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基本不等式：a>0、b>0， ≥ ，當且仅当“a=b”时等号成立。该不等式在高中数学中占有重要的地位，它也是高考常考的热点内容之一。其应用十分广泛，既可以用于求函数的最值及证明不等式，也可以求实际问题的解。应用时有的是直接运用，有的是以间接运用，还有的需要进行适当的变形才能运用。下面列举几个例子予以说明。
一、直接运用基本不等式求函数的最值
对于形如f（x）=x+ ，（x>0，k为正常数）的函数，可以直
接运用基本不等式求解。
例1已知x>2，求函数f（x）=x+ 的最小值。
解：因为 x>2，x-2>0，故f（x）=x+ =（x-2）+ +2≥2 +2=2×2+2=6，当且仅当x-2= ，即x=4时，等号成立。由此，当x>2时，f（x） =x+ 的最小值是6。
二、间接运用基本不等式求函数的最值
有些函数的已知条件没有直接给出正值，必须进行分类讨论，间接运用基本不等式求解。
例2 已知 x≠0 ，求函数f（x）=3x+ 的值域。
分析：此题中只知x≠0 ，不符合基本不等式的应用条件，应对变量x 作分类讨论，间接运用基本不等式求解。
解：因为 x≠0，所以x<0，或x>0；
（1）当x>0时 ，3x>0，f（x）=3x+ ≥2 =2，当且仅当3x= ，即x= 时等号成立。由此，当x>0时，f（x）取得最小值2。
（2）当 x< 0 时，-x>0，f（x）=3x+ =-（-3x+ ）≤-2 =-2，当且仅当-3x= - ，即x= - 时等号成立。由此，当x< 0时，f（x）取得最大值-2。
综上所述，当x>0时，f（x）=3x+ 的值域是[2，+∞）；当x<0时，f（x）=3x+ 的值域是（-∞，-2]。
三、通过变形运用基本不等式求解
对于形如f（x）=x+ ， x–a<0，k>0的函数，由于已知条件不 满足a>0与b>0的形式，必须作适当变形后才能应用基本不等式求解。
例3 已知x<2，求函数f （x）= x–2+ 的最大值。
分析： 因為x<2， 故x–2<0，不符合正值的条件，不能直接应用基本不等式求解，必须作适当的变形。
解：因为 x<2， 故 x–2<0， 2–x>0，因此 f（x）= x–2+ =– [（2–x）+ ]≤–2 =–2×2= –4， 当且仅当2–x= ，即x=0时，f（x）取得最大值–4。所以当x=0时，函数f （x）= x–2+ 的最大值是–4。
四、基本不等式在不等式证明中的应用
有些不等式用常规的作差法很难证明，对于形如 >k（ >0， >0，k>0）的不等式，可以运用基本不等式去证明。
例4 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：（1+ ）（1+ ）≥9。
分析：本题条件和结论中，变量的次数是一个要注意的特征。条件中a、b次数为1，而结论中a、b次数为-1，可以利用1的代换，从平衡a、b的次数入手。
证明：因为a、b均为正数，且a+b=1，
所以（1+ ）（1+ ）=（1+ ）（1+ ）=2（2+ ）（2+ ）=4+2（ + ）+1=5+2（ + ）≥5+2×2 =5+4=9。
五、基本不等式在实际问题中的应用
实际问题中，有些是求图形的周长、面积的最大值，或者是求营业额、利润的最大值，这些问题都可以运用基本不等式求解。
例5 某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
分析：本题是几何问题，可先用代数式表示出矩形的面积再进行化简，然后再运用基本不等式求解。
解：设矩形温室的长为a米，宽为b米，则ab=800平方米。蔬菜种植地的长为（a-2）米，宽为（b-4）米，蔬菜种植地的面积为S=（a-2）（b-4）=ab-4a-2b+8=808-2（2a+b） ≤808-2 =808-2×80=648平方米；当且仅当2a=b即a=20米，b=40米时，等号成立。即当矩形温室的边长分别为20和40米时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648平方米。
在教学实践中，笔者发现不少学生在运用基本不等式时存在各种问题，下面举例说明。
（一） 忽视正值的条件
有一部分学生只是记住基本不等式的形式，做题时没有考虑具体题目中的已知条件是否符合正值，因此在做题时出现错误。
例6 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最值。
错解：y=4x-2+ =（4x-5）+ +3≥2 +3=2+3=5，当且仅当（4x-5）= ，即x= 或x=1时等号成立。故函数的最小值为5。
点评 学生在做题时忽略了x< ，4x-5<0这个条件，由此导致错解。
正解：因为 x< ， 4x–5<0， – （4x–5）>0， 即5–4x>0。
y=4x–2+ = 4x-5 + +3= –[（5–4x）+ ]+3≤-2 +3=-2+3=1。当且仅当5-4x= ，即x=1时等号成立。故当x=1时，函数y=4x-2+ 的最大值为1。
（二）忽略等号成立的条件
有的学生往往只注意到正值的条件而忽略了等号是否能成立，由此导致出现错误。
例7 已知x R，求函数y= 的值域 。
错解：因为x2+4>0， 故 >0， y= = + ≥2 =2， 由此函数y= 的最小值是2。
点评： 学生只注意到 >0， >0，没有考虑等号成立的条件 = ，即x2+4=1，x2 =-3在实数范围内不成立，因此出现错误。
