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摘要： 教师要在全面把握学情，深刻理解教材的基础上找准学生学习的落脚点，拓展学生数学思维的长度、宽度和厚度，借助数学结构化的特点，促进每个学生在数学学习上获得最优发展。
关键词： 数学发展 数学思维 长度 宽度 厚度
新课程实施以来，教师们围绕课程总目标合理整合教学内容，不断优化教学方法，使学生的数学素养、解题能力、创新意识有了很大的提高，但我们也发现：学困生数量在增加，学生在数学学习上两极分化的现象越来越明显，虽然有不少学生越来越喜欢学数学，但是也有越来越多的学生怕学数学。有人说，《数学课程标准》明确提出：让不同的人在数学上得到不同的发展，所以出现上述状况是可以被理解和接受的。我的理解是：学生在数学上获得的不同的发展应该是基于每个学生学习数学的潜能被最大限度发掘基础上的学生个体的最优发展，而不是学生在学习数学方面的“自生自灭”，甚至是教师不科学的教学行为的“生生扼杀”。片面理解甚至曲解学生数学发展的含义，重视为学生呈现结果，忽视让学生经历学的过程是造成学生在数学上得不到最优发展的重要因素。因此，教师要在全面把握学情，深刻理解教材的基础上找准学生学习的落脚点，在拓展学生思维长度、宽度和厚度上做文章，利用数学结构化的特点，促进每个学生在数学学习上获得最优发展。
一、找准认识起点，让思维变“长”
良好的开端是成功的一半。这就需要教师在每节课的开始为学生找到恰当的认知起点，让他顺利地“进”课堂。教师要深入了解学生已经具备多少与学习本节课内容密切相关的知识经验，方法策略，能力基础，并根据大部分学生实际，确定学生触手可及的认识起点，必要时适当调低学生的认识起点，帮助学生克服对数学学习的畏难情绪，让他们带着成功的情绪体验顺利进入新知的学习。以《三角形的面积计算》一课为例，如果仅从数学的逻辑起点分析学生学习这节课的知识基础，则应该是前面刚刚掌握的平行四边形面积计算方法，策略经验则应该是利用转化的策略把三角形转化成平行四边形，具体方法是剪拼，不少教师在上这节课时都是一下子给出一个一般三角形，期望学生能从不同角度给出多种方法。事实上，利用剪拼的方法把三角形转化成平行四边形对五年级学生来说是很难的，这样的设计不仅得不到预约的精彩，还有可能引发学生学习数学的挫败感。对这节课的教学，我们不妨降低学生的认识起点：先给出一个特殊的三角形：等腰三角形，想一想，可以转化成什么图形，怎么转化？再给出一个直角三角形，想一想，可以转化成什么图形，怎么转化？这样学生就很容易从剪拼法过渡到组拼法，从而顺利完成下面的探究任务。这样的设计，不仅利于学生完成新知的学习，更重要的是延长了不同层次的学生真正参与课堂教学的时间。
二、展示学习过程，让思维变“厚”
在数学课上要重视学生的参与，既重视学生数学技能训练的参与，更重视学生数学思维的深度参与。教师要让学生经历数学知识形成的过程，让学生在“经历”中发散思维，总结方法，经验，提高能力。下面是笔者执教《小数的大小比较》一课的片段：
师：谁来说说，0.6和0.7比，谁大？（无人应答，我的心里很着急，一句“真笨”差点脱口而出。但一想前两天学校数学素质比赛我们班级代表队铩羽而归的情景，我忍住了，我想：他们需要我给予他们更多的时间，我决定放慢脚步。）
师：没关系，你可以凭直觉猜一猜。
（过了一会儿，有一生举手。）
生：我觉得0.7大。
师：能用恰当的方法证明你的猜想吗？（摇头）
师：看看你们课前画的图呢？
（又过了一会儿，一生举手。）
生：0.7涂得多呢！
