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摘要：隨着建筑工程建设总体进程的加快，现代工程对建筑物的规模、造型和难度提出了更高的要求，变形监测工作也显得更加重要。由于工程建筑物的变形发展是一个动态过程，有其内在的规律性，变形监测数据正是这种规律的反映，前期观测数据的变化蕴含着后期发展变化趋势。本文通过灰色线性组合建模的方法对变形监测数据进行处理，并通过实例比较分析其它几种数据的处理方法，从而得出灰色线性组合模型的特点以及优势所在。
关键词：变形监测；灰色线性组合；实例分析
1 前言
近年来，随着变形监测数据处理方法的不断进步，灰色系统理论的建模实际上是对生成数列的建模，在信息较为有限的条件下，只要原始数列有4个以上的数据就可以通过生成变换来建立灰色模型（Grey Model），即GM。灰色系统建模克服了概率统计的弱点，从数据中找出规律建立模型，然后用作相应的分析、预测、决策和规划，然而在建模方面由于过程比较复杂，难以符合实际工程操作的需要，而线性回归方法作为一种传统的变形分析方法，回归分析模型的建模过程简单，使用方便，目前在国内外得到了应用广泛。综合两者的优势，我们同样可以通过利用对灰色系统模型形式进行线性回归拟合的思想建立灰色线性组合模型，从而建立一种所需样本数据较少，短期预测精度较高，操作简单，并依靠样本数据本身内在线性规律的模型。
2 GM（1，1）灰色系统模型
设某一监测点的各期数据组成的原始数据序列为等间隔非负序列，并对该序列作一次累加生成（AGO），得到光滑的生成数列：
其中：
（1.1）
x（1）对时间求导建立一阶线性微分方程，称为GM（1，1）灰微分方程的白化方程，即
（1.2）
在此，a，b为待定的常数。a为发展系数，它反映及的发展态势。b称为灰色作用量，是系统中的作用量，它的大小反映数据的变化关系。
接下来采用邻均值生成，这种数据生成方式是对等时距的序列在建模时用相邻数据的平均值构造新的数据。任何一个灰导数都是在某个背景值下获得的，背景值既要适合新信息，又要适合老信息，因此采取等权分配也是合理的。如原始数列：
x（k）新信息和x（k-1）老信息为序列x的一对紧邻值，则称k点的生成值z（k）为由新信息和老信息在生成系数（权）下α的生成值，即为邻均值生成值。
当α=0.5时
（1.3）
此时相邻值的等权生成，也称为邻值等权生成。对x（1）计算均值z（1）（k），k=2，…，n。因为GM建模时灰导数是单位时间新老信息的差值。将x（1）和z（1）（k）代入白化方程（1.2）式中，可得灰差分方程
（1.4）
该式对应n个时间序列，上式可写成矩阵形式，其中B和 YN二者的构造分别为：
参数矩阵可根据最小二乘原理，求得发展系数a和灰色作用量b。对GM（1，1）灰微分方程的白化方程求解，其结果为：
（1.5）
其中，，
GM（1，1）白化方程的离散时间响应函数就为：
（1.6）
将k按1，2，…n代入模型，可得生成数列的计算值。当k→∞时，表示的是最终沉降量，其值为b/a。
此时得到的序列其实是一次累加形式的，方程求解的结果应还原到原序列，即通过累减处理（IAGO），得原始数据的还原模拟值和不同时刻预测值，灰色预测的两个基本模型为：
（1.7）
（1.8）
当k为模型拟合值；当时k=n，称为模型滤波值；当k>n时，称为模型预测值。