正解： y= = = + = + — 。
因为 + ≥4， — ≥— （以上这两个不等式当且仅当x=0时同时取等号），故y≥4— = ，从而函数y= 的值域是[ ，+∞）。
一、直接运用基本不等式求函数的最值
对于形如f（x）=x+ ，（x>0，k为正常数）的函数，可以直
接运用基本不等式求解。
例1已知x>2，求函数f（x）=x+ 的最小值。
解：因为 x>2，x-2>0，故f（x）=x+ =（x-2）+ +2≥2 +2=2×2+2=6，当且仅当x-2= ，即x=4时，等号成立。由此，当x>2时，f（x） =x+ 的最小值是6。
二、间接运用基本不等式求函数的最值
有些函数的已知条件没有直接给出正值，必须进行分类讨论，间接运用基本不等式求解。
例2 已知 x≠0 ，求函数f（x）=3x+ 的值域。
分析：此题中只知x≠0 ，不符合基本不等式的应用条件，应对变量x 作分类讨论，间接运用基本不等式求解。
解：因为 x≠0，所以x<0，或x>0；
（1）当x>0时 ，3x>0，f（x）=3x+ ≥2 =2，当且仅当3x= ，即x= 时等号成立。由此，当x>0时，f（x）取得最小值2。
（2）当 x< 0 时，-x>0，f（x）=3x+ =-（-3x+ ）≤-2 =-2，当且仅当-3x= - ，即x= - 时等号成立。由此，当x< 0时，f（x）取得最大值-2。
综上所述，当x>0时，f（x）=3x+ 的值域是[2，+∞）；当x<0时，f（x）=3x+ 的值域是（-∞，-2]。
三、通过变形运用基本不等式求解
对于形如f（x）=x+ ， x–a<0，k>0的函数，由于已知条件不 满足a>0与b>0的形式，必须作适当变形后才能应用基本不等式求解。
例3 已知x<2，求函数f （x）= x–2+ 的最大值。
分析： 因為x<2， 故x–2<0，不符合正值的条件，不能直接应用基本不等式求解，必须作适当的变形。
解：因为 x<2， 故 x–2<0， 2–x>0，因此 f（x）= x–2+ =– [（2–x）+ ]≤–2 =–2×2= –4， 当且仅当2–x= ，即x=0时，f（x）取得最大值–4。所以当x=0时，函数f （x）= x–2+ 的最大值是–4。
四、基本不等式在不等式证明中的应用
有些不等式用常规的作差法很难证明，对于形如 >k（ >0， >0，k>0）的不等式，可以运用基本不等式去证明。
例4 已知a、b均为正数，且a+b=1，求证：（1+ ）（1+ ）≥9。
分析：本题条件和结论中，变量的次数是一个要注意的特征。条件中a、b次数为1，而结论中a、b次数为-1，可以利用1的代换，从平衡a、b的次数入手。
证明：因为a、b均为正数，且a+b=1，
所以（1+ ）（1+ ）=（1+ ）（1+ ）=2（2+ ）（2+ ）=4+2（ + ）+1=5+2（ + ）≥5+2×2 =5+4=9。
五、基本不等式在实际问题中的应用
实际问题中，有些是求图形的周长、面积的最大值，或者是求营业额、利润的最大值，这些问题都可以运用基本不等式求解。
例5 某村计划建造一个室内面积为800平方米的矩形蔬菜温室。在温室内，沿左右两侧与后侧内墙各保留1米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地。当矩形温室的边长各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积是多少？
分析：本题是几何问题，可先用代数式表示出矩形的面积再进行化简，然后再运用基本不等式求解。
解：设矩形温室的长为a米，宽为b米，则ab=800平方米。蔬菜种植地的长为（a-2）米，宽为（b-4）米，蔬菜种植地的面积为S=（a-2）（b-4）=ab-4a-2b+8=808-2（2a+b） ≤808-2 =808-2×80=648平方米；当且仅当2a=b即a=20米，b=40米时，等号成立。即当矩形温室的边长分别为20和40米时，蔬菜的种植面积最大，最大面积为648平方米。
在教学实践中，笔者发现不少学生在运用基本不等式时存在各种问题，下面举例说明。
（一） 忽视正值的条件
有一部分学生只是记住基本不等式的形式，做题时没有考虑具体题目中的已知条件是否符合正值，因此在做题时出现错误。
例6 已知x< ，求函数y=4x-2+ 的最值。
错解：y=4x-2+ =（4x-5）+ +3≥2 +3=2+3=5，当且仅当（4x-5）= ，即x= 或x=1时等号成立。故函数的最小值为5。
点评 学生在做题时忽略了x< ，4x-5<0这个条件，由此导致错解。
正解：因为 x< ， 4x–5<0， – （4x–5）>0， 即5–4x>0。
y=4x–2+ = 4x-5 + +3= –[（5–4x）+ ]+3≤-2 +3=-2+3=1。当且仅当5-4x= ，即x=1时等号成立。故当x=1时，函数y=4x-2+ 的最大值为1。
（二）忽略等号成立的条件
有的学生往往只注意到正值的条件而忽略了等号是否能成立，由此导致出现错误。
例7 已知x R，求函数y= 的值域 。
错解：因为x2+4>0， 故 >0， y= = + ≥2 =2， 由此函数y= 的最小值是2。
点评： 学生只注意到 >0， >0，没有考虑等号成立的条件 = ，即x2+4=1，x2 =-3在实数范围内不成立，因此出现错误。
正解： y= = = + = + — 。
因为 + ≥4， — ≥— （以上这两个不等式当且仅当x=0时同时取等号），故y≥4— = ，从而函数y= 的值域是[ ，+∞）。