师：他说的有道理吗？（学生不假思索，纷纷点头。）
师：大家对他说的话一点意见也没有吗？（有学生露出疑惑的表情。）
师出示两个不一样大的正方形，生思考，终于有人举手。
生：把两个一样大的正方形看成整体1，都平均分成10份，涂7格要比涂6格的多。所以0.7要比0.6大。
师：用这种方法比小数的大小行吗？
生4：行是行，就是太麻烦了。
生5：我发现了，0.7有7份，0.6里只有6份，所以0.7比0.6大。（其余学生纷纷点头。）
师：份数多的数就大吗？
生：嗯，當然。
师：一定吗？（学生依然不能做出反思，我灵机一动，从口袋里掏出7枚硬币和6张10元币。）
生1（立即举手）：0.7有7个01，0.6里只有6个0.1，所以0.7比0.6大。
生2：比较两个小数的大小，我们就是要看看哪个里面计数单位的个数多。
师：同意吗？
生：同意。
师：比一比，0.07和0.6谁大？为什么？
生1：0.07大，它里面有7个0.01呢？（此时，生1的回答被打断。）
生2：不对，在计数单位一样时，谁的个数多，谁就大。（接下来，有不少同学发表同样的看法，这时，一生提出了问题。）
生3：那计数单位不一样，怎么比呢？
（学生主动进行讨论交流，他们已经忘了老师的存在。）
生1：0.6里有6个0.1，可以换成60个0.01来比嘛！
生2：0.07还不足0.1呢，当然没有0.6大！
生3：用两个一样大的正方形分一分，涂一涂就看出来了。
生4：如果把他们都想成是钱的话，0.07元相当于7分钱，0.6元相当于6角呢！
……
师：刚才我们利用多种方法比较出两个小数的大小，可是，每次都慢慢想道理也挺烦的，你能联系整数大小比较的方法，说一说，小数的大小怎么比较，再利用自己总结的方法，试着比两个小数的大小，看一看，你的方法灵不灵。 ……
说实话，上课前，我认为学生凭借这么多年的經验的积累，应该很容易比较出两个小数的大小，根据整数大小比较的方法也应该能顺利地迁移到小数的大小比较中。但事实并非如此，是因为学生笨吗？显然不是。是因为学生的数学思维能力没有得到科学有序的发展，是因为学生手中拥有的解决问题的武器少之又少。课上完后，我无比庆幸：我无意中的一次等待让孩子们思维勃发，他们在一次次的思维碰撞中表现出了极强的自我批判、自我完善、去同求异的意识和能力，相对于接受刻板的数学知识，前者更重要。
三、重视数学结构化，让思维变“宽”
数学学科一个很重要的特征就在于它的结构化，这种结构化既表现在数学知识分条块螺旋上升，又表现在数学方法对解决同一类问题的普适性。在平时的教学中，教师花一定的时间有意识地向学生呈现数学的结构化特点，就能使学生提高对数学知识深层建构的能力，增强学生对数学思想方法的领悟能力，使学生数学思维变宽，进而切实提高学生对数学思想方法“调兵遣将”的能力，即数学学习能力。我选取一个《小数加减法》的例子，与大家分享我的心得：
师：孩子们，前面我们已经认识了小数，据你的估计，接下来，我们可能研究什么？
生1：计算。
师：你怎么会这样想？
生：整数中我们就是这样学的。
师：那你们想一想，我们先研究什么比较好？
生：加法吧，加法简单些。
生2：我也认为加法，会加了，才会乘呢。
生3：减法是加法的逆运算，没有加，哪来减啊！
生4：加法的可能性大，因为过去我们也是先学加法，再学其他的运算的。
师：好的，就按你们的意见办！你能说一道小数加法吗？（生举例：0.1 0.2，0.3 0.06，99.7 0.85）
师：说一说，哪一题你有把握算？
生：0.1 0.2=0.3。
师：你是怎么想的？
生：1个0.1加上两个0.1，一共3个0.1就是0.3。
