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“再创造”是由荷兰著名数学家、数学教育家汉斯·弗赖登塔尔教授提出的.他认为,教学不是为了“教”而教,而应当在教学中充分注意学生的活动,让学生通过再创造的过程来学习数学.“授人以鱼,不如授人以渔”.显而易见,“再创造”的教学原理对于发展学生自主学习的意识和独立思维的能力,都有一定的独创性与积极性,更突出了数学中让学生经历“再创造”的必要性.那么,在新课程的背景下,我们在数学教学中运用“再创造”时应遵循哪些教学原则,又该采用何种教学框架呢?下面就谈谈笔者的粗浅理解和教学实践.
一、“再创造”应遵循的原则和教学框架
1.“数学现实”原则.“数学现实”是客观现实与人的数学认识的统一体,是学习者用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体.每个学生都有自己的生活,学习和思考着特定的客观世界,以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规律及相关的数学知识结构.“再创造”教学只有根据学生实际拥有的“数学现实”,采取相应的方法予以丰富,予以扩展,才能收到实效.“数学现实”策略就是教师从学生的“数学现实”出发,努力探索一种适合学生自主发展的教学模式,进行“再创造”教学.
2.情意相融原则.“情”指情感,这是随情境设计随时变动的因素;“意”指学生对待学习的意念,这是以往学习和生活经历中积累下来的个性心理品质,相对比较稳定.情意相融策略就是教师通过“再创造”的教学设计来全面调动学生的非智力因素,使学生在学习过程的不同层次中始终处于积极、创造的状态,以“情”的激发促进“意”的发展和优化.
3.学生主体原则.“再创造”的学习过程中,学生实际在经历一个做数学的过程,需要学生本人把要学的东西发现或创造出来.教学中,教师应充分发挥学生的自主性,善于激发学生的能动性,鼓励学生的创造性,让学生通过自己的努力去发现问题、分析问题和解决问题,使之成为学习的主体.
4.开放性原则.在“再创造”活动中坚持开放性原则是指学生在“再创造”活动中的心态是开放的,是不受压抑的;“再创造”的内容不拘泥于教材,也不受限于教师的视野;重视问题的创新和开放性的解题思路的训练,以及解题后的“再创造”;给学生更多的创造机会和更广阔的创造空间.
在中学数学课堂上,常可以实施这样一种“再创造”的教学框架:
创新问题
→“开创”思路
→问题解决
→解后再“创”
→反思升华
二、“再创造”的课例探究
依照弗赖登塔尔提的“数学现实”原则、情意相融原则、学生主体原则和开放性原则等基本理念优化课堂教学,要针对现行的中学数学教学内容的特点,突出创新问题和开创思路两个环节,依据“再创造”的教学框架,构建适合不同教学内容的特点操作程序.“再创造”教学按知识结构设计
教学过程,常由三个层次组成.
1.理论教学中的“再创造”.在数学理论的教学中,以“再创造”原理为指导,着重启发学生独立思考、自主探索,实质是一种化归思想,把新知识转化为旧知识,未知的知识转化为已知的知识.定理、定义的学习和公式、法则的推导,教师应启发学生自己去发现和“创造”.不具备的转化条件,可以“创造”出来;不明显的转化方法,也可以“创造”出来.
2.解题教学中的“再创造”.解题教学中,致力于训练学生的创造性思维,培养学生的创造力.数学的解题活动,应由学生自主探索进行,教师的作用应体现在创设情境、启迪思维和指导方向上.学习解题最好的途径是自己去发现,最终的目的是学会去应用.教师应指导学生通过 “举一反三”或“举三反一”等变式,深刻认识和理解数学知识的本质,自主总结解题思想方法.
典例1 (2013年高考安徽理)
设函数f n(x)=-1+x+x222+
x332+…+xnn2(x∈R
,n∈N
*)
,证明:
(Ⅰ)对每个n∈
N*,存在唯一的
xn∈[23,1],满足
f n(xn)=0.
