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创新一直是高考命题所坚持的基本原则，“知识交汇”是命题内容、背景或方法上创新方式的有机结合．向量作为沟通代数、几何与三角函数的一种工具，运用联系、运动、审美的观点，进行纵横联系，广泛联想，可应用于函数、三角、立体几何、解析几何、不等式及综合学科等．本文就此谈它与中学数学知识交汇处的应用．
1.向量与函数问题
例1．求函数f(x)＝3x＋2＋4 4－x2的最大值．
分析：观察其结构特征，由3x＋2＋4 4－x2联想到向量的数量积的坐标表示．设向量a＝(3，4)，b＝(x， 4－x2)，则f(x)＝a?b＋2．利用f(x)≤|a|?|b|＋2＝12，得到f(x)的最大值是12，进而使问题得到解决．
拓展题：若 x＋1＋ y－2＝5，求x＋y的最小值．
说明：对于某些复杂的函数值域问题，如y＝p x＋a＋q y＋b等，可通过构造相关向量来解决．向量是数量的概念在二维空间的拓展，其运算和性质与代数内容之间有着紧密的联系，借助向量解决代数问题，往往可以收到化繁为简、变难为易的效果．
2.向量与三角函数问题
例2．已知cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝32，求锐角α，β的值．
分析：本题作为三角求值的一个“极端”问题（一式含两个未知数），需要进行“模式识别”，为此利用和角公式化简得(1－cosβ)cosα＋sinα?sinβ＝32－cosβ，构造向量m＝(1－cosβ，sinβ)，n＝(cosα，sinα)，由m?n≤|m|?|n|，得32－cosβ≤ 2－2cosβ，即(2cosβ－1)2≤0，所以cosβ＝12，得β＝π3，从而α＝π3．
拓展题：已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝2 55．①求cos(α－β)的值；②若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
说明：作为数形结合体的向量，与三角函数在“角”之间存在着密切的联系，具体表现为：一是利用平面向量的知识（如向量的模、数量积、向量的夹角等），通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题；二是从三角与向量的关联点（角与距离）处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
3.向量与平面几何问题
例3．已知平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M、N、C三点共线．
分析：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，由此联想平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．本例可通过向量运算得NC→＝2MN→，即表明M、N、C三点共线．
拓展题：正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，（1）求证：OB⊥DE；（2）求cos∠DOE．
说明：运用向量法解决有关平面几何问题，应注意三点：一是建立平面几何与向量的联系，用向量表示涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；二是通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；也可以借助建立直角坐标系，通过坐标法寻找解决问题的方法，简化思维过程；三是把运算结果转化为几何表征．
4.向量与立体几何问题
例4．在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值．
分析：因为BC→＝AC→－AB→，利用OA→?BC→的有关公式计算向量OA→与BC→的夹角的余弦值，即得OA与BC的夹角的余弦值为3－2 25．
拓展题：四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
说明：运用向量法解决有关立体几何问题，方法与平面几何类似，建立几何问题与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素．对于一些特殊的几何体还可以借助建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，运用向量法解决有关证明和计算问题，比如研究空间几何中的平行、垂直的证明，以及对于空间角、长度的计算等，是传统的方法无法替代的．这种通过引入空间向量，为解决立体图形的形状、大小及位置关系等增添了一种理想的代数工具，有助于提高学生的空间想象能力和学习能力．
5.向量与解析几何问题
平面向量的坐标法，还可以用于解决平面解析几何的直线问题，避免讨论．如直线l1：ax＋(a2－1)y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0平行且不重合，求a的值．我们需要讨论直线的斜率是否存在两种情况，但是如果利用平面向量，根据两条直线的方向向量共线，就可以避免讨论．若题目改成两直线垂直，方法亦然．
例5．求过圆(x－5)2＋(y－6)2＝10上的点M(6，9)的切线方程．
分析：设N(x，y)是所求切线上的任意一点，由MN→?O′M→＝0（其中O′为圆心），可求切线的方程是(x－6)＋3(y－9)＝0，即x＋3y－33＝0．
