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《数学课程标准》关于“数学思考”方面，有这样的要求：“……，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，……”
下面就“发展合情推理能力”展开一些探讨．
一、课例
请大家先看一个课例．这是人教实验版教材五年级下册《分数基本性质》的教学过程．
1． 动手操作，直观感知：学生用三张同样大小的正方形纸，通过对折，折出1/2、2/4、4/8，并用颜色笔把相应大小的区域涂色．
2． 观察讨论，研究发现：首先得到1/2=2/4=4/8，学生在教师的引导下又发现，从1/2到2/4，再到4/8，分子与分母都乘以2；而从4/8到2/4，再到1/2，分子分母同时除以2．
3． 概括抽象，得出结论：学生在教师引导下得出“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质．”
4． 深化理解，灵活运用.
5． 总结全课．
整个教学过程，我们都非常熟悉，因为我们大部分就是这样处理的．在整个教学过程中，教师充分调动学生的学习积极性，学生的投入程度也从另一个角度印证了教学的成功．
二、讨论
我们现在把整个教学过程再简化一下：
1． 通过各种活动，得到1/2=2/4=4/8，并且从1/2到2/4，再到4/8，分子与分母都乘以2．而从4/8到2/4，再到1/2，分子分母同时除以2．
2． 得到结论：学生在教师引导下得出“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变.
从以上的简化过程中，我们可知，整个教学过程，通过一个例子1/2=2/4=4/8，便得到了分数的基本性质．换句话说，就是一个实例，便推导出一个抽象的结论．
这样的结果，必然是没有说服力的，也就是我们的推理是不合情理的．
《数学课程标准》中关于课程目标的说法中，对于推理有如下的一句话：“发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.”“演绎推理”不属于本篇讨论内容，下面我们就“合情推理”结合本例进行一个讨论．
“合情推理”其实质就是归纳推理，这是创新思维的基础．归纳推理有完全归纳与不完全归纳．而“合情推理”更多地指向不完全归纳，即小学阶段的“不完全归纳”就表现为“合情推理”．即通过多个相应的实例，而归纳出一个结论，一个相对抽象的结论．请大家注意，这里指“多个”，只有“多个”实例，并且没有反例，才能说归纳出一个结果，这样的结果才算是“合理的结果”．像我们前面所看到的课堂实录一样，根据一个实例，抽象出一个结论，这个结论成立的可能性就值得怀疑．
在本课例中，通过一个例子1/2=2/4=4/8，便得到了分数的基本性质．很明显地，就是通过一个实例，便抽象出一个结论．可想而知，这个结论“分数的基本性质”是否成立很值得怀疑．
另一方面，由于结论是抽象的，或者说知识是抽象的，这样下来，一个例子与抽象的知识之间，就欠缺了联系．整节课的知识，就由老师硬灌给学生．这必然导致好的学生更好，不懂的学生更不懂．
以上的讨论，得出一个结论：本教学课例，违背了“合情推理”的逻辑要求．
三、思考
“合情推理”非常重要，它不仅是我们学习的要求，也是我们数学发展的重要思想，也是创新性思维的基础．我们知道，生活中，具有相同属性的事情，通过逐步归纳后，便被抽象为知识．例如牛顿，通过归纳苹果落到头上等一系列的事情，发现万有引力定律．翻开教材，我们也不难发现“合情推理”在小学数学教学的重要性．
以上种种，引发我们进一步思考：如何才能使推理更“合情”？
1． 明确课标要求，理解教材意图
《数学课程标准》在总体目标中，有以下的要求：“获得适应未来进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．”
而在“数学思考”分目标上则有：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．”
从以上的描述上，我们可以看到，课标明确地规定了对于数学思想方法在数学教学中的重要地位，也明确规定了合情推理的重要性．给发展合情推理指明了一条教学道路：通过多种活动，发展能力．
在教材层次，在“分数的基本性质”这一课的教材内容中，不难发现有这样的两句话：
“你还能举出几个这样的例子吗？”
“根据上面的例子，你能得到什么规律呢？”
这两句话的位置，正好在1/2=2/4=4/8这一例子与“分数基本性质”中间．
显然，在教材的安排里，就是通过一个实例，让学生寻找“这样的例子”，再通过这些例子，推理出“分数的基本性质”．整个过程，刚好是按照这样的思路进行安排：“从一个话题出发，引发同学对多个例子的共同属性的思考，通过同学们从多个例子，推理出一个结论．”
在教材中，我们不难找到以上的情况．比如，“长方形的面积”（三年级下册）这一课，在例题（话题）与结论“长方形的面积=长×宽”之间，有这样的一个安排：
“任取几个1平方厘米的正方形，拼成不同的长方形．边操作，边填表.”