(Ⅱ)对任意p∈
N*,由(Ⅰ)中xn构成的数列{xn}满足
0 本题对考生而言,拿到题目后几乎一头雾水,不知所措,再则n,P,xn,xn+p,f n(xn)等抽象表达参与其中,大大增加的问题理解和解答的难度.在本题的解题教学中,教师应本着化抽象为具体、化一般为特殊,深刻认识和理解数学知识的本质,达到既能够正确的理解题意、又能实现最佳解题教学的“再创造”之目的.
开创思路:教师将问题设计为以下“问题序列”:
①分别写出f 1(x),f 2(x),f 3(x)的函数表达式.
②研究函数f 1(x),f 2(x),f 3(x)彼此之间的关系式.
③判断函数f 1(x),f 2(x),f 3(x)在
[23,1]上是否有唯一的零点?
④若函数f 2(x),f 3(x)的零点分别为x2,x3,试比较x2,x3的大小.
⑤当n=2时,分别就p=1、p=2,证明: x2-x2+p<12.
问题解决:让学生分组尝试,独立探究上述“问题序列”的解法
①f 1(x)=-1+x;f 2(x)=-1+x+x222;f 3(x)=-1+x+x222
+x332.
②f 2(x)=f 1(x)+x222
;f 3(x)=f 2(x)+x333;f 3(x)=
f 1(x)+x222
+x333.
③易知f 1(1)=0;而x>0,f 2′(x)=1+x2>0,且 f 2(1)=f 1(1)+122=122>0,又
f 2(23)=-1+23+
(23)222
=
-13+19=-29<0
,由零点存在定理知函数
f 2(x)
在[23,1]上有唯一的零点. 同理可证
f 3(x)在
[23,1]上有唯一的零点.
值得注意的是,若判断
f 4(23)=-1+23+
(23)222+
(23)332
+(23)442
的符号,直接计算岂不更烦!如何处置呢?观察式子结构知后三项有类似的特征且后三项的分子可组成等比数列.于是我们可打后三项分母的主意了——实施放缩.
f 4(23)=-1+23+(23)222
+(23)332
+(23)442
=-13
+(23)222+(23)3
32+(23)442
≤-13
+(23)222
+(23)323
+(23)422
=
-13
+14
·(23)2[1-
(23)3]1-23
=-13(23)3<0
——几乎完美!
④由③知f 2(x2)=0,f 3(x3)=0再由②
x>0,f 3(x)=f 2(x)+x332>f 2(x);所以f 3(x2)>
f 2(x2)=0=f 3(x3).
又f 3(x)在(0,+∞)上单调递增,所以
x3 23
≤x4 等.
⑤首先当
n=2时,f 2(x2)=-1+x2+x2222=0(*)
当p=1时,f 3(x3)=-1+x3+x2322
+x3332=0(**)
由(**)-(*)并移项得,
x3-x2=122(x23-x22)+
x3332≤x3332
≤132<12×3=12
-13<12.
当p=2时,f 4(x4)=-1+x4+x2422
+x3432
+x3432
+x4442=0(***)
由(***)-(*)并移项得
x4-x2=122(x24-x22)+
x3432+x44
42≤x3432+
x44
42
≤132+142
<12×3+13×4=
12-14<12.
解后再创:由特殊步入一般
解:(Ⅰ)对每个n∈
N*,当x>0时,
f n′(x)=1+x2+…+
xn-1n>0,故
f n(x)在(0,+∞)内单调递增. 由于
f 1(1)=0, 当n≥2时,
f n(1)=122+
132+…+1n2>0,故
f n(1)>0.又
f n(23)=-1+23
+
∑nk=2
(23)kk2
≤-13+14
∑nk=2
(23)k=-
13
+14
(23)2[
1-(23)n-1
]1-23
=-13
(23)n-1<0,
所以存在唯一的xn∈[23,1],满足
f n(xn)=0.
(Ⅱ)当x>0时,
f n+1(x)=f n(x)+xn+1(n+1)2>f n(x)
,故
f n+1(xn)>f n(xn)-f n+1(xn+1)-0
,
由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,
xn+1 ,故{xn}为单调递减数列.
