刀的理论齿形。为减小代替误差，这几段代替曲线还必须圆滑相切。
（2）滚刀齿根部分齿廓，位于滚动节圆两侧。滚动圆以下部分齿廓，曲率均匀，近似工件的齿顶圆弧;滚动圆以上部分齿廓的曲率与滚动圆以下部分齿廓的曲率差别较大，近似于齿腰部分。
（3）滚刀齿腰部分齿廓与被加工齿轮的齿数有关，加工齿轮齿数较多的滚刀，齿腰部分齿廓的曲率很小，用直线代替更为适宜。加工齿轮齿数较少的滚刀，齿腰部分齿廓的曲率较大，而且在齿腰全部齿廓范围内曲率的变化较大，需用两段圆弧代替齿腰这一段理论齿形，才能使误差控制在允许的范围内。
（4）代用圆弧与代用圆弧或代用圆弧与代用直线的相切点，直接影响误差的大小。这个切点的最佳位置因每种滚刀齿形的不同而异，齿根代用圆弧与齿腰代用曲线的最佳切点大多在滚动节圆附近。
经分析和大量计算结果表明，当加工齿轮的齿数大于60时，滚刀的齿根与齿腰这两部分理论齿形，可用一段圆弧和与其平滑相切的直线来代替，切点应选择在最佳位置，此时代替齿形误差极小。如果被加工齿轮的齿数小于20时，需用三段圆弧来代替这两部分理论齿廓，滚刀代替齿形误差亦能控制在允许的范围之内。被加工齿轮的齿数在两者之间，则可用两段圆弧代替滚刀的理论齿廓。
对于除擒纵轮滚刀外的非标准钟表齿轮（如棘轮），运用此方法同样可做出相对应的滚刀。
参考文献
[1] 龚振起.精密仪器制造刀具[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，1987.
[2] 宋增平.刀具制造工艺[M].北京：机械工业出版社，1987.
[3] 张友仁.机械手表制造工艺学[M].北京：轻工业出版社，1984.