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在高考解几试题中，有一类关于直（曲）线与曲线的相交的位置关系问题，在这类问题中，我们可以把同一个对象用两种不同的方法进行表征，即将同一个对象“算两次”，从而达到解决问题的目的，下面通过几例以示说明：
一、同一个三角形“算两次”
例1（2014年湖北卷）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A. 433B. 233C. 3D. 2
解析：设|F1F2|=2c，椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，在△F1PF2中，由椭圆的定义得|PF1| |PF2|=2a1，由双曲线的定义不妨设|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1 a2，由正弦定理易得|PF1||F1F2|=sin∠PF2F1sin∠F1PF2，所以椭圆与双曲线的离心率的倒数和a1c a2c=2|PF1||F1F2|=4sin∠PF2F13≤433，故选A.
评注：本题将焦点三角形PF1F2分别应用椭圆和双曲线的定义，围绕该图形各自计算，获得方程后，再解出PF1、PF2，实际上是对同一个三角形的“算两次”.
二、同一条线段“算两次”
例2（2014年江西卷）设椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1、F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
解析：容易求得A（c，b2a），所以|AB|=2b2a，
又在△F1F2B中，由于OD∥BF2，其中O为坐标原点，∴D为F1B的中点，且AD⊥F1B，所以|AF1|=|AB|，又|AF1|=|BF1|，所以△F1AB为正三角形，
所以|AB|=|AB| |AF1| |BF1|3=4a3，所以2b2a=4a3，∴（ba）2=23，故椭圆C的离心率为e=ca=1-（ba）2=33，故应填33.
评析：对于线段|AB|，既可看作是三角形的一边，也可看作是椭圆C的弦，解题时，一边解三角形，一边求弦长，等式便水到渠成.
三、同一个点的坐标“算两次”
例3（2014年浙江卷）设直线x-3y m=0（m≠0）与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）两条渐近线分别交于点A、B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.
解析：由x-3y m=0bx ay=0解得xA=-ama 3b，
由x-3y m=0bx-ay=0解得xB=-ama-3b，
由x-3y m=0y=-3（x-m）解得x=4m5，则4m5为AB中点的横坐标.
所以8m5=-ama 3b -ama-3b，化简得a2=4b2，所以，双曲线的离心率为1 （ba）2=52，故填52.
评析：线段AB的中点也是直线与直线的交点，因该点具有二重性，从而为其坐标提供了两种不同的算法，因而也就寻得了解决问题的突破口.
四、同一条直线的斜率“算两次”
例4（2014年四川卷）已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P、Q，求证：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.
解析：（1）容易求得椭圆C的标准方程为x26 y22=1.
（2）设直线PQ的方程为x=ty-2，则kFT=-t，所以T（-3，t），则kOT=-t3，
由x=ty-2x26 y22=1得（t2 3）y2-4ty-2=0，则易得PQ中点S的坐标为（-6t2 3，2tt2 3），所以kOS=-t3.
所以O、S、T三点共线，即OT平分线段PQ.
评注：三点共线问题，通过其中任两点均可确定直线的斜率，因而可选择对直线的斜率进行“算两次”，达到解题之目的.
由上可见，在解几试题中，常常可将一个量置于两种不同的背景中分别计算，从而获得方程.通过这种“算两次”的思想方法去解决问题，不仅能沟通数学知识与方法的内在联系，有效检测同学们思维的发散性与聚合性，而且对培养同学们的创新意识也大有裨益，值得我们重视.
（上接第68页）
所以CD=12（CA CB）.（1）
由DP=λPC，DP PC=（1 λ）PC，CD=CP PD=（1 λ）CP.（2）
同理由AE=λ1EC，得CA=（1 λ1）CE，（3）
BF=λ2FC，得CB=（1 λ2）CF.（4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得
CP=12（1 λ）[（1 λ1）CE （1 λ2）CF].
因为E、P、F三点共线，所以1 λ12（1 λ） 1 λ22（1 λ）=1，
再由λ1 λ2=1，解之得λ=12.
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心.
所以，x=1-1 x03，y=2 0 y03.
解得x0=3x，y0=3y-2，代入y20=4x0得，（3y-2）2=12x.
由于x0≠1，故x≠3.
所求轨迹方程为（3y-2）2=12x（x≠3）.
