论文部分内容阅读
数学思想和方法是数学知识在更高层次上的抽象和概括，高中数学新课程改革十分强调数学思想方法的渗透和对数学本质的认识，特别是近几年的高考考试说明在关于空间想象能力的考查中明确指出，“要能正确地分析出图形中基本元素及其相互关系；能对图形进行分解、组合；会运用图形与图表等手段形象地揭示问题的本质”。对数学思想和方法的考查必然要与数学知识的考查结合进行，以下举例说明分解与组合的数学思想在高考立体几何问题中的应用。
类型一：三视图问题
三视图是新课标高考试卷中的重要考点，是培养学生空间想象能力的重要知识。但是，许多教师只是利用自己的经验引导学生独立想象，绝大多数学生只会判断简单几何体的三视图，而对于复杂几何体的三视图或依据给出的三视图来还原几何体问题往往束手无策。通过分解即体中取体的思想解决此类问题可谓另辟蹊径，往往会有意想不到的收获。
因为三视图的本质就是几何体在直立投射面、侧立投射面和水平投射面这三个两两垂直的平面内的正投影，所以通常选取长方体来进行分解。
问题1：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断对角线AC1的三视图是什么？
问题2：将问题1中涉及的五个点C1、A、B、C、D连接得到四棱锥C1-ABCD，请画出此四棱锥的三视图。
问题3：将问题1中的长方体特殊化为正方体，判断问题2中的三视图会有哪些变化？
解析：只需将图2中的直角三角形与长方形改为等腰直角三角形和正方形即可（图略）.
■
例题1（2010年高考辽宁卷） 如图3，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______。
解析：有了上述的铺垫，容易看出此多面体是图1中正方体ABCD-A1B1C1D1中四棱锥C1-ABCD的三视图，且正方体棱长为2，易得可得最长的一条棱的长为AC1=2■。
像这种利用长方体或正方体中的特殊点构造几何体进而将三视图还原成几何体的方法，就是分解思想方法的一种应用。尝试利用这种方法可以解决下列问题：
变式1（2010年高考湖南卷） 图4中的3个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm。
■
【解析】易知此图为图1长方体ABCD-A1B1C1D1中三棱锥B1-ABC的三视图，且长方体的长、宽、高分别为5cm、6cm、hcm，由体积为20cm2易求得h=4cm.
变式2（2009年高考宁夏海南理科卷） 一个棱锥的三视图如图5所示，则该棱锥的全面积为（ ）cm2
■
（A）48+12■ （B）48+24
（C）36+12 （D）36+24
【解析】易知，此图为长方体ABCD-A1B1C1D1中取上底面A1B1C1D1的中心O和顶点A、B、D而得到三棱锥O-ABD的三视图（如图7），且长方体的长、宽、高分别为6cm、6cm、4cm，可以求得表面积为48+12■.
变式3（2009年高考辽宁理科卷） 设某几何体的三视图如图6，则该几何体的体积为 m3。
■
解析：此图为长方体ABCD-A1B1C1D1中取棱B1C1上的四等分点M、棱AD的中点N及B、C而得到三棱锥M-BCN的三视图（如图8），且长方体的长、宽、高分别为4m、3m、2m，可以求得体积为4m3。应该指出，此题也可以不必将三视图还原成几何体，而是直接求将俯视图作为底面，左视图的高为高的三棱锥的体积为4m3.
■
类型二：构造几何模型问题
立体几何中经常出现考查直线与平面的位置关系、角与距离的计算等问题，但往往给出的图形中的位置与数量关系不易判断。但如果能够将这些图形看作是某常见几何体的一部分，通过添加一些线、面将它们补形成规则的几何体后，许多复杂问题就可以大大简化，这种组合即体外补体的思想方法是解决此类问题的捷径。
问题1：如图9，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试判断此长方体的外接球的球心的位置。
问题2：如图10，在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取三棱锥C1-ACD，试判断三棱锥C1-ACD是否存在外接球？如果存在，找出球心的位置；如果不存在，请说明理由。
问题３：如图11，在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取三棱锥A1-ABD、三棱锥A1-BC1D，试判断它们是否存在外接球？如果存在，找出球心的位置；如果不存在，请说明理由．
■
【解析】显然长方体的外接球的球心是对角线的中点，此外接球必过三棱锥C1-ACD的四个顶点，所以三棱锥C1-ACD必有外接球，且球心为对角线AC1中点；同理，三棱锥A1-BC1D与三棱锥A1-ABD必有外接球，且球心为由它们补成的长方体的一条对角线中点。
例题2（2010年高考辽宁文科卷） 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■，则球O的表面积等于（ ）
（A）4π （B）3π （C）2π （D）π
【解析】由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■可以将三棱锥S-ABC补成长方体，则球心O为SC中点，易求得直径为2R=SC=2，所以表面积为4πR2=4π，选A.
