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摘要：根据股票收益率的基本特性，基于正态分布、t分布和GED分布，对香港恒生指数日收益率序列建立EGARCH模型，进而以实例论证分析香港恒生指数。论证结果表明，基于GED分布假定下的EGARCH模型能更好的反映收益率的风险特性。
关键词：EGARCH模型；正态分布；t分布；GED分布
实证分析表明，股票收益是有一定波动的聚集性、分布的尖峰厚尾特性和“杠杆效应”的，然而对于现实中存在的异方差以及厚尾性，传统的风险测量方法是无法考虑全面的。因为传统的方法基本都是依赖于收益率分布的正态性假设。为了研究股票收益分布的不对称性以及杠杆性特征，Nelson（1991）提出了EGARCH模型概念。和GARCH模型对比，EGARCH模型不但减缓了对模型系数非负的限制，还使用了非线性非对称的条件方差，这不仅仅能刻画时间序列的异方差性以及波动聚集性，并且可以显示时间序列的杠杆效应。此文以股票收益率的基本特性为基点，通过EGARCH模型分析，进而对香港恒生指数进行实证分析。
一、基本理论
从Engle（1982）提出ARCH模型分析时间序列的异方差性之后，Bollerslev（1986）又提出了GARCH模型，他认为条件方差不单单同前期残差有关，同时也需要考虑滞后条件方差。实践证明，GARCH模型克服了ARCH模型参数不易估计的缺点，很好地刻画绝大多数风险资产波动率的变化特征。但它仍存在以下缺点：第一，对系数的非负性约束太强；第二，GARCH模型不能解释杠杆效应；第三，在GARCH过程中，数量大小相同的非预期报酬对条件方差具有同等程度的作用。但如果非预期负报酬与同幅度的非预期正报酬对比，前者对可预测波动影响更大。而GARCH模型没有考虑到这种非对称性，这将会低估非预期负报酬对波动的作用，高估非预期正报酬对波动的作用。正因为是在这种情况下，Nelson（1991）提出了EGARCH模型。
下面是EGARCH模型具体的表达形式：
lnht=α0+∑pi=1βilnht-i+∑qj=1γjεt-jht-j+αjεt-jht-j
其中，αj为滞后参数；条件方差ht为时变的且正定；γj为价格冲击的不对称效应参数；βi为方差参数。
此文采用EGARCH（1，1）模型来刻画股市收益率的波动情况，并且比较正态分布、t分布以及GED分布下的结果。
二、数据描述和参数估计
（一）数据的选取和处理
本文选取样本数据为2003年1月2日到2016年3月31日的香港恒生指数的收盘价，共3315个香港恒生指数。我们通过公式rt=lnpt-lnpt-1计算香港恒生指数的收益率。其中，pt为第t个交易日的收盘价。
由表1知，香港恒生指数的日收益率均值为0000248，标准差为00151，峰度为128082，偏度为00806，J-B统计量为1251416。由于其峰度大于3，J-B统计量远大于临界值59915，说明香港恒生指数的日收益率表现出了明显的尖峰厚尾特征，背离了正态分布的特性。
（二）模型参数估计
在对香港恒生指数的日收益率序列进行ADF单位根以及GARCH效应检验验证中显示，序列平稳，并且残差序列存在GARCH效应。
通过EGARCH模型拟合香港恒生指数的日收益率序列，并且分别假设标准差服从正态分布、t分布和GED分布，验证结果见下表2：
通过表2得知，在t分布以及GED分布假设下模型的AIC值小于正态分布假设下的AIC值。模型在GED分布假设下的AIC值相对t分布下的较小。这就表明在厚尾分布假设下EGARCH模型对香港恒生指数的日收益率序列的拟合效果要好一些。并且EGARCH（1，1）-GED模型对序列的拟合效果最好。
（三）收益率VaR值的计算
VaR称为在险价值，是指在正常市场条件和一定置信水平下，未来特定时间内资产或资产组合可能遭受的最大损失。公式表示为：VaRt=ω0Er-rα。其中，表示资产的初始价值，rα表示在一定置信水平α下的VaR。将ω0标准化为1元，计算VaR值如下表3、表4。
由表3和表4知，在GED分布假设下测算的VaR值显著的小于在t分布假设下测算的VaR值。