一、同一个三角形“算两次”
例1（2014年湖北卷）已知F1、F2是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且∠F1PF2=π3，则椭圆与双曲线的离心率的倒数之和的最大值为（）
A. 433B. 233C. 3D. 2
解析：设|F1F2|=2c，椭圆的长轴长为2a1，双曲线的实轴长为2a2，在△F1PF2中，由椭圆的定义得|PF1| |PF2|=2a1，由双曲线的定义不妨设|PF1|-|PF2|=2a2，所以|PF1|=a1 a2，由正弦定理易得|PF1||F1F2|=sin∠PF2F1sin∠F1PF2，所以椭圆与双曲线的离心率的倒数和a1c a2c=2|PF1||F1F2|=4sin∠PF2F13≤433，故选A.
评注：本题将焦点三角形PF1F2分别应用椭圆和双曲线的定义，围绕该图形各自计算，获得方程后，再解出PF1、PF2，实际上是对同一个三角形的“算两次”.
二、同一条线段“算两次”
例2（2014年江西卷）设椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的左右焦点为F1、F2，过F2作x轴的垂线与C相交于A、B两点，F1B与y轴交于点D，若AD⊥F1B，则椭圆C的离心率等于.
解析：容易求得A（c，b2a），所以|AB|=2b2a，
又在△F1F2B中，由于OD∥BF2，其中O为坐标原点，∴D为F1B的中点，且AD⊥F1B，所以|AF1|=|AB|，又|AF1|=|BF1|，所以△F1AB为正三角形，
所以|AB|=|AB| |AF1| |BF1|3=4a3，所以2b2a=4a3，∴（ba）2=23，故椭圆C的离心率为e=ca=1-（ba）2=33，故应填33.
评析：对于线段|AB|，既可看作是三角形的一边，也可看作是椭圆C的弦，解题时，一边解三角形，一边求弦长，等式便水到渠成.
三、同一个点的坐标“算两次”
例3（2014年浙江卷）设直线x-3y m=0（m≠0）与双曲线x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）两条渐近线分别交于点A、B，若点P（m，0）满足|PA|=|PB|，则该双曲线的离心率是.
解析：由x-3y m=0bx ay=0解得xA=-ama 3b，
由x-3y m=0bx-ay=0解得xB=-ama-3b，
由x-3y m=0y=-3（x-m）解得x=4m5，则4m5为AB中点的横坐标.
所以8m5=-ama 3b -ama-3b，化简得a2=4b2，所以，双曲线的离心率为1 （ba）2=52，故填52.
评析：线段AB的中点也是直线与直线的交点，因该点具有二重性，从而为其坐标提供了两种不同的算法，因而也就寻得了解决问题的突破口.
四、同一条直线的斜率“算两次”
例4（2014年四川卷）已知椭圆C：x2a2 y2b2=1（a>b>0）的焦距为4，其短轴的两个端点与长轴的一个端点构成正三角形.
（1）求椭圆C的标准方程；
（2）设F为椭圆C的左焦点，T为直线x=-3上任意一点，过F作TF的垂线交椭圆C于P、Q，求证：OT平分线段PQ（其中O为坐标原点）.
解析：（1）容易求得椭圆C的标准方程为x26 y22=1.
（2）设直线PQ的方程为x=ty-2，则kFT=-t，所以T（-3，t），则kOT=-t3，
由x=ty-2x26 y22=1得（t2 3）y2-4ty-2=0，则易得PQ中点S的坐标为（-6t2 3，2tt2 3），所以kOS=-t3.
所以O、S、T三点共线，即OT平分线段PQ.
评注：三点共线问题，通过其中任两点均可确定直线的斜率，因而可选择对直线的斜率进行“算两次”，达到解题之目的.
由上可见，在解几试题中，常常可将一个量置于两种不同的背景中分别计算，从而获得方程.通过这种“算两次”的思想方法去解决问题，不仅能沟通数学知识与方法的内在联系，有效检测同学们思维的发散性与聚合性，而且对培养同学们的创新意识也大有裨益，值得我们重视.
（上接第68页）
所以CD=12（CA CB）.（1）
由DP=λPC，DP PC=（1 λ）PC，CD=CP PD=（1 λ）CP.（2）
同理由AE=λ1EC，得CA=（1 λ1）CE，（3）
BF=λ2FC，得CB=（1 λ2）CF.（4）
将（2）、（3）、（4）式代入（1）得
CP=12（1 λ）[（1 λ1）CE （1 λ2）CF].
因为E、P、F三点共线，所以1 λ12（1 λ） 1 λ22（1 λ）=1，
再由λ1 λ2=1，解之得λ=12.
（2）由（1）得CP=2PD，D是AB的中点，所以点P为△ABC的重心.
所以，x=1-1 x03，y=2 0 y03.
解得x0=3x，y0=3y-2，代入y20=4x0得，（3y-2）2=12x.
由于x0≠1，故x≠3.
所求轨迹方程为（3y-2）2=12x（x≠3）.