像这种利用一般的几何图形某些特殊位置与数量关系将不规则、陌生、复杂的几何图形补成规则、熟悉、简单的几何模型的方法就是组合思想方法的一种应用，下面我们可以尝试利用这种方法可以解决下列问题：
变式1（2010年高考江西理科卷） 在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 。
【解析】本体考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过组合补体得到长方体（图略），借助长方体验证结论得S3 变式2（2009年高考江西理科卷） 如图12，正四面体ABCD的顶点A，B，C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上，则在下列命题中，错误的为（ ）
（A）O-ABC是正三棱锥
（B）直线OB∥平面ACD
（C）直线AD与OB所成的角是45°
（D）二面角D-OB-A为45°
■
【解析】将原图通过组合补体补为正方体（图略），不难得出B为错误，故选B.
变式3（2010年高考四川理科卷）如图13，已知二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?奂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 .
■
【解析】将原图通过组合补体补为长方体体后（图略），其中线段与分别为长方体的对角线和底面一边，易得答案为■.
总而言之，对数学本质的认识和对数学思想方法的理解是数学教育的核心，分解与组合的思想方法是帮助我们认识立体几何本质的有效手段，广大一线教师和考生如果能够掌握这一思想方法，许多复杂、无从下手的立体几何问题就会迎刃而解，学生们在豁然开朗之余便会逐渐领悟数学问题的本质。
类型一：三视图问题
三视图是新课标高考试卷中的重要考点，是培养学生空间想象能力的重要知识。但是，许多教师只是利用自己的经验引导学生独立想象，绝大多数学生只会判断简单几何体的三视图，而对于复杂几何体的三视图或依据给出的三视图来还原几何体问题往往束手无策。通过分解即体中取体的思想解决此类问题可谓另辟蹊径，往往会有意想不到的收获。
因为三视图的本质就是几何体在直立投射面、侧立投射面和水平投射面这三个两两垂直的平面内的正投影，所以通常选取长方体来进行分解。
问题1：如图1，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断对角线AC1的三视图是什么？
问题2：将问题1中涉及的五个点C1、A、B、C、D连接得到四棱锥C1-ABCD，请画出此四棱锥的三视图。
问题3：将问题1中的长方体特殊化为正方体，判断问题2中的三视图会有哪些变化？
解析：只需将图2中的直角三角形与长方形改为等腰直角三角形和正方形即可（图略）.
■
例题1（2010年高考辽宁卷） 如图3，网格纸的小正方形的边长是1，在其上用粗线画出了某多面体的三视图，则这个多面体最长的一条棱的长为______。
解析：有了上述的铺垫，容易看出此多面体是图1中正方体ABCD-A1B1C1D1中四棱锥C1-ABCD的三视图，且正方体棱长为2，易得可得最长的一条棱的长为AC1=2■。
像这种利用长方体或正方体中的特殊点构造几何体进而将三视图还原成几何体的方法，就是分解思想方法的一种应用。尝试利用这种方法可以解决下列问题：
变式1（2010年高考湖南卷） 图4中的3个直角三角形是一个体积为20cm2的几何体的三视图，则h= cm。
■
【解析】易知此图为图1长方体ABCD-A1B1C1D1中三棱锥B1-ABC的三视图，且长方体的长、宽、高分别为5cm、6cm、hcm，由体积为20cm2易求得h=4cm.
