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摘要：数列极限的“ε-N”定义是高等数学教学的起点也是难点，本文就概念的直观定义、抽象化处理等方面阐述了具体教学实践中的一些经验方法。
关键词：数列极限；存在；任意
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0191-02
极限概念是大学数学的基本概念，是微积分学的基础，是由静止到运动、由有限到无限的桥梁，体现了无限运动与无限逼近的思想，是高等数学的重要工具。高等数学课程中的主要內容包括连续性、可微性、可积性等都是用极限语言定义和认知的。因此，能否准确理解数列极限的概念，直接影响到整个高等数学知识的学习水平和数学能力的高低。本文结合具体教学实践，就数列极限概念教学中应该把握的几个问题给以阐述。
一、实例引入，归纳数列极限的直观定义
观察当n越来越大时，数列项的变化趋势：
（1）xn=1 1/n，（2）xn=1 （-1）n，（3）xn=2n。可以看出当自变量n越来越大时，上述数列有三种变化趋势：其一，数列（1）是单调减少越来越接近1。其二，数列（2）只有两个数值0和2。当自变量n越来越大时，xn的值在0和2之间来回摆动，无法趋于一个固定的数值。其三，数列（3）当自变量n越来越大时，数列xn数值单调增加且趋于无穷远，无法与一个有限的数值接近。第一变化趋势表明数列xn的极限存在，数值1为数列（1）的极限；第二和三种变化趋势的数列称为极限不存在。这样我们就归纳出数列xn的极限是常数a的直观定义，即当n无限增大时，数列的项xn无限接近一个常数a。
二、直观定义抽象化
上述直观定义不能解决数列极限及其相关的许多问题。例如，直接观察可以得到数列xn=nsin（1/n）和xn=（1 1/n）n的极限吗？显然很困难。因此，我们必须研究数列极限的精确定义，才能进一步获得极限的优良性质，然后利用它的性质去研究复杂数列极限的存在性。如何给出精确定义，要从直观定义加以分析。其关键是如何用数学符号描述上面例子中出现的“越来越逼近”，或者说“无限接近”的意义。首先要有一个接近的目标，其次是数列中的项随着下标的增加越来越接近这个目标。生活中“越来越接近一个目标”就是运动的物体离这个固定的目标之间的距离越来越小。以上述的数列（1）为例，这里讨论的目标就是一个确定的数值1，把数列xn中的项1 1/n看成运动的物体，也是一个数，只是这个数要随着自变量n的变化而变化。我们知道数轴上两点间的距离用差的绝对值表示，xn与目标1的远近用绝对值|xn-1|的大小表示。这样我们就把数列xn=1 1/n的极限是1的直观定义“当n无限增大时，xn无限接近一个常数1”翻译为“当n无限增大时，绝对值|xn-1|无限变小，要有多小就有多小”。其次，绝对值|xn-1|要有多小就有多小，这是xn与1的接近程度的问题。如何用数学符号描述无限变小，或者说要有多小就有多小？例如要使是xn与1的接近程度小于1/100，即|xn-1|=1/n<1/100，只需要n>100，也就是从100项以后所有的项与1的接近程度小于1/100。要使xn与1的接近程度小于1/104，即|xn-1|=1/n<1/104，只需要n>104，也就是从10000项以后所有的项与1的接近程度小于104。从这里分析可以发现两点：其一，给定一个接近程度，自变量一定存在一个起始时刻，从这一时刻以后，数列所有的项与1的距离小于这一给定的接近程度。接近程度越小，开始的时刻越大，成单调减少的依赖关系。这种依赖关系，正好描述了“当n增大时，绝对值|xn-1|变小”的逻辑关系。其二，虽然1/100和104很小，代表不了“要有多小就有多小”的意義，甚至接近程度1/1010、1/10100等很小的数都不能代表任意小，因为后面总有比它们更小的数。因此，数学中引入了字母ε来描述任意小、或者要多小就多小的正数。任意取接近程度ε，由|xn-1|=1/n<ε可知n>1/ε。由于ε任意小，故1/ε任意大，即存在正整数N=[1/ε]，使得当n>N时，所有的项满足|xn-1|<ε。到现在为止，学生从直观到抽象有了一定的认知，我们可以归纳出数列极限的“ε-N”精确定义：任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，总成立|xn-a|<ε。上述教学过程体现了由具体到一般、由直观到抽象的认知过程，符合数列极限精确定义形成的发展顺序。但是要领会这一定义的深刻内涵，老师还需要引导学生作深入细致的探讨。
