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我们在解决数学问题时，通常习惯于直接“背”住一些题型和方法，当再次遇见一个相似问题时，再用已有的方法去“套”.这种解题模式只是局限于把题目解出来，自己对题目一般不会产生新的看法和巧妙的解法.而由于数学问题千变万化，自然决定了解题思路没有固定不变的解题模式，况且同一问题的解决也会存在多种不同的解题思路.要想既快又准地解题，总用一套固定的方案是行不通的，只有对数学思想、数学方法理解透彻及融会贯通时，我们自身的数学头脑和眼光才会变得更加开阔.下面就自己解题以及研题的心得和大家做一些分享，以期对同学们有所帮助.
一、善于观察和联想
任何一道数学题，其条件的结构特点以及数据特点之间都是有内在联系的，若想快速准确地解决题目，就需要依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.
例1已知函数f（x）=ax3-3x-4，x>m（4-a）x 8，x≤m，若存在m，使得函数f（x）在R上为增函数，则a的取值范围为.
解析：此题乍一看很难找到思路，但是若对三次函数图象熟悉的话就可知，三次函数在正无穷处必然为增函数且位于直线上方，故由题意可得，两段函数在无穷处均为增函数即可，故a∈（0，4）.
例2已知函数f（x）=sinx-acosx 2 bx在R上有最大值1，则a b=.
解析：看到这类题的第一想法往往是求导，但是这题用导数解的话非常困难，但若注意到当b≠0时，无穷处函数值必为无穷，与题意矛盾，即可得b=0.此时，f（x）=sinx-acosx 2，看作点（-2，a）与单位圆上一点（cosx，sinx）的连线斜率即可.作图易得a=0.即a b=0.
上述几个题的方法有点“好做题不求甚解”的味道，在平时的解题训练中，是不提倡这样的做法的，但是在应试时，若能根据数据之间的关系或者式子的结构特点来快速的找到解题规律，是可以节省大量时间的，且能保证正确率.
二、灵活运用数学宏观思想
数学思想是解题方法的灵魂，缺乏数学思想指导的解题方法是没有“神韵”的.所以，融会贯通数学思想，理解透彻解题方法中所蕴含的思想本质，是提高解题效率的有效途径.
下面以常见的几种数学思想为例，谈一谈它们在解题时的灵活运用：
1.转化与化归的思想
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.恰当的转化使问题变得熟悉、简单.
例3若a2 9-3a b2 9-3b=a2 b2 ab，则ab最小值为.
解析：此题若按常规方程来理解，两个变量之间的关系是不明朗的，故若按方程问题处理的话显然不容易得到解题思路.但是观察式子结构可知，根号内的三个式子恰符合三角形余弦定理.故原题转化为：如图在△ABC中，AC=b，BC=a，CD=3，∠BCD=∠ACD=π3，求ab最小值.则可由面积公式12absin2π3=12×3asinπ3 12×3bsinπ3，
即ab=3a 3b≥6abab≥36.
例4若实数a、b满足a-4b=2a-b，则a的取值范围是.
解析：此题和上题相仿，在处理含有根号的方程或不等式时，我们的期望往往是想办法去掉根号，故可设b=x≥0，a-b=y≥0，则a=x2 y2.故原题转化为：已知x2 y2-4x=2y（x≥0，y≥0），求x2 y2的取值范围.由条件变形可得（x-2）2 （y-1）2=5（x≥0，y≥0），几何意义为一段圆弧，而x2 y2的几何意义为点（x，y）到原点距离的平方，结合图象可知a=x2 y2∈{0}∪[4，20].
在解题中，每一个步骤的命题转换就是一次转化与化归的过程，甚至把转化与化归的思想作为数学解题的首要思想也毫不为过.要想做到快速准确的转化，我认为至少需要具备两个先决条件：1.对教材概念和知识模型有足够的熟悉；2.具备足够的观察和联想能力.
2.数形结合的思想
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
例5设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx.若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）x1=f（x2）x2=f（x3）x3=t，则实数t的取值范围为.
解析：∵f（x）=f（3x），∴f（x）=f（x3），当x∈[3，9）时，x3∈[1，3），∴f（x）=lnx3，在直角坐标系内作出函数f（x）的图象，而f（x）x表示该图象上的点与原点的连线的斜率.图象上的点（9，ln3）与原点的连线的斜率为ln39；当过原点的直线与曲线f（x）=lnx3，x∈[3，9）相切时，斜率为13e（利用导数解决）.∴由图可知，满足题意得实数t的取值范围为（ln39，13e）.
虽然数形结合是一个解决题目的有力武器，但也要注意，严格意义上来讲，画图是为了找到代数思路，最终的求解一定要用严格的代数过程来验证图形特点.若直接用图形的直观感觉来代替代数论证，则易出现思维不严密或解题出错，易犯“想当然”的错误.