3 灰色线性组合模型
根据GM（1，1）白化响应模型（1.6）可以写成以下方程的形式：
（2.1）
我们发现这种形式可以利用某种线性回归方程Y=aX+b，以及指数方程Y=aeX之和来进行拟合累加生成序列：
（2.2）
上式中，C1、C2、C3、v都是需要估计的未知数。设存在以下的函数关系：
（2.3）
以及
（2.4）
于是不难发现：
（2.5）
这样，如果我们把用实际的累加序列代替就可以解得v的近似值，取不同的m将得出不同的，最后取所有的值的平均值作为v的估值，也就是：
（2.6）
根据（2.2），利用最小二乘法求解，寫成矩阵形式如下：
（2.7）
按最小二乘方法求解：，其中：
完成之后我们就得到了灰色线性组合模型：
（2.8）
根据（1.7）式对得出的累加序列进行累减还原即可得到原始数据的模型拟合值或者相应的预测值。
4 新陈代谢算法
对序列x（0），将x（0）（n）取为时间轴的原点，则称tn为未来。对此序列进行建模预测，预测n+1时刻的离散值x（0）（n+1）。将初始序列x（0）中的x（0）（1）舍去，加入新预测的灰数x（0）（n+1），重新构成灰色序列x（0），重新建立模型，不断预测、递补，称该模型为灰数递补动态预测模型，表达式如下所示：
由于灰数递补动态预测模型中加入的是灰数，不断更新的灰数起到了淡化模型灰度的作用，但显然结果仍然是具有灰性的。在变形观测中，若及时将获得的实际观测值加入到建模序列中，按上述预测递补方法建立模型，这种将实测数据递补加入到模型建立中所建立的模型称为实测值递补动态预测模型。由于实时递补的是新的观测值，因此该模型真实的反映了系统状态变化，可以有效地提高预报精度。以上两种递补数据重新建模的算法称为新陈代谢算法。
灰色新陈代谢模型是一种动态的模型，同静态灰色模型相比在中长期预测方面具有较高的优势，它最大的特点就是将变形系统中的不稳定因素及时的考虑到预测模型中，从而对模型进行一定修正，提高预测精度。
5 实例分析
某工程建筑楼高33层，框架结构。工程于2011年12月施工到2012年06月13日主体封顶，随后进入装修使用阶段。按设计部门提供的对沉降测量要求和国家行业标准要求，埋设了10个沉降观测点；三个测量基准点。自2011年12月05日至2013年02月25日，历时15个月，在不同的施工进度中，共进行了20次沉降测量，20条闭合水准路线，测量精度为二等水准，各闭合水准路线的高差闭合差，均在限差范围之内。
对10个观测点进行累积沉降量计算，并得到各点的平均沉降量作为原始数据：x（0）（k）
（单位：mm），取前10期数据拟合，预测后9期，比较预测值和实测值的接近程度。
按照（1.4）式构造B和YN，并以最小二乘法计算得到GM（1，1）模型的发展系数a和灰色作用量b： a=-0.1994 b=0.7650
代入模型白化响应式（1.5）中，记得到此序列的GM（1，1）模型：
及还原预测模型
同样，按照以上介绍计算灰色线性组合模型系数C1、C2、C3、v分别得：
将以上系数代入到（2.8）式中得到组合模型的形式为：
分别把前期监测的10期数据代入到两模型之中拟合并且预测后9期的沉降量，首先比较前10期数据的拟合精度，以下是两种方法拟合后的数据同实测数据的比较：
