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摘要：教学《利用导数研究函数的单调性》一课时，在复习函数单调性定义的环节，引导学生注意关键词的含义；在判断一次函数单调性的环节，引导学生注意数学语言的严谨性；在判断高次函数单调性的环节，引导学生理解导数的几何意义；
在判断对数函数单调性的环节，引导学生注意函数单调性的前提条件。由此，感悟到：学生在学习新知识的过程中犯错是正常现象；
学生的典型错误往往蕴含着正确想法的基因；数学教学应在深度“对话”中自然建构。
关键词：学生错误对话教学导数函数单调性
德国哲学家尼采认为：“时不时地犯错是人类天性的一部分。”英国哲学家波普尔进一步指出：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。对于错误的恐惧是将我们锁在平庸城堡中的大门。只有克服这种恐惧，我们才能够朝着自由迈出重要的一步。”下面，结合《利用导数研究函数的单调性》一课的几个教学片段，谈谈我们对于学生所犯错误的认识与思考。
一、教学片段
（一）复习函数单调性定义：注意关键词的含义
师前面一段时间我们研究了导数，还记得它是准备用来做什么的吗？
生准备用来研究函数单调性的。
师那么，你已经知道函数单调性的哪些内容了？
生我知道函数单调性的定义，知道怎么证明函数的单调性。
师那你说说函数单调性的定义。
（教师投影：函数单调性的定义是什么？）
生在定义域内，取x1、x2，且x1f（x2），则函数f（x）在其定义域内为减函数。
（教师板书。）
生（叫嚷）不对！
师哪里不对了？
生x1、x2应该在定义域的某个子集里面取，而且应该是任取的。
师为什么有这样的要求呢？
生因为有的函数在定义域内不具备单调性。
师比如？
生例如y=x2。
师很好！我们知道函数的单调性是一个局部概念，在定义中需要强调的是在定义域的一个子集（区间）内任意取x1、x2。
（教师更正板书。）
（二）判断一次函数单调性：注意数学语言的严谨性
师刚才我们回忆了函数单调性的定义，那么请同学们思考第二个问题。
（教师投影：如何判断函数y=2x-3的单调性？）
生因为函数斜率大于0，所以此函数在定义域内单调递增。
师函数的斜率？
生哦，不是。是这个一次函数（方程）对应的图像（直线）的斜率。
师嗯，要注意语言的严谨性。那么如果函数是y=-x+1呢？
生因为它对应的直线的斜率小于0，所以这个函数在定义域内单调递减。
师也就是说，一次函数的单调性与相应直线的斜率有关。
（三）判断高次函数单调性：理解导数的几何意义
师请同学们看第三个问题。
（教师投影：如何判断函数y=x2-4x+3的单调性？）
生这个函数在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。
师你是怎么得到这个结论的？
生把函数配方成y=（x-2）2-1，可以得到函数图像的顶点坐标。因为二次项系数为1，大于0，所以图像开口向上。再找出两个对称点（0，3）、（4，3），可以画出简图。由图像可知函数在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。
师大家看看，这个结论寻求的过程对吗？它与上一个函数单调性的研究有什么不同？
生第一个是利用相应直线的斜率得出函数的单调性，第二个是利用函数的图像。
师那么，这次为什么不依然利用斜率刻画函数的单调性呢？
生这个函数的图像是曲线，没有斜率。
师嗯，直线有斜率是我们早已知道的，那么曲线真的没有“斜率”吗？
（学生思考。）
生哦，不对。可以用曲线上一点处切线的斜率来表示。
师你准备怎么表示呢？
生对函数y=x2-4x+3求导，得y′=2x-4。取函数值f′（2）=0，f′（0）=-4<0。再在（-∞，2）上任意取x，都有f′（x）<0，所以（-∞，2）是函数的单调减区间。
生（-∞，2）上有无数个数x，你怎知道都有f′（x）<0？
师你怎么解释同学提出的疑惑？
生因为当x0<2时，f′（x0）<0恒成立。
师“当x0<2时，f′（x0）<0恒成立”如何得到？
生因为y′=2x-4在（-∞，2）上是增函数，所以f′（x） 师也就是说，这个二次函数可以避开图像，从数的角度得出单调性了？
生是的。
师那这个函数呢？
（教师投影：一个三次函数y=x3+2x2，画不出函数图像，你能否從上面的分析中类似地得出答案？
学生在座位上演算。教师巡视，请一位做出来的学生站起来回答。）
师从这三种函数的研究过程中，你能总结出什么样的结论呢？
（学生思考。）
生对于一个函数，解f′（x）<0就能求出单调减区间，同样f′（x）>0解出的就是单调增区间。