拓展题：设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明：直线AC过原点O．
说明：在解析几何中，把逻辑证明转化为数值的计算，体现了向量法解题的简单美和结构美．向量法成为解决问题的一种重要手段和方法，它为学生提供了新的视角．
6.向量与不等式问题
例6．已知a，b，x，y为正实数，M＝ax＋by，N＝a2+b2?x2+y2，比较M和N的大小．
分析：比较大小，常用的方法是作差比较法，这道题可采用的方法很多，现构造向量p＝(a，b)，q＝(x，y)，则M＝p?q＝|p|?|q|cos，N＝|p|?|q|，所以M≤N．过程简单之至，巧妙自然．
拓展题：已知a，b＞0，a＋b＝1，求证：2a＋1+2b＋1≤22．
说明：运用构造平面向量的方法解题，不但可以深化对向量的有关性质的认识和理解，而且可以沟通数学中不同知识内容之间的内在联系．运用向量法的关键在于合理地构造出相应的平面向量，并利用平面向量的相关性质来实现问题的转化．
7.向量和与物理问题
例7．一条河的两岸平行，河宽d＝500 m，一艘船从A出发航行到河的正对岸B处．航行的速度|→v1|＝10 km/h，水流的速度|→v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
分析：→v＝→v1＋→v2，→v⊥→v2，利用向量知识得|→v|＝ |→v1|2－|→v2|2＝ 96 km/h，由t＝d |→v|，可以求出时间t的近似值为3.1 min．
拓展题：日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体，如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G．你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳之间的夹角θ的关系？（1）当θ逐渐增大时，F1的大小怎样变化，为什么？（2）当θ为何值时，F1最小，最小值是多少？（3）θ为何值时，F1和G的大小相同？
说明：向量的物理背景有力、加速度、速度、位移等，在学习过程中要结合这些实际背景来理解向量的概念与运用．利用向量来解决物理问题时，应注意四点，一是问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；二是模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；三是参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；四是问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，成为承载数形结合思想方法的良好媒介，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合．向量法简化了原本利用其它数学工具解题的步骤，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密，因而在问题解决中大显身手．
1.向量与函数问题
例1．求函数f(x)＝3x＋2＋4 4－x2的最大值．
分析：观察其结构特征，由3x＋2＋4 4－x2联想到向量的数量积的坐标表示．设向量a＝(3，4)，b＝(x， 4－x2)，则f(x)＝a?b＋2．利用f(x)≤|a|?|b|＋2＝12，得到f(x)的最大值是12，进而使问题得到解决．
拓展题：若 x＋1＋ y－2＝5，求x＋y的最小值．
说明：对于某些复杂的函数值域问题，如y＝p x＋a＋q y＋b等，可通过构造相关向量来解决．向量是数量的概念在二维空间的拓展，其运算和性质与代数内容之间有着紧密的联系，借助向量解决代数问题，往往可以收到化繁为简、变难为易的效果．
2.向量与三角函数问题
例2．已知cosα＋cosβ－cos(α＋β)＝32，求锐角α，β的值．
分析：本题作为三角求值的一个“极端”问题（一式含两个未知数），需要进行“模式识别”，为此利用和角公式化简得(1－cosβ)cosα＋sinα?sinβ＝32－cosβ，构造向量m＝(1－cosβ，sinβ)，n＝(cosα，sinα)，由m?n≤|m|?|n|，得32－cosβ≤ 2－2cosβ，即(2cosβ－1)2≤0，所以cosβ＝12，得β＝π3，从而α＝π3．
拓展题：已知向量a＝(cosα，sinα)，b＝(cosβ，sinβ)，|a－b|＝2 55．①求cos(α－β)的值；②若－π2＜β＜0＜α＜π2，且sinβ＝－513，求sinα的值．
说明：作为数形结合体的向量，与三角函数在“角”之间存在着密切的联系，具体表现为：一是利用平面向量的知识（如向量的模、数量积、向量的夹角等），通过向量的有关运算，将向量条件转化为三角关系，然后通过三角变换及三角函数的图像与性质等解决问题；二是从三角与向量的关联点（角与距离）处设置问题，把三角函数中的角与向量的夹角统一为一类问题考查．
3.向量与平面几何问题
例3．已知平行四边形ABCD，点M是AB的中点，点N在BD上，且BN＝13BD，求证：M、N、C三点共线．
分析：向量的线性运算和数量积运算具有鲜明的几何背景，由此联想平面几何的许多性质，如平移、全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运算及数量积表示出来．本例可通过向量运算得NC→＝2MN→，即表明M、N、C三点共线．