为了能明显的比较出两种建模方法的拟合精度，我们分别对两种建模方法所得到的拟合值进行精度检验并将相应的指标值列表如下：
通过比较我们可以看到除了关联系数一项组合模型比传统GM（1，1）模型稍小但差别大，其余各指标组合模型均优于传统GM（1，1），虽然两者在后验方差比和最小误差概率两项指标上均达到了一级良好的拟合精度，但是传统GM（1，1）的平均相对残差为14.95%属于三级（勉强合格），而组合模型则达到了1.66%属一级良好的较高精度。
另外，我们通过已经建立的两种模型，对未来的9期数据进行预测，比较两者的预测精度，方法与拟合精度比较类似，现将两种模型的预测结果罗列如下：
比较两种模型的预测精度我们发现，组合模型的多项精度指标均优于传统单一变量灰色分析模型，其中，在使用了组合模型之后的各项精度指标均从四级不合格提升到了合格甚至一级良好的较高精度，这是由于灰色线性组合模型考虑到了传统GM（1，1）所忽视的数据序列内在的线性特征，并且通过线性拟合的方式对这种线性特征进行了拟合，因此精度有了一定程度的提高。 同时，我们还发现用传统的GM（1，1）模型进行数据预测时，在短期内其预测效果较好，而在远离已知数据的长期预测中的效果不是很好，而灰色线性回归组合模型是连续时间的函数，能够在考虑数据原有的线性规律条件下的一定程度上缓解这种情况，即在较长的时间周期之后仍能保持一定的预测精度。
但是，随着变形的发展，越是远离已知數据的周期其预测精度就越难以保证，这是由于在实际的变形中随着时间的推移，将来的一些扰动因素可能会对系统产生明显影响，所以对于模型而言有预测意义的数据仅是接下来的一两个数据，其他数据只能表示在现有条件不变情况下未来发展的规划性数据。
如果需要进行一些中长期预测时，采取一些提高预测精度的方法是很有必要的，例如往往我们会采用一些残差拟合模型，将残差的预测也加入到预测模型中，使预测值更加接近于实测值。
当然，为了弥补上述这种缺陷，对变形进行动态分析，就必须将未来的这些因素考虑进去，即要将每一个新的数据送入原始序列中，重新建立预测模型，也就是采用新陈代谢算法对变形动态进行分析。
将预测结果用图像的形式反映如图1所示：
从预测的结果上来看，使用不同的维数的新陈代谢算法效果有所差异，随着维数从5提高到10，传统GM（1，1）模型的预测值越来越向实测值靠近。总的说来，在采用了等维灰数递补动态的新陈代谢算法之后，两种模型的预测精度都得到了不同程度的提升，其中灰色线性组合模型的精度提高更加明显，但是，由于每次加入的新的数据是灰性的，非实测值，所以此种方法只能淡化灰平面，呈现出与实测值接近的趋势，而其值仍然同实测值有一定的差距，有的甚至是悬殊的，这种情况下，可以利用实测数据取代之前的灰数递补，建立实测值递补动态预测模型，实际上这种方法对于预测精度的提高效果也是十分明显的。
参考文献：
[1] 赵晓芬.灰色系统理论概述[J].吉林省教育学院学报，2011年03期.
[2] 刘学文，虎旭林，丁丽宏.灰色系统与时序组合模型在高层建筑沉降预测中的应用[J]. 宁夏大学学报（自然科学版）， 2003年01期.
[3] 刘国超，黄张裕，徐秀杰，冯剑桥. 新陈代谢GM（1，1）模型在变形监测数据处理中的应用[J].勘察科学技术，2014年01期.
[4] 姚伯金.高层建筑沉降监测分析一例[J]. 南京建筑工程学院学报，1997年04期.