变式2（2009年高考宁夏海南理科卷） 一个棱锥的三视图如图5所示，则该棱锥的全面积为（ ）cm2
■
（A）48+12■ （B）48+24
（C）36+12 （D）36+24
【解析】易知，此图为长方体ABCD-A1B1C1D1中取上底面A1B1C1D1的中心O和顶点A、B、D而得到三棱锥O-ABD的三视图（如图7），且长方体的长、宽、高分别为6cm、6cm、4cm，可以求得表面积为48+12■.
变式3（2009年高考辽宁理科卷） 设某几何体的三视图如图6，则该几何体的体积为 m3。
■
解析：此图为长方体ABCD-A1B1C1D1中取棱B1C1上的四等分点M、棱AD的中点N及B、C而得到三棱锥M-BCN的三视图（如图8），且长方体的长、宽、高分别为4m、3m、2m，可以求得体积为4m3。应该指出，此题也可以不必将三视图还原成几何体，而是直接求将俯视图作为底面，左视图的高为高的三棱锥的体积为4m3.
■
类型二：构造几何模型问题
立体几何中经常出现考查直线与平面的位置关系、角与距离的计算等问题，但往往给出的图形中的位置与数量关系不易判断。但如果能够将这些图形看作是某常见几何体的一部分，通过添加一些线、面将它们补形成规则的几何体后，许多复杂问题就可以大大简化，这种组合即体外补体的思想方法是解决此类问题的捷径。
问题1：如图9，已知长方体ABCD-A1B1C1D1，试判断此长方体的外接球的球心的位置。
问题2：如图10，在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取三棱锥C1-ACD，试判断三棱锥C1-ACD是否存在外接球？如果存在，找出球心的位置；如果不存在，请说明理由。
问题３：如图11，在长方体ABCD-A1B1C1D1中截取三棱锥A1-ABD、三棱锥A1-BC1D，试判断它们是否存在外接球？如果存在，找出球心的位置；如果不存在，请说明理由．
■
【解析】显然长方体的外接球的球心是对角线的中点，此外接球必过三棱锥C1-ACD的四个顶点，所以三棱锥C1-ACD必有外接球，且球心为对角线AC1中点；同理，三棱锥A1-BC1D与三棱锥A1-ABD必有外接球，且球心为由它们补成的长方体的一条对角线中点。
例题2（2010年高考辽宁文科卷） 已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■，则球O的表面积等于（ ）
（A）4π （B）3π （C）2π （D）π
【解析】由已知SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，BC=■可以将三棱锥S-ABC补成长方体，则球心O为SC中点，易求得直径为2R=SC=2，所以表面积为4πR2=4π，选A.
像这种利用一般的几何图形某些特殊位置与数量关系将不规则、陌生、复杂的几何图形补成规则、熟悉、简单的几何模型的方法就是组合思想方法的一种应用，下面我们可以尝试利用这种方法可以解决下列问题：
变式1（2010年高考江西理科卷） 在三棱锥O-ABC中，三条棱OA，OB，OC两两垂直，且OA>OB>OC，分别经过三条棱OA，OB，OC作一个截面平分三棱锥的体积，截面面积依次为S1，S2，S3，则S1，S2，S3的大小关系为 。
【解析】本体考查立体图形的空间感和数学知识的运用能力，通过组合补体得到长方体（图略），借助长方体验证结论得S3
（A）O-ABC是正三棱锥
（B）直线OB∥平面ACD
（C）直线AD与OB所成的角是45°
（D）二面角D-OB-A为45°
■
【解析】将原图通过组合补体补为正方体（图略），不难得出B为错误，故选B.
变式3（2010年高考四川理科卷）如图13，已知二面角α-l-β的大小是60°，线段AB?奂α，B∈l，AB与l所成的角为30°，则AB与平面β所成的角的正弦值是 .
■
【解析】将原图通过组合补体补为长方体体后（图略），其中线段与分别为长方体的对角线和底面一边，易得答案为■.
总而言之，对数学本质的认识和对数学思想方法的理解是数学教育的核心，分解与组合的思想方法是帮助我们认识立体几何本质的有效手段，广大一线教师和考生如果能够掌握这一思想方法，许多复杂、无从下手的立体几何问题就会迎刃而解，学生们在豁然开朗之余便会逐渐领悟数学问题的本质。