（四）模型的后验测试
为了验证不同分布假设下所构建模型的有效性，此文用估计出的EGARCH（1，1）模型计算出的VaR和实际收益率进行对比，计算e=EN，其中，E=∑Ni=1Ei，Ei=0，rα≤r1，rα>r，N为样本数。将e值与1-α值进行比较，来判断模型的精准性。若1-α 由表5知，在95%的置信水平下，基于正态分布和GED分布的EGARCH模型均能较好的估计香港股市的风险。对于99%的置信水平，t分布和GED分布的EGARCH模型又能较好的估计出香港股市的风险，尽管在基于GED分布假设下略微低估了香港股市的风险。但总的来看，基于GED分布的EGARCH模型更好的拟合了香港恒生指数日收益率序列的分布特征。
三、结论
对上述模型进行分析，得出了以下四点结论：
第一，香港恒生指数日收益率存在着明显的波动聚集、条件异方差和杠杆效应。
第二，在EGARCH-t模型下，香港股市对正冲击的反应系数为α1+γ1=00654，对负冲击的反应系数为-α1+γ1=-01922；在EGARCH-GED模型下，香港股市对正冲击的反应系数为α1+γ1=006699，对负冲击的反应系数为-α1+γ1=-01902。由此可知，香港股市对负的冲击反映幅度要大于对正的冲击的反映幅度。
第三，α1+β1得出了冲击的衰减速度，越接近1，表明衰减速度越慢，波动持续性越强。若模型的估计值α1均大于零，则说明股市波动呈集群现象，过去的波动扰动正向影响着未来的波动扰动。假如大于且接近1，股市持续性波动，市场一旦受到冲击发生异常，在短时间内就难以消除。
第四，在t分布假设下，ν<30，表明收益率分布的尾部大于正态分布。而在GED分布假设下，ν<2，则进一步论证了收益率分布呈现的尖峰厚尾性。因此，出现集中而强烈的不规则信息冲击的可能性更大。（作者单位：兰州财经大学统计学院）
参考文献：
[1]龚锐，陈仲常，杨栋锐.2005年：《GRACH族模型计算中国股市在险价值（VaR）风险的比较研究与评述》[J].《数量经济技术经济研究》，2005年第7期.
[2]章超，陈希骏，王敏.GRACH模型对上海股市的一个实证研究[J].运筹与管理，2005，14（4）：144-146.
[3]汪飞星，李勇静.利用遗传算法对上证综指EGARCH模型的实证分析 [J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2007，30（1）：28-30.
关键词：EGARCH模型；正态分布；t分布；GED分布
实证分析表明，股票收益是有一定波动的聚集性、分布的尖峰厚尾特性和“杠杆效应”的，然而对于现实中存在的异方差以及厚尾性，传统的风险测量方法是无法考虑全面的。因为传统的方法基本都是依赖于收益率分布的正态性假设。为了研究股票收益分布的不对称性以及杠杆性特征，Nelson（1991）提出了EGARCH模型概念。和GARCH模型对比，EGARCH模型不但减缓了对模型系数非负的限制，还使用了非线性非对称的条件方差，这不仅仅能刻画时间序列的异方差性以及波动聚集性，并且可以显示时间序列的杠杆效应。此文以股票收益率的基本特性为基点，通过EGARCH模型分析，进而对香港恒生指数进行实证分析。
一、基本理论
从Engle（1982）提出ARCH模型分析时间序列的异方差性之后，Bollerslev（1986）又提出了GARCH模型，他认为条件方差不单单同前期残差有关，同时也需要考虑滞后条件方差。实践证明，GARCH模型克服了ARCH模型参数不易估计的缺点，很好地刻画绝大多数风险资产波动率的变化特征。但它仍存在以下缺点：第一，对系数的非负性约束太强；第二，GARCH模型不能解释杠杆效应；第三，在GARCH过程中，数量大小相同的非预期报酬对条件方差具有同等程度的作用。但如果非预期负报酬与同幅度的非预期正报酬对比，前者对可预测波动影响更大。而GARCH模型没有考虑到这种非对称性，这将会低估非预期负报酬对波动的作用，高估非预期正报酬对波动的作用。正因为是在这种情况下，Nelson（1991）提出了EGARCH模型。