关键词：变形监测；灰色线性组合；实例分析
1 前言
近年来，随着变形监测数据处理方法的不断进步，灰色系统理论的建模实际上是对生成数列的建模，在信息较为有限的条件下，只要原始数列有4个以上的数据就可以通过生成变换来建立灰色模型（Grey Model），即GM。灰色系统建模克服了概率统计的弱点，从数据中找出规律建立模型，然后用作相应的分析、预测、决策和规划，然而在建模方面由于过程比较复杂，难以符合实际工程操作的需要，而线性回归方法作为一种传统的变形分析方法，回归分析模型的建模过程简单，使用方便，目前在国内外得到了应用广泛。综合两者的优势，我们同样可以通过利用对灰色系统模型形式进行线性回归拟合的思想建立灰色线性组合模型，从而建立一种所需样本数据较少，短期预测精度较高，操作简单，并依靠样本数据本身内在线性规律的模型。
2 GM（1，1）灰色系统模型
设某一监测点的各期数据组成的原始数据序列为等间隔非负序列，
其中：
x（1）对时间求导建立一阶线性微分方程，称为GM（1，1）灰微分方程的白化方程，即
在此，a，b为待定的常数。a为发展系数，它反映
接下来采用邻均值生成，这种数据生成方式是对等时距的序列在建模时用相邻数据的平均值构造新的数据。任何一个灰导数都是在某个背景值下获得的，背景值既要适合新信息，又要适合老信息，因此采取等权分配也是合理的。如原始数列：
x（k）新信息和x（k-1）老信息为序列x的一对紧邻值，则称k点的生成值z（k）为由新信息和老信息在生成系数（权）下α的生成值，即为邻均值生成值。
当α=0.5时
此时相邻值的等权生成，也称为邻值等权生成。对x（1）计算均值z（1）（k），k=2，…，n。因为GM建模时灰导数是单位时间新老信息的差值。将x（1）和z（1）（k）代入白化方程（1.2）式中，可得灰差分方程
该式对应n个时间序列，上式可写成矩阵形式
参数矩阵可根据最小二乘原理
其中，
GM（1，1）白化方程的离散时间响应函数就为：
将k按1，2，…n代入模型，可得生成数列的计算值。当k→∞时，
此时得到的序列其实是一次累加形式的，方程求解的结果应还原到原序列，即通过累减处理（IAGO），得原始数据的还原模拟值和不同时刻预测值，灰色预测的两个基本模型为：
当k
3 灰色线性组合模型
根据GM（1，1）白化响应模型（1.6）可以写成以下方程的形式：
我们发现这种形式可以利用某种线性回归方程Y=aX+b，以及指数方程Y=aeX之和来进行拟合累加生成序列：
上式中，C1、C2、C3、v都是需要估计的未知数。设存在以下的函数关系：
于是不难发现：
这样，如果我们把
根据（2.2），利用最小二乘法求解，寫成矩阵形式如下：
按最小二乘方法求解：
完成之后我们就得到了灰色线性组合模型：
根据（1.7）式对得出的累加序列进行累减还原即可得到原始数据的模型拟合值或者相应的预测值。
4 新陈代谢算法
对序列x（0），将x（0）（n）取为时间轴的原点，则称t
由于灰数递补动态预测模型中加入的是灰数，不断更新的灰数起到了淡化模型灰度的作用，但显然结果仍然是具有灰性的。在变形观测中，若及时将获得的实际观测值加入到建模序列中，按上述预测递补方法建立模型，这种将实测数据递补加入到模型建立中所建立的模型称为实测值递补动态预测模型。由于实时递补的是新的观测值，因此该模型真实的反映了系统状态变化，可以有效地提高预报精度。以上两种递补数据重新建模的算法称为新陈代谢算法。
灰色新陈代谢模型是一种动态的模型，同静态灰色模型相比在中长期预测方面具有较高的优势，它最大的特点就是将变形系统中的不稳定因素及时的考虑到预测模型中，从而对模型进行一定修正，提高预测精度。
5 实例分析
某工程建筑楼高33层，框架结构。工程于2011年12月施工到2012年06月13日主体封顶，随后进入装修使用阶段。按设计部门提供的对沉降测量要求和国家行业标准要求，埋设了10个沉降观测点；三个测量基准点。自2011年12月05日至2013年02月25日，历时15个月，在不同的施工进度中，共进行了20次沉降测量，20条闭合水准路线，测量精度为二等水准，各闭合水准路线的高差闭合差，均在限差范围之内。