师：谁会算0.3 0.06？
生1：3个加6个就是9个，所以得0.9。
生2：不对，这里3个不能加6个，因为计数单位不一样。
生3：把3个0.1换成30个0.01，就能和6加了。
师：换一换其实达到了什么目的？
生：计数单位一样的两个数能直接相加。
师：你怎么知道的？
生：整数加法中老师就是这么讲的。
师：99.7 0.85呢？
生：太复杂了，列竖式算。
师：怎么列呢？
生1：像整数加法一样，数位对齐。
生2：相同数位对齐。
师：那就请同学们自己动手算一算吧！
……
师：回顾刚才计算的过程，你能总结一下，怎样又快又好地进行小数加减法的计算呢？
生1：和整数加减法一样，借助竖式，相同数位对齐，从低位算起。
生2：加法时满十进一，减法退位时借一当十。
……
在这节数学课上，教师花了不少时间和精力让学生去想：我们认识小数后，接下来会学什么？如果是计算，你猜应该会先学什么？引导学生走进数学世界，像一个数学家一样经历数学研究的过程，体会数学的发展过程；带领学生站在课程建设者的高度审视自己的数学学习历程，为学生今后研究、思考数学提供方向。在涉及具体的小数加减计算时，教师尝试让学生自己去研究，不管是具体的运算方法还是方法背后隐藏的算理，教师都愿意花上时间，等待学生自己去发现，去调整，去总结，去对比，去反思。学生没有让教师失望，他们不仅自己凭直觉迁移了整数加减计算的方法，而且在和同伴的合作交流、思维碰撞中理解了这样做的道理何在，更难能可贵的是学生主动选择了计算的形式：遇到复杂的小数加减计算，可以用竖式。
著名的诺贝尔生理医学奖获得者麦克林·托克说：“我是一朵在深秋开放的雏菊，我坚信，不是每一朵花都在春天开放。”让我们重视每一个学生在数学上的最优发展，静静等待花开。在今天，我们可能还不能看到花开的样子，但在十年后，二十年后……花儿一定会开放。有勇气和智慧走在这个等待过程中的你，一定能时时、处处听到花开的声音。
关键词： 数学发展 数学思维 长度 宽度 厚度
新课程实施以来，教师们围绕课程总目标合理整合教学内容，不断优化教学方法，使学生的数学素养、解题能力、创新意识有了很大的提高，但我们也发现：学困生数量在增加，学生在数学学习上两极分化的现象越来越明显，虽然有不少学生越来越喜欢学数学，但是也有越来越多的学生怕学数学。有人说，《数学课程标准》明确提出：让不同的人在数学上得到不同的发展，所以出现上述状况是可以被理解和接受的。我的理解是：学生在数学上获得的不同的发展应该是基于每个学生学习数学的潜能被最大限度发掘基础上的学生个体的最优发展，而不是学生在学习数学方面的“自生自灭”，甚至是教师不科学的教学行为的“生生扼杀”。片面理解甚至曲解学生数学发展的含义，重视为学生呈现结果，忽视让学生经历学的过程是造成学生在数学上得不到最优发展的重要因素。因此，教师要在全面把握学情，深刻理解教材的基础上找准学生学习的落脚点，在拓展学生思维长度、宽度和厚度上做文章，利用数学结构化的特点，促进每个学生在数学学习上获得最优发展。
一、找准认识起点，让思维变“长”