从而对任意的n,p∈
N*,xn+p 对任意的p∈
N*,由于
f n(xn)=-1+xn+x2n22+…+
xnnn2=0
①
f n+p(xn+p)=-1+xn+p+x2n+p22+…
+xnn+nn2+
xn+1n+n(n+1)2+…+
xn+nn+p(n+p)2=0
②
①式减去②式并移项,利用
0 ,得
xn-xn+p=
∑nk=2 xkn+p-xknk2
+
∑n+pk-n+1
xkn+pk2≤
∑n+pk=n+1xkn+pk2
≤
∑n+pk=n+11k2<
∑n+pk=n+1
1k(k-1)=1n
-1n+p<1n.
因此,对任意p∈ N*,都有0 <1n.
反思升华:本题主要考查函数的导数及其应用,函数零点的判定,等比数列的求和,以及不等式的放缩等基础知识和基本技能,考查综合运用知识分析和解决问题的能力,推理论证和运算求解能力.
(三)复习课教学的“再创造”
复习课教学是中学数学必不可少的重要课型.复习的目的不仅在于使学生在记忆上再现学过的定理、定义、公式、法则以及解题方法;还应使学生对新旧知识做更明确的归纳、比较,发现解决同类问题的方法的异同;更重要的是启发学生以新的观点分析学过的知识,开展创造性学习活动.教师应引导学生积极思考、交流合作、发现 “创造”;通过进行思维训练,提高创造能力.
比如,空间几何体的三视图是高中新课程的新增内容之一,考纲要求能画出简单空间图形的三视图,而且会根据几何体的三视图识别或想象出原几何体的立体模型.在近年各地高考的考查中,该题型屡见不鲜,考生普遍感到很棘手,其难点是由三视图还原实物图,特别是三视图中给出的量和点与线、线与线位置关系是指实物图中哪个量和线、面位置关系.为了帮助学生更好地掌握三视图还原实物图的方法步骤,笔者在高三复习课的教学中,采用“再创造”的教学,取得了令人满意的教学效果.其核心内容是:
一个规律: 三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.
两种对应
图1
三个步骤 :
(1)先画正方体或长方体,在正方体或长方体底面(或后侧面,或右侧面)上截取出俯视图(或主视图,或侧视图)形状;
(2)依据正视图和侧视图(或正视图和俯视图,或俯视图和侧视图)有无垂直关系和节点,确定并画出在刚刚截取出的俯视图(或侧视图,或正视图)中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中无需垂直拉升的节点,不能确定的先垂直拉升),由高平齐确定其长短(或由长对正确定其长短,或由宽相等确定其长短);
(3)将垂直拉升线段的端点和正视图和侧视图的节点及俯视图(或侧视图或主视图)各节点连线后,隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体.
下面请通过例题来体会.
图2
例1 将如图2所示的三视图还原为几何体.
略接:由俯视图引发
图3
当依据图3所给出的三视图和前述的两种对应可以判断几何体的底面不是水平的,则可在正方体或长方体后侧面或右侧面上截取出主视图或侧视图形状,若节点处有垂直拉升的线条,其拉升的方向相应的变更为向前或向左.
图4
例2 (2014全国1高考)如图4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
(A) 82 (B) 6
(C) 62 (D) 4
从主视图和侧视图容易判断,该几何体并不是水平放置的.显然由俯视图引发则无法奏效.此时,变更思考和操作方向定成为必然.
图5
若由主视图引发.具体步骤如下:
(1)依据俯视图,在长方体后侧面初绘ABCM(如图5).
(2)依据俯视图和侧视图中显示的垂直关系,判断出在节点A、B、C处不可能有垂直向前拉升的线条,而在M处必有垂直向前拉升的线条MD, 由俯视图和侧视图中长度,确定点D的位置(如图).
(3)将点D与点A、B、C分别连接,隐去所有的辅助线条便可得还原的几何体D-ABC(如图).
若由侧视图引发如图6 (具体步骤雷同上述步骤)
图6
试题分析:置于棱长为4个单位的正方体中研究,该几何体为四面体D-ABC,且AB=BC=4,AC=42
,DB=DC=25,可得DA=6,故最长的棱长为6,选(B).