这个活动的作用，与上面“你还能举出几个这样的例子吗？”这句话的作用大致一样：为推理出结论提供“合情”条件．
2． 提取推论的核心属性，围绕核心属性组织教学
推论的核心属性，指的是最核心的部分．
例如，在“分数的基本性质”这一课中， “一个分数的分子分母的变化与分数的大小之间的关系”就应该是我们的教学重点．
在整个教学过程中，我们围绕这个核心，通过以下几个问题的解决，完成我们的教学活动．
“通过折纸、涂色等数学活动，思考1/2、2/4与4/8这三个分数的大小关系.”
“通过观察、讨论等活动，研究1/2、2/4与4/8这三个分数中分子、分母的变化规律.”
“通过学生例证的活动，加深对分数分子分母的变化与分数的大小的关系的认识的同时，为推理的合情性打基础.”
“总结归纳：通过众多例子，归纳‘分数的基本性质’.”
综观以上的过程，我们是从一实例作为话题，探讨其变化过程，再通过多例，归纳总结规律．但无论哪一个步骤，我们的目的都是围绕规律的核心属性进行探讨．
3． 开展实践活动，重视形象思维
小学阶段的学生，其思维方式更倾向于形象思维，对于“复杂”的“规律”，学生是无法通过“抽象思维”进行推理而得到的．《数学课程标准》就有这样的理念：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上……向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学方法和方法，获得广泛的数学活动经验……”所以，我们应该提供一个学生熟悉的数学活动环境，让学生开展数学活动，帮助学生理解．
例如在《分数的基本性质》的教学中，我们安排了“折一折，涂一涂”这样的数学活动，在这些活动的基础上，再让孩子们观察，使得孩子们深刻地理解“1/2所表示的是一半，2/4表示的也是一半，4/8还是表示一半，它们三者之间的大小是一样的”．通过这样的活动，学生对1/2=2/4=4/8这样的结论就更清晰明确，头脑中很显然会留下一个图像．
又如在“学生举例”的环节，学生们根据自己的认识，举出了很多个“分子分母同时乘（除）同一个数，分数的大小不变”的“数形式”的例子，这样的例子相对于“分数的基本性质”却是更具形象性．学生们可以举出这样的例子，但并不一定能够得出“分数的基本性质”这一抽象的规律．而举例的活动，却使学生“无意”中一次又一次地接触了“分子分母同时乘（除）同一个数，分数的大小不变”的特征.
这样，对于学习“抽象的知识”打下形象思维基础的同时，也为学生举出自身例子，理解核心内容，进行正确的合情推理打下基础．
4． 重视学生举例，满足合情推理的逻辑要求，加深对结论的认识
从以上的讨论中，我们知道，要使“推理”合情，有一个必不可少的条件，那就是：结论的得出，应该基于多个实例．所以，要使教学符合逻辑，要使“规律”的得到是合情的，我们应该关注一个逻辑关系：由多个实例推理出结论．
那么，这些实例应该从何而来呢？答案是：最好是由学生举出相应的例子．
一方面，学生举例，会给我们举出很丰富的例子，由于学生的不同，举出的例子就会更多，正好满足我们合情推理的逻辑要求：“从多个实例中归纳出一个结论.”另一方面，学生通过举例，可以加深对有关规律的认识．例如学生要举出1/3=3/9这个例子，他（她）必须首先认识到1/2、2/4、4/8这三个分子分母之间的变化规律：分子分母同时乘以同一个数．这是一句话，但这句话比较抽象，学生可能还不能归纳出来，但心里早已有一个认识：“从1/3到3/9，分子分母都同时乘以3．”这就为我们下面的讨论、归纳活动提供了丰富的感性素材．
当然，为使得所有的学生都思考这个问题，我们可以采取“请同学们将所举的例子写在本子上”这样的方式来引导他们．此外，我们应该注意要把学生举出的例子写在黑板上，这样更利于充分调动起全体学生的学习积极性，也为合情推理创造很好的条件．
责任编辑罗峰
下面就“发展合情推理能力”展开一些探讨．
一、课例
请大家先看一个课例．这是人教实验版教材五年级下册《分数基本性质》的教学过程．
1． 动手操作，直观感知：学生用三张同样大小的正方形纸，通过对折，折出1/2、2/4、4/8，并用颜色笔把相应大小的区域涂色．
2． 观察讨论，研究发现：首先得到1/2=2/4=4/8，学生在教师的引导下又发现，从1/2到2/4，再到4/8，分子与分母都乘以2；而从4/8到2/4，再到1/2，分子分母同时除以2．
3． 概括抽象，得出结论：学生在教师引导下得出“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变，这叫做分数的基本性质．”
4． 深化理解，灵活运用.
