摘 要:作为现代数学重要标志之一的向量引入中学数学,是中学数学的一场新的革命。向量的引入,大大丰富和发展了中学数学的知识结构体系,进一步拓展了解决中学数学问题的思维空间。所以本文举例说明利用向量简化复杂几何题的解题思路,以供参考。
　　关键词:垂直向量 解题举例
　　中图分类号:G642 文献标识码:A 文章编号:1673-9795(2011)07(a)-0048-01
　　两垂直向量的坐标可以相互表示,若⊥,若向量=(x,y),那么=±(y,-x)。
　　證明:由·=(x·y－x·y)=0得⊥,=(y,-x)|=,可有两个方向,所以=±(y,-x)。
　　利用这个关系就可求出向量坐标、点的坐标且比常规方法直接、简单,也可以解决有关向量垂直的某些解析几何的问题,现举例仅供参考。
　　例1:已知=2,=(-2,3)且⊥则a(→)的坐标为。
　　解析:由=(-2,3)得==,因为⊥,所以=(3,2)=(6,4)或(-6,-4)
　　点评:此题的基本解决方法应是设出向量的坐标,列方程组求解,以上解法较直接、简单,下一题更加明显。
　　
　　例2:已知正方形ABCD相对应顶点A(0,-1)和C(2,5)。求顶点B和D的坐标。
　　解析,设点B、D的坐标为B(XB,YB)、D(XD,YD),对角线AC、BD交于点Q,则Q的坐标为Q(1,2),=(1,3),⊥且||=||=||,由图知和的方向,所以==(3,-1)。=(-3,1)=(-3,1)。由=(XB-1,YB-2)=(3,-1)得XB-1=3,YB-2=-1,XB=4 YB=1.所以B(4,1)由=(XD-1,YD-2)=(-3,1)得XD-1=3,YD-2=1,所以XD=2,YD=3所以D(-2,3)。所求点坐标为B(4,1),D(-2,3)。
　　例3(2008年四川卷理21题)设椭圆+=1(a＞b＞0)的左右焦点分别为F1、F2,离心率e=,右准线为l,M、N是l上的两个动点,=0。
　　
　　(1)若=。求a,b的值。(2)证明:当取最小值时,与共线。
　　解析:设点F1、F2的坐标分别、为F1(-c,0)F2(c,0)。由e==得a=c。准线l的方程为:x==2c.设点M、N的坐标为M(2c,y1)N(2c,y2),由条件知M、N点在x轴的两侧,y1y2<0,不妨设y1>0,y2<0,=(3c,y1)=(c,y2)。
　　解:
　　(1)因为·=0,||=||=,所以=(y1,-3c)=(y1,-3c),又=(c,y2)∴y1=c,=(3c,c),
　　||==,c=∴a=2,b=。
　　(2)证明:因为⊥,⊥X轴,所以==,=(y1,-3c)=(y1,-3c)=(c,﹣)=(c,y2)所以y2=﹣,=|y1-y2|=y1-y2=y1+≥2=2,当y1=,y2=﹣时,最小,此时+=(3c,y1)+(c,y2)=(4c,y1+y2)=(4c,0),因为=(2c,0),所以+=,即最小时+与共线,y1=-y2=时,命题也成立。
　　点评:以上是对两向量垂直的概念进一步的拓广加以运用,不失为一种极好的解题思路,在教学中应鼓励学生探索和创新。