例6已知函数f（x）=sinx，x∈（-π2，π2），g（x）=tanx，x∈（-π2，π2），则方程f（x）=g（x）的实数根的个数为.
解析：很多同学在解决此题时，容易画出一个错误的图象，如右图，然后得到答案为3.事实上，令sinx=tanx，可解得sinx=0或cosx=1，故f（x）=g（x）在区间（-π2，π2）内有且仅有一个实根.画出这个错误图象的同学就犯了画图时“想当然”的错误，只注意图象的直观感觉，而忽视了代数论证过程.若对两个函数求导不难发现，f′（0）=g′（0）=1，即两个函数在x=0处是相切的，此时再由图象就容易得到有且仅有一个根了. 3.分类与整合的思想
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.
例7三本不同的外语书，两本不同的数学书，两本不同的语文书，排成一排，要求相同科目的书不相邻，问有几种排法？
解析：分类讨论年年考，但是年年考不好，归根结底，是同学们对分类的标准把握不好，或者讨论时易重易漏，排列组合就是一个典型的例子.如上题，由于外语书最多，所以先把外语书排好，排列种数为A33，数学书和语文书的排列方法分类讨论如下：
1.若先用数学书把外语书隔开，排列数为A22种，此时语文书只要在六个空格中选两个进行排列即可，故为A26，即此时排列数为A22·A26.
2.若只有一本数学书把英语书隔开，则选择一本数学书为C12，英语书之间的两个空选择一个放数学，同样为C12，英语书两头选择一个放剩下的一本数学书，依然为C12，此时从两本语文书中选择一本隔开英语书的另外一个空，为C12，则剩下的一本语文书只需从五个空中选择一个就可以，为C15，即此时排列种数为C12·C12·C12·C12·C15.
3.若两本数学书都没把英语书隔开，则两头放数学书，排列数为A22，此时需要用语文书隔开英语书，故为A22，即此时的排列数为A22·A22.
4.若两本数学书全放在两本英语书之间，则数学书排列数为A22，此时需要在英语书两个空中选择一个空放数学书，故为C12，此时需要用语文书把数学书和英语书的另外一个空隔开，故为A22，即此时排列数为A22·C12·A22.
综上，排列总数为A33（A22·A26 C12·C12·C12·C12·C15 A22·A22 A22·C12·A22）.
4.整体与局部的思想
通过局部的性质来揭示整体的性质，又通过整体性质来研究局部性质，是一个经常用到的重要方法.
例8已知圆O为单位圆，A、B为圆上两点，以AB为边作正方形ABCD，则OD的取值范围为.
解析：此题方法较多，现介绍一种基于整体与局部思想指导下的解法.我们这样考虑：在圆O上固定一点A，点B在圆O上运动，点D满足AD⊥AB且AD=AB.故B点绕A点旋转π2即可得到点D.苏州陈兆华老师曾说：“当每一部分都在做一件事情时，当然是这个整体在做这件事情.”故把圆O绕绕A点旋转π2得到的圆O′即为D点轨迹，如右图.易得OD2≤OD≤OD1，即OD∈[2-1，2 1].
5.一般与特殊的思想
由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.我们在平常的数学解题中，也经常遇到一些通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、特殊位置，利用特殊值、特殊方程等由特殊到一般，或由一般到特殊的试题.
例9设函数f（x）=ax2 bx c（a<0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为.
解析：由题意可知，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）能构成一个正方形区域，则a的值为一个定值.不妨取f（x）=ax2 4，为了使得所有点（s，f（t））（s，t∈D）能构成一个正方形区域，易得a=-4.
把一般模型转化为特殊模型进行求解，实际上是一次演绎推理的过程，这就要求题目中需要存在开放条件，即对任意的某个模型，都有这个确定的结果，那么对于某个特殊的符合条件的模型，也应是这个结果.若题目中没有出现这样的开放条件，则用特殊解决一般的做法在逻辑上是行不通的.
三、微观探究，挖掘题目的本质及背景
解题如果仅限于把题目做出来，对于自身知识的储备是没有太大帮助的.深入探究一道题目的命题背景，更能让自己对题目所蕴含的知识做更深刻透彻的了解，从而达到举一反三的效果.
例10已知函数f（x）=exex，其导数记为f′（x）（e为自然对数的底数）.
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）解方程f（f（x））=x.
解析：（1）f′（x）=e（1-x）ex，列表易知f（x）极大=f（1）=1；
（2）①当f（x）=exex=x时，解得x=0或x=1；
②当f（x）≠x时，必有两点M（m，n），N（n，m），（m≠n）位于函数y=f（x）图象上，且两点关于直线y=x对称.又因为f（x）≤1，所以m，n≤1.因为当x≤1时，
f′（x）≥0，f（x）单调递增.即对m，n≤1，f（m）-f（n）m-n>0≠-1，所以不存在两点连线率为-1.