5． 总结全课．
整个教学过程，我们都非常熟悉，因为我们大部分就是这样处理的．在整个教学过程中，教师充分调动学生的学习积极性，学生的投入程度也从另一个角度印证了教学的成功．
二、讨论
我们现在把整个教学过程再简化一下：
1． 通过各种活动，得到1/2=2/4=4/8，并且从1/2到2/4，再到4/8，分子与分母都乘以2．而从4/8到2/4，再到1/2，分子分母同时除以2．
2． 得到结论：学生在教师引导下得出“分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变.
从以上的简化过程中，我们可知，整个教学过程，通过一个例子1/2=2/4=4/8，便得到了分数的基本性质．换句话说，就是一个实例，便推导出一个抽象的结论．
这样的结果，必然是没有说服力的，也就是我们的推理是不合情理的．
《数学课程标准》中关于课程目标的说法中，对于推理有如下的一句话：“发展合情推理能力和初步的演绎推理能力.”“演绎推理”不属于本篇讨论内容，下面我们就“合情推理”结合本例进行一个讨论．
“合情推理”其实质就是归纳推理，这是创新思维的基础．归纳推理有完全归纳与不完全归纳．而“合情推理”更多地指向不完全归纳，即小学阶段的“不完全归纳”就表现为“合情推理”．即通过多个相应的实例，而归纳出一个结论，一个相对抽象的结论．请大家注意，这里指“多个”，只有“多个”实例，并且没有反例，才能说归纳出一个结果，这样的结果才算是“合理的结果”．像我们前面所看到的课堂实录一样，根据一个实例，抽象出一个结论，这个结论成立的可能性就值得怀疑．
在本课例中，通过一个例子1/2=2/4=4/8，便得到了分数的基本性质．很明显地，就是通过一个实例，便抽象出一个结论．可想而知，这个结论“分数的基本性质”是否成立很值得怀疑．
另一方面，由于结论是抽象的，或者说知识是抽象的，这样下来，一个例子与抽象的知识之间，就欠缺了联系．整节课的知识，就由老师硬灌给学生．这必然导致好的学生更好，不懂的学生更不懂．
以上的讨论，得出一个结论：本教学课例，违背了“合情推理”的逻辑要求．
三、思考
“合情推理”非常重要，它不仅是我们学习的要求，也是我们数学发展的重要思想，也是创新性思维的基础．我们知道，生活中，具有相同属性的事情，通过逐步归纳后，便被抽象为知识．例如牛顿，通过归纳苹果落到头上等一系列的事情，发现万有引力定律．翻开教材，我们也不难发现“合情推理”在小学数学教学的重要性．
以上种种，引发我们进一步思考：如何才能使推理更“合情”？
1． 明确课标要求，理解教材意图
《数学课程标准》在总体目标中，有以下的要求：“获得适应未来进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识．”
而在“数学思考”分目标上则有：“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．”
从以上的描述上，我们可以看到，课标明确地规定了对于数学思想方法在数学教学中的重要地位，也明确规定了合情推理的重要性．给发展合情推理指明了一条教学道路：通过多种活动，发展能力．
在教材层次，在“分数的基本性质”这一课的教材内容中，不难发现有这样的两句话：
“你还能举出几个这样的例子吗？”
“根据上面的例子，你能得到什么规律呢？”
这两句话的位置，正好在1/2=2/4=4/8这一例子与“分数基本性质”中间．
显然，在教材的安排里，就是通过一个实例，让学生寻找“这样的例子”，再通过这些例子，推理出“分数的基本性质”．整个过程，刚好是按照这样的思路进行安排：“从一个话题出发，引发同学对多个例子的共同属性的思考，通过同学们从多个例子，推理出一个结论．”
在教材中，我们不难找到以上的情况．比如，“长方形的面积”（三年级下册）这一课，在例题（话题）与结论“长方形的面积=长×宽”之间，有这样的一个安排：
“任取几个1平方厘米的正方形，拼成不同的长方形．边操作，边填表.”