三、深化认知，揭示概念的本质
1.ε的任意性和N的相应性。定义中正数ε是度量xn与a的接近程度，一经给出就视为固定，以便用它来求出相应的N，从这一时刻以后所有的项xn与a的接近程度才会小于ε，即|xn-a|<ε。通常N的大小依赖于事先给定的ε，故记作N=N（ε），表示N与ε之间的关联性。并且由于ε越小，找到的N就越大，所以N与ε成单调减少的关系。
2.结合数轴直观和形象比喻。由于|xn-a|<ε等价于a-ε0，总存在正整数N，使得数列所有下标大于N的项都进入以a为中心，ε为半径的区间（a-ε，a ε）内，即xN 1∈（a-ε，a ε），xN 2∈（a-ε，a ε）等一直下去，并且一旦进入永不离开，从而在区间（a-ε，a ε）之外至多只有有限的N项。如果我们把区间（a-ε，a ε）比作用于装数列项的“口袋”，把ε比作其开口的半径。由于ε任意小，所以口袋的开口半径随ε可以任意小。一旦ε给定，那么口袋的开口就固定，这时应该进入口袋的项就义无反顾地装入，而不能进入的项就被拦截。所以存在的正整数N相当于“阀门”，只允许该进的进（下标大于N的项进），不该进的绝对不能进（下标小于等于N的项）。由于ε越小，找到的N就越大，所以“口袋”越小，不能进入“口袋”的项就越多，但仍然只是有限项。
3.由于ε是任意小的正数，那么2ε或者ε2等同样是任意小正数，因此定义中|xn-a|<ε的ε可以用ε的倍数，即cε代替，其中c为固定正常数。同时，由于ε任意小，所以我们可以限定ε<1。并且，定义中|xn-a|<ε也可改写为|xn-a|≤ε。
4.数列极限“ε-N”定义中“任意ε>0，存在正整数N”的语言顺序是不能颠倒的。如果表述为“存在正整数N，任意ε>0，当n>N时，总成立|xn-a|<ε”，那么数列{xn}就只能是特殊数列xn=a，n>N，这是平凡情形。
5.通过例子加强对数列极限“ε-N”定义语言的应用探索。用定义去证明数列{xn}极限是a，由于接近程度ε是预先给定的，所以当作已知条件，关键是在这个接近程度下，数列的哪些项与a的距离会小于这个接近程度ε。也就是需要从不等式|xn-a|<ε中求解出n大于h（ε），并且h（ε）是随ε变小而变大的正值函数。此时取N=[h（ε）]，则n>N的所有项与a的距离|xn-a|小于预先给定的ε。可是通常由不等式|xn-a|<ε很难解出n>h（ε）。一般的方法是将绝对值|xn-a|放大到|xn-a| 总之，数列极限“ε-N”语言是对数列极限的精确定义，严谨而科学，包含了丰富的数学思想方法，是高等数学知识体系推理论证的基础。鉴于此，通过适当的、切实有效的教学手段引导学生逐步理解掌握这一概念，对提高大学生学习高等数学的能力和水平具有重要意义。
参考文献：
[1]丁宣浩，陈义安，等.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]同济大学数学系.高等数学第六版上册[M].北京：高等教育出版社，2011.
关键词：数列极限；存在；任意
中图分类号：G642.41 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2017）08-0191-02
极限概念是大学数学的基本概念，是微积分学的基础，是由静止到运动、由有限到无限的桥梁，体现了无限运动与无限逼近的思想，是高等数学的重要工具。高等数学课程中的主要內容包括连续性、可微性、可积性等都是用极限语言定义和认知的。因此，能否准确理解数列极限的概念，直接影响到整个高等数学知识的学习水平和数学能力的高低。本文结合具体教学实践，就数列极限概念教学中应该把握的几个问题给以阐述。
一、实例引入，归纳数列极限的直观定义
观察当n越来越大时，数列项的变化趋势：
（1）xn=1 1/n，（2）xn=1 （-1）n，（3）xn=2n。可以看出当自变量n越来越大时，上述数列有三种变化趋势：其一，数列（1）是单调减少越来越接近1。其二，数列（2）只有两个数值0和2。当自变量n越来越大时，xn的值在0和2之间来回摆动，无法趋于一个固定的数值。其三，数列（3）当自变量n越来越大时，数列xn数值单调增加且趋于无穷远，无法与一个有限的数值接近。第一变化趋势表明数列xn的极限存在，数值1为数列（1）的极限；第二和三种变化趋势的数列称为极限不存在。这样我们就归纳出数列xn的极限是常数a的直观定义，即当n无限增大时，数列的项xn无限接近一个常数a。
二、直观定义抽象化