综上，f（f（x））=x解为x=0或x=1.
探究：当f（f（x））=x时，满足题意的x应符合什么条件？
1.当f（x）=x时，此时显然f（f（x））=f（x）=x，即函数y=f（x）与直线y=x的交点满足题意.
2.当f（x）≠x时，设f（m）=n，则必有f（f（m））=f（n）=m，即f（m）=n，f（n）=m.
也即两点M（m，n），N（n，m）位于函数y=f（x）图象上.又因为两点连线斜率k=m-nn-m=-1，且中点（m n2，n m2）在直线y=x上，所以两点关于直线y=x对称.
综上，当f（f（x））=x时，满足题意的x的几何意义为函数y=f（x）与直线y=x的交点横坐标或函数y=f（x）图象上关于直线y=x对称的两点的横坐标（通常称为稳定点）.
四、独立思考，敢于发表不同见解
很多人解题时过于依赖答案，喜欢说“标准答案”如何如何.我认为所谓“标准答案”的说法本身就不恰当.数学研究提倡推陈出新，且对题目不同的理解方式决定了不同的解题策略，何来“标准”之说？称之为“参考答案”更为恰当，其作用只是限于参考，相当于学步工具，学会走路了，会跑了，自然就不需要了，当然也不是束之高阁，而是说不能依赖答案.我认为数学解题一定要有自己的见解和看法，不能书云亦云，人云亦云，学习和解题的过程应当提倡对知识和权威存疑，大胆假设，小心求证.
例11若关于x的不等式14x2 x-a2-a-3≤0（a∈[0，2]）在区间x∈[0，b]上恒成立，则实数b的最大值为.
错解：易解得x∈[-2-2a2 a 4，
-2 2a2 a 4]，又因为不等式在区间x∈[0，b]上恒成立，所以b≤-2 2a2 a 4，又因为a∈[0，2]，所以b≤210-2.
解析：此题犯了不注意数学语言表达严密性的常见错误，此解也是对题目的错解.为更清晰的展现题意，我们可以用模型简化的方式进行理解.如：已知函数f（x）=x2 a2（a∈R），则函数f（x）的最小值为.显然此题的答案为a2而不是0.在一道题目中，条件若对字母a无描述，则应视a为常量，而不是变量.在例1中，b的最大值应该是关于a的表达式，而不能把a视为变量继续求最大值.
总之，数学问题灵活多变，对于解题，肯定远远不止这些做法，每个人都有自己的思维特点，对题目的不同角度的理解，会产生多种奇妙的解法，让我们静下心来，潜心钻研，将解题研究进行到底.
（作者：陈志华，泰兴市第二高级中学）
一、善于观察和联想
任何一道数学题，其条件的结构特点以及数据特点之间都是有内在联系的，若想快速准确地解决题目，就需要依据题目的具体特征，对题目进行深入的、细致的、透彻的观察，然后认真思考，透过表面现象看其本质，这样才能确定解题思路，找到解题方法.
例1已知函数f（x）=ax3-3x-4，x>m（4-a）x 8，x≤m，若存在m，使得函数f（x）在R上为增函数，则a的取值范围为.
解析：此题乍一看很难找到思路，但是若对三次函数图象熟悉的话就可知，三次函数在正无穷处必然为增函数且位于直线上方，故由题意可得，两段函数在无穷处均为增函数即可，故a∈（0，4）.
例2已知函数f（x）=sinx-acosx 2 bx在R上有最大值1，则a b=.
解析：看到这类题的第一想法往往是求导，但是这题用导数解的话非常困难，但若注意到当b≠0时，无穷处函数值必为无穷，与题意矛盾，即可得b=0.此时，f（x）=sinx-acosx 2，看作点（-2，a）与单位圆上一点（cosx，sinx）的连线斜率即可.作图易得a=0.即a b=0.
上述几个题的方法有点“好做题不求甚解”的味道，在平时的解题训练中，是不提倡这样的做法的，但是在应试时，若能根据数据之间的关系或者式子的结构特点来快速的找到解题规律，是可以节省大量时间的，且能保证正确率.
二、灵活运用数学宏观思想
数学思想是解题方法的灵魂，缺乏数学思想指导的解题方法是没有“神韵”的.所以，融会贯通数学思想，理解透彻解题方法中所蕴含的思想本质，是提高解题效率的有效途径.
下面以常见的几种数学思想为例，谈一谈它们在解题时的灵活运用：
1.转化与化归的思想
转化是解数学题的一种十分重要的思维方法.那么怎样转化呢？概括地讲，就是把复杂问题转化成简单问题，把抽象问题转化成具体问题，把未知问题转化成已知问题.在解题时，观察具体特征，联想有关问题之后，就要寻求转化关系.恰当的转化使问题变得熟悉、简单.
