一、 问题的提出：
　　几何概型问题灵活性大,趣味性强,是激发学生学习兴趣的好素材.在教学中碰到如下一道习题:设圆上的点是等可能分布的,作圆内接△ABC,求△ABC是锐角三角形的概率.
　　此题存在一种有趣的悖论性解法.设A、B为圆上两定点，过A、B两点作两条直径，圆被两直径分成四部分，要使△ABC是锐角三角形，则C点只能在优弧AB所对的弧上.如图1所示，当A、B两点无限接近时,那么三个点构成锐角三角形的概率为0；当两直径互相垂直时, 那么三个点构成锐角三角形的概率为14；当A、B两点几乎成直径时,那么三个点构成锐角三角形的概率为12.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P∈0,12.我们知道几何概型是建立在以测度论为基础概率模型,它的求解可以转化到与长度、面积、体积等相关的测度之比,所以概率P为定值而非范围图1.
　　二、 问题的解决：
　　解法一:如图1,不妨设圆的半径为1,A、B、C三点分圆O所成的三段弧长分别为x,y,2π-(x+y),试验的全部结果为Ω,能构成锐角三角形的所有试验结果为A,则有
　　Ω:0　　0　　0<2π-x-y<2π 即
　　0　　0　　0　　A:0　　0　　0<2π-x-y<π即
　　0　　0　　π　　如图2,P=S(A)S(Ω)=14,故圆内接△ABC是锐角三角形的概率为14.
　　图2
　　解法二:为了简便起见, 不妨设分圆O所成的三段弧中2π-(x+y)最长,则试验的全部结果Ω:
　　图3
　　2π-(x+y)>x
　　2π-(x+y)>y
　　0<2π-(x+y)<2π
　　即2x+y<2π
　　x+2y<2π
　　0　　2π-(x+y)>x
　　2π-(x+y)>y
　　0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π
　　x+2y<2π
　　π　　它所表示的区域是△MPN内部且S△MPN=π26.故圆内接△ABC是锐角三角形的概率P=S(A)S(Ω)=S△MPNS四边形OMPN=14.
　　三、 问题的引申：
　　对这个问题作进一步探究,我们还可以求出△ABC为钝角三角形及△ABC为直角三角形的概率.
　　若△ABC是钝角三角形,则试验结果A′:2π-(x+y)>x
　　2π-(x+y)>y
　　0<2π-(x+y)<π即2x+y<2π
　　x+2y<2π
　　π　　四、 问题的变化：
　　对原题稍加改变,就能得到一道具有相似背景的变题:有一段长为L的木棍,随机截成三段(如图4),求三段长可以构成三角形的概率.
　　图4
　　圆上任意三点都可以构成三角形,但此题中随机截成的三段不一定能构成三角形.为了简便起见, 同样设所截的三段中L-(x+y)最长,
　　则试验的全部结果Ω:L-(x+y)>x
　　L-(x+y)>y
　　0　　即2x+y　　x+2y　　0　　图5
　　 它所表示的区域是四边形OMPN的内部, 可得S四边形OMPN=L26. 若所截的三段能构成三角形,那么只需满足x+y>L-(x+y)即可, 则所截的三段能构成三角形的所有实验结果A：2x+y　　x+2y　　x+y>L2，它所表示的区域是图5中△PMN的内部且S△PMN=L224.故三段长可以构成三角形的概率P=S△PMNS四边形OMPN=14