对10个观测点进行累积沉降量计算，并得到各点的平均沉降量作为原始数据：x（0）（k）
（单位：mm），取前10期数据拟合，预测后9期，比较预测值和实测值的接近程度。
按照（1.4）式构造B和YN，并以最小二乘法计算得到GM（1，1）模型的发展系数a和灰色作用量b： a=-0.1994 b=0.7650
代入模型白化响应式（1.5）中，记得到此序列的GM（1，1）模型：
及还原预测模型
同样，按照以上介绍计算灰色线性组合模型系数C1、C2、C3、v分别得：
将以上系数代入到（2.8）式中得到组合模型的形式为：
分别把前期监测的10期数据代入到两模型之中拟合并且预测后9期的沉降量，首先比较前10期数据的拟合精度，以下是两种方法拟合后的数据同实测数据的比较：
为了能明显的比较出两种建模方法的拟合精度，我们分别对两种建模方法所得到的拟合值进行精度检验并将相应的指标值列表如下：
通过比较我们可以看到除了关联系数一项组合模型比传统GM（1，1）模型稍小但差别大，其余各指标组合模型均优于传统GM（1，1），虽然两者在后验方差比和最小误差概率两项指标上均达到了一级良好的拟合精度，但是传统GM（1，1）的平均相对残差为14.95%属于三级（勉强合格），而组合模型则达到了1.66%属一级良好的较高精度。
另外，我们通过已经建立的两种模型，对未来的9期数据进行预测，比较两者的预测精度，方法与拟合精度比较类似，现将两种模型的预测结果罗列如下：
比较两种模型的预测精度我们发现，组合模型的多项精度指标均优于传统单一变量灰色分析模型，其中，在使用了组合模型之后的各项精度指标均从四级不合格提升到了合格甚至一级良好的较高精度，这是由于灰色线性组合模型考虑到了传统GM（1，1）所忽视的数据序列内在的线性特征，并且通过线性拟合的方式对这种线性特征进行了拟合，因此精度有了一定程度的提高。 同时，我们还发现用传统的GM（1，1）模型进行数据预测时，在短期内其预测效果较好，而在远离已知数据的长期预测中的效果不是很好，而灰色线性回归组合模型是连续时间的函数，能够在考虑数据原有的线性规律条件下的一定程度上缓解这种情况，即在较长的时间周期之后仍能保持一定的预测精度。
但是，随着变形的发展，越是远离已知數据的周期其预测精度就越难以保证，这是由于在实际的变形中随着时间的推移，将来的一些扰动因素可能会对系统产生明显影响，所以对于模型而言有预测意义的数据仅是接下来的一两个数据，其他数据只能表示在现有条件不变情况下未来发展的规划性数据。
如果需要进行一些中长期预测时，采取一些提高预测精度的方法是很有必要的，例如往往我们会采用一些残差拟合模型，将残差的预测也加入到预测模型中，使预测值更加接近于实测值。
当然，为了弥补上述这种缺陷，对变形进行动态分析，就必须将未来的这些因素考虑进去，即要将每一个新的数据送入原始序列中，重新建立预测模型，也就是采用新陈代谢算法对变形动态进行分析。
将预测结果用图像的形式反映如图1所示：
从预测的结果上来看，使用不同的维数的新陈代谢算法效果有所差异，随着维数从5提高到10，传统GM（1，1）模型的预测值越来越向实测值靠近。总的说来，在采用了等维灰数递补动态的新陈代谢算法之后，两种模型的预测精度都得到了不同程度的提升，其中灰色线性组合模型的精度提高更加明显，但是，由于每次加入的新的数据是灰性的，非实测值，所以此种方法只能淡化灰平面，呈现出与实测值接近的趋势，而其值仍然同实测值有一定的差距，有的甚至是悬殊的，这种情况下，可以利用实测数据取代之前的灰数递补，建立实测值递补动态预测模型，实际上这种方法对于预测精度的提高效果也是十分明显的。
参考文献：
[1] 赵晓芬.灰色系统理论概述[J].吉林省教育学院学报，2011年03期.
[2] 刘学文，虎旭林，丁丽宏.灰色系统与时序组合模型在高层建筑沉降预测中的应用[J]. 宁夏大学学报（自然科学版）， 2003年01期.
[3] 刘国超，黄张裕，徐秀杰，冯剑桥. 新陈代谢GM（1，1）模型在变形监测数据处理中的应用[J].勘察科学技术，2014年01期.
[4] 姚伯金.高层建筑沉降监测分析一例[J]. 南京建筑工程学院学报，1997年04期.