良好的开端是成功的一半。这就需要教师在每节课的开始为学生找到恰当的认知起点，让他顺利地“进”课堂。教师要深入了解学生已经具备多少与学习本节课内容密切相关的知识经验，方法策略，能力基础，并根据大部分学生实际，确定学生触手可及的认识起点，必要时适当调低学生的认识起点，帮助学生克服对数学学习的畏难情绪，让他们带着成功的情绪体验顺利进入新知的学习。以《三角形的面积计算》一课为例，如果仅从数学的逻辑起点分析学生学习这节课的知识基础，则应该是前面刚刚掌握的平行四边形面积计算方法，策略经验则应该是利用转化的策略把三角形转化成平行四边形，具体方法是剪拼，不少教师在上这节课时都是一下子给出一个一般三角形，期望学生能从不同角度给出多种方法。事实上，利用剪拼的方法把三角形转化成平行四边形对五年级学生来说是很难的，这样的设计不仅得不到预约的精彩，还有可能引发学生学习数学的挫败感。对这节课的教学，我们不妨降低学生的认识起点：先给出一个特殊的三角形：等腰三角形，想一想，可以转化成什么图形，怎么转化？再给出一个直角三角形，想一想，可以转化成什么图形，怎么转化？这样学生就很容易从剪拼法过渡到组拼法，从而顺利完成下面的探究任务。这样的设计，不仅利于学生完成新知的学习，更重要的是延长了不同层次的学生真正参与课堂教学的时间。
二、展示学习过程，让思维变“厚”
在数学课上要重视学生的参与，既重视学生数学技能训练的参与，更重视学生数学思维的深度参与。教师要让学生经历数学知识形成的过程，让学生在“经历”中发散思维，总结方法，经验，提高能力。下面是笔者执教《小数的大小比较》一课的片段：
师：谁来说说，0.6和0.7比，谁大？（无人应答，我的心里很着急，一句“真笨”差点脱口而出。但一想前两天学校数学素质比赛我们班级代表队铩羽而归的情景，我忍住了，我想：他们需要我给予他们更多的时间，我决定放慢脚步。）
师：没关系，你可以凭直觉猜一猜。
（过了一会儿，有一生举手。）
生：我觉得0.7大。
师：能用恰当的方法证明你的猜想吗？（摇头）
师：看看你们课前画的图呢？
（又过了一会儿，一生举手。）
生：0.7涂得多呢！
师：他说的有道理吗？（学生不假思索，纷纷点头。）
师：大家对他说的话一点意见也没有吗？（有学生露出疑惑的表情。）
师出示两个不一样大的正方形，生思考，终于有人举手。
生：把两个一样大的正方形看成整体1，都平均分成10份，涂7格要比涂6格的多。所以0.7要比0.6大。
师：用这种方法比小数的大小行吗？
生4：行是行，就是太麻烦了。
生5：我发现了，0.7有7份，0.6里只有6份，所以0.7比0.6大。（其余学生纷纷点头。）
师：份数多的数就大吗？
生：嗯，當然。
师：一定吗？（学生依然不能做出反思，我灵机一动，从口袋里掏出7枚硬币和6张10元币。）
生1（立即举手）：0.7有7个01，0.6里只有6个0.1，所以0.7比0.6大。
生2：比较两个小数的大小，我们就是要看看哪个里面计数单位的个数多。
师：同意吗？
生：同意。
师：比一比，0.07和0.6谁大？为什么？
生1：0.07大，它里面有7个0.01呢？（此时，生1的回答被打断。）
生2：不对，在计数单位一样时，谁的个数多，谁就大。（接下来，有不少同学发表同样的看法，这时，一生提出了问题。）
生3：那计数单位不一样，怎么比呢？
（学生主动进行讨论交流，他们已经忘了老师的存在。）
生1：0.6里有6个0.1，可以换成60个0.01来比嘛！
生2：0.07还不足0.1呢，当然没有0.6大！
生3：用两个一样大的正方形分一分，涂一涂就看出来了。
生4：如果把他们都想成是钱的话，0.07元相当于7分钱，0.6元相当于6角呢！
……
师：刚才我们利用多种方法比较出两个小数的大小，可是，每次都慢慢想道理也挺烦的，你能联系整数大小比较的方法，说一说，小数的大小怎么比较，再利用自己总结的方法，试着比两个小数的大小，看一看，你的方法灵不灵。 ……