师这个结论对于更为一般的函数是否适用呢？若想说明它具备一般性，应该怎么办？
生证明。
师怎么证明？
生利用学过的函数单调性的定义。
师还得回归单调性的定义。（指着刚才板书的函数单调性的定义）观察定义，怎么和导数联系在一起呢？
在判断对数函数单调性的环节，引导学生注意函数单调性的前提条件。由此，感悟到：学生在学习新知识的过程中犯错是正常现象；
学生的典型错误往往蕴含着正确想法的基因；数学教学应在深度“对话”中自然建构。
关键词：学生错误对话教学导数函数单调性
德国哲学家尼采认为：“时不时地犯错是人类天性的一部分。”英国哲学家波普尔进一步指出：“错误中往往孕育着比正确更丰富的发现和创造因素。对于错误的恐惧是将我们锁在平庸城堡中的大门。只有克服这种恐惧，我们才能够朝着自由迈出重要的一步。”下面，结合《利用导数研究函数的单调性》一课的几个教学片段，谈谈我们对于学生所犯错误的认识与思考。
一、教学片段
（一）复习函数单调性定义：注意关键词的含义
师前面一段时间我们研究了导数，还记得它是准备用来做什么的吗？
生准备用来研究函数单调性的。
师那么，你已经知道函数单调性的哪些内容了？
生我知道函数单调性的定义，知道怎么证明函数的单调性。
师那你说说函数单调性的定义。
（教师投影：函数单调性的定义是什么？）
生在定义域内，取x1、x2，且x1
（教师板书。）
生（叫嚷）不对！
师哪里不对了？
生x1、x2应该在定义域的某个子集里面取，而且应该是任取的。
师为什么有这样的要求呢？
生因为有的函数在定义域内不具备单调性。
师比如？
生例如y=x2。
师很好！我们知道函数的单调性是一个局部概念，在定义中需要强调的是在定义域的一个子集（区间）内任意取x1、x2。
（教师更正板书。）
（二）判断一次函数单调性：注意数学语言的严谨性
师刚才我们回忆了函数单调性的定义，那么请同学们思考第二个问题。
（教师投影：如何判断函数y=2x-3的单调性？）
生因为函数斜率大于0，所以此函数在定义域内单调递增。
师函数的斜率？
生哦，不是。是这个一次函数（方程）对应的图像（直线）的斜率。
师嗯，要注意语言的严谨性。那么如果函数是y=-x+1呢？
生因为它对应的直线的斜率小于0，所以这个函数在定义域内单调递减。
师也就是说，一次函数的单调性与相应直线的斜率有关。
（三）判断高次函数单调性：理解导数的几何意义
师请同学们看第三个问题。
（教师投影：如何判断函数y=x2-4x+3的单调性？）
生这个函数在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。
师你是怎么得到这个结论的？
生把函数配方成y=（x-2）2-1，可以得到函数图像的顶点坐标。因为二次项系数为1，大于0，所以图像开口向上。再找出两个对称点（0，3）、（4，3），可以画出简图。由图像可知函数在（-∞，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增。
师大家看看，这个结论寻求的过程对吗？它与上一个函数单调性的研究有什么不同？
生第一个是利用相应直线的斜率得出函数的单调性，第二个是利用函数的图像。
师那么，这次为什么不依然利用斜率刻画函数的单调性呢？
生这个函数的图像是曲线，没有斜率。
师嗯，直线有斜率是我们早已知道的，那么曲线真的没有“斜率”吗？
（学生思考。）
生哦，不对。可以用曲线上一点处切线的斜率来表示。
师你准备怎么表示呢？
生对函数y=x2-4x+3求导，得y′=2x-4。取函数值f′（2）=0，f′（0）=-4<0。再在（-∞，2）上任意取x，都有f′（x）<0，所以（-∞，2）是函数的单调减区间。
生（-∞，2）上有无数个数x，你怎知道都有f′（x）<0？
师你怎么解释同学提出的疑惑？
生因为当x0<2时，f′（x0）<0恒成立。
师“当x0<2时，f′（x0）<0恒成立”如何得到？
生因为y′=2x-4在（-∞，2）上是增函数，所以f′（x）
生是的。
师那这个函数呢？
（教师投影：一个三次函数y=x3+2x2，画不出函数图像，你能否從上面的分析中类似地得出答案？
学生在座位上演算。教师巡视，请一位做出来的学生站起来回答。）
师从这三种函数的研究过程中，你能总结出什么样的结论呢？
（学生思考。）
生对于一个函数，解f′（x）<0就能求出单调减区间，同样f′（x）>0解出的就是单调增区间。
师这个结论对于更为一般的函数是否适用呢？若想说明它具备一般性，应该怎么办？
生证明。
师怎么证明？
生利用学过的函数单调性的定义。
师还得回归单调性的定义。（指着刚才板书的函数单调性的定义）观察定义，怎么和导数联系在一起呢？