这个活动的作用，与上面“你还能举出几个这样的例子吗？”这句话的作用大致一样：为推理出结论提供“合情”条件．
2． 提取推论的核心属性，围绕核心属性组织教学
推论的核心属性，指的是最核心的部分．
例如，在“分数的基本性质”这一课中， “一个分数的分子分母的变化与分数的大小之间的关系”就应该是我们的教学重点．
在整个教学过程中，我们围绕这个核心，通过以下几个问题的解决，完成我们的教学活动．
“通过折纸、涂色等数学活动，思考1/2、2/4与4/8这三个分数的大小关系.”
“通过观察、讨论等活动，研究1/2、2/4与4/8这三个分数中分子、分母的变化规律.”
“通过学生例证的活动，加深对分数分子分母的变化与分数的大小的关系的认识的同时，为推理的合情性打基础.”
“总结归纳：通过众多例子，归纳‘分数的基本性质’.”
综观以上的过程，我们是从一实例作为话题，探讨其变化过程，再通过多例，归纳总结规律．但无论哪一个步骤，我们的目的都是围绕规律的核心属性进行探讨．
3． 开展实践活动，重视形象思维
小学阶段的学生，其思维方式更倾向于形象思维，对于“复杂”的“规律”，学生是无法通过“抽象思维”进行推理而得到的．《数学课程标准》就有这样的理念：“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上……向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学方法和方法，获得广泛的数学活动经验……”所以，我们应该提供一个学生熟悉的数学活动环境，让学生开展数学活动，帮助学生理解．
例如在《分数的基本性质》的教学中，我们安排了“折一折，涂一涂”这样的数学活动，在这些活动的基础上，再让孩子们观察，使得孩子们深刻地理解“1/2所表示的是一半，2/4表示的也是一半，4/8还是表示一半，它们三者之间的大小是一样的”．通过这样的活动，学生对1/2=2/4=4/8这样的结论就更清晰明确，头脑中很显然会留下一个图像．
又如在“学生举例”的环节，学生们根据自己的认识，举出了很多个“分子分母同时乘（除）同一个数，分数的大小不变”的“数形式”的例子，这样的例子相对于“分数的基本性质”却是更具形象性．学生们可以举出这样的例子，但并不一定能够得出“分数的基本性质”这一抽象的规律．而举例的活动，却使学生“无意”中一次又一次地接触了“分子分母同时乘（除）同一个数，分数的大小不变”的特征.
这样，对于学习“抽象的知识”打下形象思维基础的同时，也为学生举出自身例子，理解核心内容，进行正确的合情推理打下基础．
4． 重视学生举例，满足合情推理的逻辑要求，加深对结论的认识
从以上的讨论中，我们知道，要使“推理”合情，有一个必不可少的条件，那就是：结论的得出，应该基于多个实例．所以，要使教学符合逻辑，要使“规律”的得到是合情的，我们应该关注一个逻辑关系：由多个实例推理出结论．
那么，这些实例应该从何而来呢？答案是：最好是由学生举出相应的例子．
一方面，学生举例，会给我们举出很丰富的例子，由于学生的不同，举出的例子就会更多，正好满足我们合情推理的逻辑要求：“从多个实例中归纳出一个结论.”另一方面，学生通过举例，可以加深对有关规律的认识．例如学生要举出1/3=3/9这个例子，他（她）必须首先认识到1/2、2/4、4/8这三个分子分母之间的变化规律：分子分母同时乘以同一个数．这是一句话，但这句话比较抽象，学生可能还不能归纳出来，但心里早已有一个认识：“从1/3到3/9，分子分母都同时乘以3．”这就为我们下面的讨论、归纳活动提供了丰富的感性素材．
当然，为使得所有的学生都思考这个问题，我们可以采取“请同学们将所举的例子写在本子上”这样的方式来引导他们．此外，我们应该注意要把学生举出的例子写在黑板上，这样更利于充分调动起全体学生的学习积极性，也为合情推理创造很好的条件．
责任编辑罗峰