说实话，上课前，我认为学生凭借这么多年的經验的积累，应该很容易比较出两个小数的大小，根据整数大小比较的方法也应该能顺利地迁移到小数的大小比较中。但事实并非如此，是因为学生笨吗？显然不是。是因为学生的数学思维能力没有得到科学有序的发展，是因为学生手中拥有的解决问题的武器少之又少。课上完后，我无比庆幸：我无意中的一次等待让孩子们思维勃发，他们在一次次的思维碰撞中表现出了极强的自我批判、自我完善、去同求异的意识和能力，相对于接受刻板的数学知识，前者更重要。
三、重视数学结构化，让思维变“宽”
数学学科一个很重要的特征就在于它的结构化，这种结构化既表现在数学知识分条块螺旋上升，又表现在数学方法对解决同一类问题的普适性。在平时的教学中，教师花一定的时间有意识地向学生呈现数学的结构化特点，就能使学生提高对数学知识深层建构的能力，增强学生对数学思想方法的领悟能力，使学生数学思维变宽，进而切实提高学生对数学思想方法“调兵遣将”的能力，即数学学习能力。我选取一个《小数加减法》的例子，与大家分享我的心得：
师：孩子们，前面我们已经认识了小数，据你的估计，接下来，我们可能研究什么？
生1：计算。
师：你怎么会这样想？
生：整数中我们就是这样学的。
师：那你们想一想，我们先研究什么比较好？
生：加法吧，加法简单些。
生2：我也认为加法，会加了，才会乘呢。
生3：减法是加法的逆运算，没有加，哪来减啊！
生4：加法的可能性大，因为过去我们也是先学加法，再学其他的运算的。
师：好的，就按你们的意见办！你能说一道小数加法吗？（生举例：0.1 0.2，0.3 0.06，99.7 0.85）
师：说一说，哪一题你有把握算？
生：0.1 0.2=0.3。
师：你是怎么想的？
生：1个0.1加上两个0.1，一共3个0.1就是0.3。
师：谁会算0.3 0.06？
生1：3个加6个就是9个，所以得0.9。
生2：不对，这里3个不能加6个，因为计数单位不一样。
生3：把3个0.1换成30个0.01，就能和6加了。
师：换一换其实达到了什么目的？
生：计数单位一样的两个数能直接相加。
师：你怎么知道的？
生：整数加法中老师就是这么讲的。
师：99.7 0.85呢？
生：太复杂了，列竖式算。
师：怎么列呢？
生1：像整数加法一样，数位对齐。
生2：相同数位对齐。
师：那就请同学们自己动手算一算吧！
……
师：回顾刚才计算的过程，你能总结一下，怎样又快又好地进行小数加减法的计算呢？
生1：和整数加减法一样，借助竖式，相同数位对齐，从低位算起。
生2：加法时满十进一，减法退位时借一当十。
……
在这节数学课上，教师花了不少时间和精力让学生去想：我们认识小数后，接下来会学什么？如果是计算，你猜应该会先学什么？引导学生走进数学世界，像一个数学家一样经历数学研究的过程，体会数学的发展过程；带领学生站在课程建设者的高度审视自己的数学学习历程，为学生今后研究、思考数学提供方向。在涉及具体的小数加减计算时，教师尝试让学生自己去研究，不管是具体的运算方法还是方法背后隐藏的算理，教师都愿意花上时间，等待学生自己去发现，去调整，去总结，去对比，去反思。学生没有让教师失望，他们不仅自己凭直觉迁移了整数加减计算的方法，而且在和同伴的合作交流、思维碰撞中理解了这样做的道理何在，更难能可贵的是学生主动选择了计算的形式：遇到复杂的小数加减计算，可以用竖式。
著名的诺贝尔生理医学奖获得者麦克林·托克说：“我是一朵在深秋开放的雏菊，我坚信，不是每一朵花都在春天开放。”让我们重视每一个学生在数学上的最优发展，静静等待花开。在今天，我们可能还不能看到花开的样子，但在十年后，二十年后……花儿一定会开放。有勇气和智慧走在这个等待过程中的你，一定能时时、处处听到花开的声音。