拓展题：正方形OABC的边长为1，点D、E分别为AB、BC的中点，（1）求证：OB⊥DE；（2）求cos∠DOE．
说明：运用向量法解决有关平面几何问题，应注意三点：一是建立平面几何与向量的联系，用向量表示涉及的几何元素，将几何问题转化为向量问题；二是通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；也可以借助建立直角坐标系，通过坐标法寻找解决问题的方法，简化思维过程；三是把运算结果转化为几何表征．
4.向量与立体几何问题
例4．在空间四边形OABC中，OA＝8，AB＝6，AC＝4，BC＝5，∠OAC＝45°，∠OAB＝60°，求OA与BC的夹角的余弦值．
分析：因为BC→＝AC→－AB→，利用OA→?BC→的有关公式计算向量OA→与BC→的夹角的余弦值，即得OA与BC的夹角的余弦值为3－2 25．
拓展题：四棱锥S-ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 2倍，P为侧棱SD上的点．（1）求证：AC⊥SD；（2）若SD⊥平面PAC，求二面角P－AC－D的大小；（3）在（2）的条件下，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE∶EC的值；若不存在，试说明理由．
说明：运用向量法解决有关立体几何问题，方法与平面几何类似，建立几何问题与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素．对于一些特殊的几何体还可以借助建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，运用向量法解决有关证明和计算问题，比如研究空间几何中的平行、垂直的证明，以及对于空间角、长度的计算等，是传统的方法无法替代的．这种通过引入空间向量，为解决立体图形的形状、大小及位置关系等增添了一种理想的代数工具，有助于提高学生的空间想象能力和学习能力．
5.向量与解析几何问题
平面向量的坐标法，还可以用于解决平面解析几何的直线问题，避免讨论．如直线l1：ax＋(a2－1)y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋2＝0平行且不重合，求a的值．我们需要讨论直线的斜率是否存在两种情况，但是如果利用平面向量，根据两条直线的方向向量共线，就可以避免讨论．若题目改成两直线垂直，方法亦然．
例5．求过圆(x－5)2＋(y－6)2＝10上的点M(6，9)的切线方程．
分析：设N(x，y)是所求切线上的任意一点，由MN→?O′M→＝0（其中O′为圆心），可求切线的方程是(x－6)＋3(y－9)＝0，即x＋3y－33＝0．
拓展题：设抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在抛物线的准线上，且BC平行于x轴，证明：直线AC过原点O．
说明：在解析几何中，把逻辑证明转化为数值的计算，体现了向量法解题的简单美和结构美．向量法成为解决问题的一种重要手段和方法，它为学生提供了新的视角．
6.向量与不等式问题
例6．已知a，b，x，y为正实数，M＝ax＋by，N＝a2+b2?x2+y2，比较M和N的大小．
分析：比较大小，常用的方法是作差比较法，这道题可采用的方法很多，现构造向量p＝(a，b)，q＝(x，y)，则M＝p?q＝|p|?|q|cos
拓展题：已知a，b＞0，a＋b＝1，求证：2a＋1+2b＋1≤22．
说明：运用构造平面向量的方法解题，不但可以深化对向量的有关性质的认识和理解，而且可以沟通数学中不同知识内容之间的内在联系．运用向量法的关键在于合理地构造出相应的平面向量，并利用平面向量的相关性质来实现问题的转化．
7.向量和与物理问题
例7．一条河的两岸平行，河宽d＝500 m，一艘船从A出发航行到河的正对岸B处．航行的速度|→v1|＝10 km/h，水流的速度|→v2|＝2 km/h，问行驶航程最短时，所用的时间是多少？
分析：→v＝→v1＋→v2，→v⊥→v2，利用向量知识得|→v|＝ |→v1|2－|→v2|2＝ 96 km/h，由t＝d |→v|，可以求出时间t的近似值为3.1 min．
拓展题：日常生活中，我们有时要用同样长的两根绳子挂一个物体，如果绳子的最大拉力为F，物体受到的重力为G．你能否用向量的知识分析绳子受到的拉力F1的大小与两绳之间的夹角θ的关系？（1）当θ逐渐增大时，F1的大小怎样变化，为什么？（2）当θ为何值时，F1最小，最小值是多少？（3）θ为何值时，F1和G的大小相同？
说明：向量的物理背景有力、加速度、速度、位移等，在学习过程中要结合这些实际背景来理解向量的概念与运用．利用向量来解决物理问题时，应注意四点，一是问题的转化，即把物理问题转化为数学问题；二是模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型；三是参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值；四是问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象．
向量集数与形于一身，既有代数的抽象性，又有几何的直观性，成为承载数形结合思想方法的良好媒介，用它研究问题时可以实现形象思维和抽象思维的有机结合．向量法简化了原本利用其它数学工具解题的步骤，它可以使图形量化，使图形间关系代数化，使我们从复杂的图形分析中解脱出来，使分析思路和解题步骤变得简洁流畅，又不失严密，因而在问题解决中大显身手．