总之,数学“再创造”是一种教学法更是一种教学策略,更多地关注过程而不是结果,需要教师在课前做好充分的准备,才能极大的彰显其魅力.学生的思维是相当活跃的,一旦被激发,其潜能不可估量,不仅能提高学生的学习兴趣和深入追寻探索的内部动力,而且能极大地提升和培养学生的创新意识和创造能力.
一、“再创造”应遵循的原则和教学框架
1.“数学现实”原则.“数学现实”是客观现实与人的数学认识的统一体,是学习者用数学概念、数学方法对客观事物的认识的总体.每个学生都有自己的生活,学习和思考着特定的客观世界,以及反映这个客观世界的各种数学概念、运算方法、规律及相关的数学知识结构.“再创造”教学只有根据学生实际拥有的“数学现实”,采取相应的方法予以丰富,予以扩展,才能收到实效.“数学现实”策略就是教师从学生的“数学现实”出发,努力探索一种适合学生自主发展的教学模式,进行“再创造”教学.
2.情意相融原则.“情”指情感,这是随情境设计随时变动的因素;“意”指学生对待学习的意念,这是以往学习和生活经历中积累下来的个性心理品质,相对比较稳定.情意相融策略就是教师通过“再创造”的教学设计来全面调动学生的非智力因素,使学生在学习过程的不同层次中始终处于积极、创造的状态,以“情”的激发促进“意”的发展和优化.
3.学生主体原则.“再创造”的学习过程中,学生实际在经历一个做数学的过程,需要学生本人把要学的东西发现或创造出来.教学中,教师应充分发挥学生的自主性,善于激发学生的能动性,鼓励学生的创造性,让学生通过自己的努力去发现问题、分析问题和解决问题,使之成为学习的主体.
4.开放性原则.在“再创造”活动中坚持开放性原则是指学生在“再创造”活动中的心态是开放的,是不受压抑的;“再创造”的内容不拘泥于教材,也不受限于教师的视野;重视问题的创新和开放性的解题思路的训练,以及解题后的“再创造”;给学生更多的创造机会和更广阔的创造空间.
在中学数学课堂上,常可以实施这样一种“再创造”的教学框架:
创新问题
→“开创”思路
→问题解决
→解后再“创”
→反思升华
二、“再创造”的课例探究
依照弗赖登塔尔提的“数学现实”原则、情意相融原则、学生主体原则和开放性原则等基本理念优化课堂教学,要针对现行的中学数学教学内容的特点,突出创新问题和开创思路两个环节,依据“再创造”的教学框架,构建适合不同教学内容的特点操作程序.“再创造”教学按知识结构设计
教学过程,常由三个层次组成.
1.理论教学中的“再创造”.在数学理论的教学中,以“再创造”原理为指导,着重启发学生独立思考、自主探索,实质是一种化归思想,把新知识转化为旧知识,未知的知识转化为已知的知识.定理、定义的学习和公式、法则的推导,教师应启发学生自己去发现和“创造”.不具备的转化条件,可以“创造”出来;不明显的转化方法,也可以“创造”出来.
2.解题教学中的“再创造”.解题教学中,致力于训练学生的创造性思维,培养学生的创造力.数学的解题活动,应由学生自主探索进行,教师的作用应体现在创设情境、启迪思维和指导方向上.学习解题最好的途径是自己去发现,最终的目的是学会去应用.教师应指导学生通过 “举一反三”或“举三反一”等变式,深刻认识和理解数学知识的本质,自主总结解题思想方法.
典例1 (2013年高考安徽理)
设函数f n(x)=-1+x+x222+
x332+…+xnn2(x∈R
,n∈N
*)
,证明:
(Ⅰ)对每个n∈
N*,存在唯一的
xn∈[23,1],满足
f n(xn)=0.
(Ⅱ)对任意p∈
N*,由(Ⅰ)中xn构成的数列{xn}满足
0
开创思路:教师将问题设计为以下“问题序列”:
①分别写出f 1(x),f 2(x),f 3(x)的函数表达式.
②研究函数f 1(x),f 2(x),f 3(x)彼此之间的关系式.