上述直观定义不能解决数列极限及其相关的许多问题。例如，直接观察可以得到数列xn=nsin（1/n）和xn=（1 1/n）n的极限吗？显然很困难。因此，我们必须研究数列极限的精确定义，才能进一步获得极限的优良性质，然后利用它的性质去研究复杂数列极限的存在性。如何给出精确定义，要从直观定义加以分析。其关键是如何用数学符号描述上面例子中出现的“越来越逼近”，或者说“无限接近”的意义。首先要有一个接近的目标，其次是数列中的项随着下标的增加越来越接近这个目标。生活中“越来越接近一个目标”就是运动的物体离这个固定的目标之间的距离越来越小。以上述的数列（1）为例，这里讨论的目标就是一个确定的数值1，把数列xn中的项1 1/n看成运动的物体，也是一个数，只是这个数要随着自变量n的变化而变化。我们知道数轴上两点间的距离用差的绝对值表示，xn与目标1的远近用绝对值|xn-1|的大小表示。这样我们就把数列xn=1 1/n的极限是1的直观定义“当n无限增大时，xn无限接近一个常数1”翻译为“当n无限增大时，绝对值|xn-1|无限变小，要有多小就有多小”。其次，绝对值|xn-1|要有多小就有多小，这是xn与1的接近程度的问题。如何用数学符号描述无限变小，或者说要有多小就有多小？例如要使是xn与1的接近程度小于1/100，即|xn-1|=1/n<1/100，只需要n>100，也就是从100项以后所有的项与1的接近程度小于1/100。要使xn与1的接近程度小于1/104，即|xn-1|=1/n<1/104，只需要n>104，也就是从10000项以后所有的项与1的接近程度小于104。从这里分析可以发现两点：其一，给定一个接近程度，自变量一定存在一个起始时刻，从这一时刻以后，数列所有的项与1的距离小于这一给定的接近程度。接近程度越小，开始的时刻越大，成单调减少的依赖关系。这种依赖关系，正好描述了“当n增大时，绝对值|xn-1|变小”的逻辑关系。其二，虽然1/100和104很小，代表不了“要有多小就有多小”的意義，甚至接近程度1/1010、1/10100等很小的数都不能代表任意小，因为后面总有比它们更小的数。因此，数学中引入了字母ε来描述任意小、或者要多小就多小的正数。任意取接近程度ε，由|xn-1|=1/n<ε可知n>1/ε。由于ε任意小，故1/ε任意大，即存在正整数N=[1/ε]，使得当n>N时，所有的项满足|xn-1|<ε。到现在为止，学生从直观到抽象有了一定的认知，我们可以归纳出数列极限的“ε-N”精确定义：任意ε>0，存在正整数N，当n>N时，总成立|xn-a|<ε。上述教学过程体现了由具体到一般、由直观到抽象的认知过程，符合数列极限精确定义形成的发展顺序。但是要领会这一定义的深刻内涵，老师还需要引导学生作深入细致的探讨。
三、深化认知，揭示概念的本质
1.ε的任意性和N的相应性。定义中正数ε是度量xn与a的接近程度，一经给出就视为固定，以便用它来求出相应的N，从这一时刻以后所有的项xn与a的接近程度才会小于ε，即|xn-a|<ε。通常N的大小依赖于事先给定的ε，故记作N=N（ε），表示N与ε之间的关联性。并且由于ε越小，找到的N就越大，所以N与ε成单调减少的关系。
2.结合数轴直观和形象比喻。由于|xn-a|<ε等价于a-ε
3.由于ε是任意小的正数，那么2ε或者ε2等同样是任意小正数，因此定义中|xn-a|<ε的ε可以用ε的倍数，即cε代替，其中c为固定正常数。同时，由于ε任意小，所以我们可以限定ε<1。并且，定义中|xn-a|<ε也可改写为|xn-a|≤ε。
4.数列极限“ε-N”定义中“任意ε>0，存在正整数N”的语言顺序是不能颠倒的。如果表述为“存在正整数N，任意ε>0，当n>N时，总成立|xn-a|<ε”，那么数列{xn}就只能是特殊数列xn=a，n>N，这是平凡情形。
5.通过例子加强对数列极限“ε-N”定义语言的应用探索。用定义去证明数列{xn}极限是a，由于接近程度ε是预先给定的，所以当作已知条件，关键是在这个接近程度下，数列的哪些项与a的距离会小于这个接近程度ε。也就是需要从不等式|xn-a|<ε中求解出n大于h（ε），并且h（ε）是随ε变小而变大的正值函数。此时取N=[h（ε）]，则n>N的所有项与a的距离|xn-a|小于预先给定的ε。可是通常由不等式|xn-a|<ε很难解出n>h（ε）。一般的方法是将绝对值|xn-a|放大到|xn-a|
参考文献：
[1]丁宣浩，陈义安，等.数学分析上册[M].北京：高等教育出版社，2014.
[2]同济大学数学系.高等数学第六版上册[M].北京：高等教育出版社，2011.