下面是EGARCH模型具体的表达形式：
lnht=α0+∑pi=1βilnht-i+∑qj=1γjεt-jht-j+αjεt-jht-j
其中，αj为滞后参数；条件方差ht为时变的且正定；γj为价格冲击的不对称效应参数；βi为方差参数。
此文采用EGARCH（1，1）模型来刻画股市收益率的波动情况，并且比较正态分布、t分布以及GED分布下的结果。
二、数据描述和参数估计
（一）数据的选取和处理
本文选取样本数据为2003年1月2日到2016年3月31日的香港恒生指数的收盘价，共3315个香港恒生指数。我们通过公式rt=lnpt-lnpt-1计算香港恒生指数的收益率。其中，pt为第t个交易日的收盘价。
由表1知，香港恒生指数的日收益率均值为0000248，标准差为00151，峰度为128082，偏度为00806，J-B统计量为1251416。由于其峰度大于3，J-B统计量远大于临界值59915，说明香港恒生指数的日收益率表现出了明显的尖峰厚尾特征，背离了正态分布的特性。
（二）模型参数估计
在对香港恒生指数的日收益率序列进行ADF单位根以及GARCH效应检验验证中显示，序列平稳，并且残差序列存在GARCH效应。
通过EGARCH模型拟合香港恒生指数的日收益率序列，并且分别假设标准差服从正态分布、t分布和GED分布，验证结果见下表2：
通过表2得知，在t分布以及GED分布假设下模型的AIC值小于正态分布假设下的AIC值。模型在GED分布假设下的AIC值相对t分布下的较小。这就表明在厚尾分布假设下EGARCH模型对香港恒生指数的日收益率序列的拟合效果要好一些。并且EGARCH（1，1）-GED模型对序列的拟合效果最好。
（三）收益率VaR值的计算
VaR称为在险价值，是指在正常市场条件和一定置信水平下，未来特定时间内资产或资产组合可能遭受的最大损失。公式表示为：VaRt=ω0Er-rα。其中，表示资产的初始价值，rα表示在一定置信水平α下的VaR。将ω0标准化为1元，计算VaR值如下表3、表4。
由表3和表4知，在GED分布假设下测算的VaR值显著的小于在t分布假设下测算的VaR值。
（四）模型的后验测试
为了验证不同分布假设下所构建模型的有效性，此文用估计出的EGARCH（1，1）模型计算出的VaR和实际收益率进行对比，计算e=EN，其中，E=∑Ni=1Ei，Ei=0，rα≤r1，rα>r，N为样本数。将e值与1-α值进行比较，来判断模型的精准性。若1-α
三、结论
对上述模型进行分析，得出了以下四点结论：
第一，香港恒生指数日收益率存在着明显的波动聚集、条件异方差和杠杆效应。
第二，在EGARCH-t模型下，香港股市对正冲击的反应系数为α1+γ1=00654，对负冲击的反应系数为-α1+γ1=-01922；在EGARCH-GED模型下，香港股市对正冲击的反应系数为α1+γ1=006699，对负冲击的反应系数为-α1+γ1=-01902。由此可知，香港股市对负的冲击反映幅度要大于对正的冲击的反映幅度。
第三，α1+β1得出了冲击的衰减速度，越接近1，表明衰减速度越慢，波动持续性越强。若模型的估计值α1均大于零，则说明股市波动呈集群现象，过去的波动扰动正向影响着未来的波动扰动。假如大于且接近1，股市持续性波动，市场一旦受到冲击发生异常，在短时间内就难以消除。
第四，在t分布假设下，ν<30，表明收益率分布的尾部大于正态分布。而在GED分布假设下，ν<2，则进一步论证了收益率分布呈现的尖峰厚尾性。因此，出现集中而强烈的不规则信息冲击的可能性更大。（作者单位：兰州财经大学统计学院）
参考文献：
[1]龚锐，陈仲常，杨栋锐.2005年：《GRACH族模型计算中国股市在险价值（VaR）风险的比较研究与评述》[J].《数量经济技术经济研究》，2005年第7期.
[2]章超，陈希骏，王敏.GRACH模型对上海股市的一个实证研究[J].运筹与管理，2005，14（4）：144-146.
[3]汪飞星，李勇静.利用遗传算法对上证综指EGARCH模型的实证分析 [J].辽宁师范大学学报（自然科学版），2007，30（1）：28-30.