③判断函数f 1(x),f 2(x),f 3(x)在
[23,1]上是否有唯一的零点?
④若函数f 2(x),f 3(x)的零点分别为x2,x3,试比较x2,x3的大小.
⑤当n=2时,分别就p=1、p=2,证明: x2-x2+p<12.
问题解决:让学生分组尝试,独立探究上述“问题序列”的解法
①f 1(x)=-1+x;f 2(x)=-1+x+x222;f 3(x)=-1+x+x222
+x332.
②f 2(x)=f 1(x)+x222
;f 3(x)=f 2(x)+x333;f 3(x)=
f 1(x)+x222
+x333.
③易知f 1(1)=0;而x>0,f 2′(x)=1+x2>0,且 f 2(1)=f 1(1)+122=122>0,又
f 2(23)=-1+23+
(23)222
=
-13+19=-29<0
,由零点存在定理知函数
f 2(x)
在[23,1]上有唯一的零点. 同理可证
f 3(x)在
[23,1]上有唯一的零点.
值得注意的是,若判断
f 4(23)=-1+23+
(23)222+
(23)332
+(23)442
的符号,直接计算岂不更烦!如何处置呢?观察式子结构知后三项有类似的特征且后三项的分子可组成等比数列.于是我们可打后三项分母的主意了——实施放缩.
f 4(23)=-1+23+(23)222
+(23)332
+(23)442
=-13
+(23)222+(23)3
32+(23)442
≤-13
+(23)222
+(23)323
+(23)422
=
-13
+14
·(23)2[1-
(23)3]1-23
=-13(23)3<0
——几乎完美!
④由③知f 2(x2)=0,f 3(x3)=0再由②
x>0,f 3(x)=f 2(x)+x332>f 2(x);所以f 3(x2)>
f 2(x2)=0=f 3(x3).
又f 3(x)在(0,+∞)上单调递增,所以
x3
≤x4
⑤首先当
n=2时,f 2(x2)=-1+x2+x2222=0(*)
当p=1时,f 3(x3)=-1+x3+x2322
+x3332=0(**)
由(**)-(*)并移项得,
x3-x2=122(x23-x22)+
x3332≤x3332
≤132<12×3=12
-13<12.
当p=2时,f 4(x4)=-1+x4+x2422
+x3432
+x3432
+x4442=0(***)
由(***)-(*)并移项得
x4-x2=122(x24-x22)+
x3432+x44
42≤x3432+
x44
42
≤132+142
<12×3+13×4=
12-14<12.
解后再创:由特殊步入一般
解:(Ⅰ)对每个n∈
N*,当x>0时,
f n′(x)=1+x2+…+
xn-1n>0,故
f n(x)在(0,+∞)内单调递增. 由于
f 1(1)=0, 当n≥2时,
f n(1)=122+
132+…+1n2>0,故
f n(1)>0.又
f n(23)=-1+23
+
∑nk=2
(23)kk2
≤-13+14
∑nk=2
(23)k=-
13
+14
(23)2[
1-(23)n-1
]1-23
=-13
(23)n-1<0,
所以存在唯一的xn∈[23,1],满足
f n(xn)=0.
(Ⅱ)当x>0时,
f n+1(x)=f n(x)+xn+1(n+1)2>f n(x)
,故
f n+1(xn)>f n(xn)-f n+1(xn+1)-0
,
由f n+1(x)在(0,+∞)内单调递增知,
xn+1
从而对任意的n,p∈
N*,xn+p
N*,由于
f n(xn)=-1+xn+x2n22+…+
xnnn2=0
①
f n+p(xn+p)=-1+xn+p+x2n+p22+…
+xnn+nn2+
xn+1n+n(n+1)2+…+
xn+nn+p(n+p)2=0
②
①式减去②式并移项,利用
0
xn-xn+p=
∑nk=2 xkn+p-xknk2
+
∑n+pk-n+1
xkn+pk2≤
∑n+pk=n+1xkn+pk2
≤
∑n+pk=n+11k2<
∑n+pk=n+1
1k(k-1)=1n
-1n+p<1n.
因此,对任意p∈ N*,都有0
反思升华:本题主要考查函数的导数及其应用,函数零点的判定,等比数列的求和,以及不等式的放缩等基础知识和基本技能,考查综合运用知识分析和解决问题的能力,推理论证和运算求解能力.
(三)复习课教学的“再创造”
复习课教学是中学数学必不可少的重要课型.复习的目的不仅在于使学生在记忆上再现学过的定理、定义、公式、法则以及解题方法;还应使学生对新旧知识做更明确的归纳、比较,发现解决同类问题的方法的异同;更重要的是启发学生以新的观点分析学过的知识,开展创造性学习活动.教师应引导学生积极思考、交流合作、发现 “创造”;通过进行思维训练,提高创造能力.
比如,空间几何体的三视图是高中新课程的新增内容之一,考纲要求能画出简单空间图形的三视图,而且会根据几何体的三视图识别或想象出原几何体的立体模型.在近年各地高考的考查中,该题型屡见不鲜,考生普遍感到很棘手,其难点是由三视图还原实物图,特别是三视图中给出的量和点与线、线与线位置关系是指实物图中哪个量和线、面位置关系.为了帮助学生更好地掌握三视图还原实物图的方法步骤,笔者在高三复习课的教学中,采用“再创造”的教学,取得了令人满意的教学效果.其核心内容是:
一个规律: 三视图的长度特征:“长对正,宽相等,高平齐”,即正视图和侧视图一样高,正视图和俯视图一样长,侧视图和俯视图一样宽.
两种对应
图1
三个步骤 :
(1)先画正方体或长方体,在正方体或长方体底面(或后侧面,或右侧面)上截取出俯视图(或主视图,或侧视图)形状;
(2)依据正视图和侧视图(或正视图和俯视图,或俯视图和侧视图)有无垂直关系和节点,确定并画出在刚刚截取出的俯视图(或侧视图,或正视图)中各节点处垂直拉升的线条(剔除其中无需垂直拉升的节点,不能确定的先垂直拉升),由高平齐确定其长短(或由长对正确定其长短,或由宽相等确定其长短);
(3)将垂直拉升线段的端点和正视图和侧视图的节点及俯视图(或侧视图或主视图)各节点连线后,隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体.
下面请通过例题来体会.
图2
例1 将如图2所示的三视图还原为几何体.
略接:由俯视图引发
图3
当依据图3所给出的三视图和前述的两种对应可以判断几何体的底面不是水平的,则可在正方体或长方体后侧面或右侧面上截取出主视图或侧视图形状,若节点处有垂直拉升的线条,其拉升的方向相应的变更为向前或向左.
图4
例2 (2014全国1高考)如图4,网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图,则该多面体的各条棱中,最长的棱的长度为( )
(A) 82 (B) 6
(C) 62 (D) 4
从主视图和侧视图容易判断,该几何体并不是水平放置的.显然由俯视图引发则无法奏效.此时,变更思考和操作方向定成为必然.
图5
若由主视图引发.具体步骤如下:
(1)依据俯视图,在长方体后侧面初绘ABCM(如图5).
(2)依据俯视图和侧视图中显示的垂直关系,判断出在节点A、B、C处不可能有垂直向前拉升的线条,而在M处必有垂直向前拉升的线条MD, 由俯视图和侧视图中长度,确定点D的位置(如图).
(3)将点D与点A、B、C分别连接,隐去所有的辅助线条便可得还原的几何体D-ABC(如图).
若由侧视图引发如图6 (具体步骤雷同上述步骤)
图6
试题分析:置于棱长为4个单位的正方体中研究,该几何体为四面体D-ABC,且AB=BC=4,AC=42
,DB=DC=25,可得DA=6,故最长的棱长为6,选(B).
总之,数学“再创造”是一种教学法更是一种教学策略,更多地关注过程而不是结果,需要教师在课前做好充分的准备,才能极大的彰显其魅力.学生的思维是相当活跃的,一旦被激发,其潜能不可估量,不仅能提高学生的学习兴趣和深入追寻探索的内部动力,而且能极大地提升和培养学生的创新意识和创造能力.