例3若a2 9-3a b2 9-3b=a2 b2 ab，则ab最小值为.
解析：此题若按常规方程来理解，两个变量之间的关系是不明朗的，故若按方程问题处理的话显然不容易得到解题思路.但是观察式子结构可知，根号内的三个式子恰符合三角形余弦定理.故原题转化为：如图在△ABC中，AC=b，BC=a，CD=3，∠BCD=∠ACD=π3，求ab最小值.则可由面积公式12absin2π3=12×3asinπ3 12×3bsinπ3，
即ab=3a 3b≥6abab≥36.
例4若实数a、b满足a-4b=2a-b，则a的取值范围是.
解析：此题和上题相仿，在处理含有根号的方程或不等式时，我们的期望往往是想办法去掉根号，故可设b=x≥0，a-b=y≥0，则a=x2 y2.故原题转化为：已知x2 y2-4x=2y（x≥0，y≥0），求x2 y2的取值范围.由条件变形可得（x-2）2 （y-1）2=5（x≥0，y≥0），几何意义为一段圆弧，而x2 y2的几何意义为点（x，y）到原点距离的平方，结合图象可知a=x2 y2∈{0}∪[4，20].
在解题中，每一个步骤的命题转换就是一次转化与化归的过程，甚至把转化与化归的思想作为数学解题的首要思想也毫不为过.要想做到快速准确的转化，我认为至少需要具备两个先决条件：1.对教材概念和知识模型有足够的熟悉；2.具备足够的观察和联想能力.
2.数形结合的思想
我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”.数学中，数和形是两个最主要的研究对象，它们之间有着十分密切的联系，在一定条件下，数和形之间可以相互转化，相互渗透.
例5设函数f（x）满足f（x）=f（3x），且当x∈[1，3）时，f（x）=lnx.若在区间[1，9）内，存在3个不同的实数x1，x2，x3，使得f（x1）x1=f（x2）x2=f（x3）x3=t，则实数t的取值范围为.
解析：∵f（x）=f（3x），∴f（x）=f（x3），当x∈[3，9）时，x3∈[1，3），∴f（x）=lnx3，在直角坐标系内作出函数f（x）的图象，而f（x）x表示该图象上的点与原点的连线的斜率.图象上的点（9，ln3）与原点的连线的斜率为ln39；当过原点的直线与曲线f（x）=lnx3，x∈[3，9）相切时，斜率为13e（利用导数解决）.∴由图可知，满足题意得实数t的取值范围为（ln39，13e）.
虽然数形结合是一个解决题目的有力武器，但也要注意，严格意义上来讲，画图是为了找到代数思路，最终的求解一定要用严格的代数过程来验证图形特点.若直接用图形的直观感觉来代替代数论证，则易出现思维不严密或解题出错，易犯“想当然”的错误.
例6已知函数f（x）=sinx，x∈（-π2，π2），g（x）=tanx，x∈（-π2，π2），则方程f（x）=g（x）的实数根的个数为.
解析：很多同学在解决此题时，容易画出一个错误的图象，如右图，然后得到答案为3.事实上，令sinx=tanx，可解得sinx=0或cosx=1，故f（x）=g（x）在区间（-π2，π2）内有且仅有一个实根.画出这个错误图象的同学就犯了画图时“想当然”的错误，只注意图象的直观感觉，而忽视了代数论证过程.若对两个函数求导不难发现，f′（0）=g′（0）=1，即两个函数在x=0处是相切的，此时再由图象就容易得到有且仅有一个根了. 3.分类与整合的思想
分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法.有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性.进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论.其中最重要的一条是“不漏不重”.
例7三本不同的外语书，两本不同的数学书，两本不同的语文书，排成一排，要求相同科目的书不相邻，问有几种排法？
解析：分类讨论年年考，但是年年考不好，归根结底，是同学们对分类的标准把握不好，或者讨论时易重易漏，排列组合就是一个典型的例子.如上题，由于外语书最多，所以先把外语书排好，排列种数为A33，数学书和语文书的排列方法分类讨论如下：
1.若先用数学书把外语书隔开，排列数为A22种，此时语文书只要在六个空格中选两个进行排列即可，故为A26，即此时排列数为A22·A26.
2.若只有一本数学书把英语书隔开，则选择一本数学书为C12，英语书之间的两个空选择一个放数学，同样为C12，英语书两头选择一个放剩下的一本数学书，依然为C12，此时从两本语文书中选择一本隔开英语书的另外一个空，为C12，则剩下的一本语文书只需从五个空中选择一个就可以，为C15，即此时排列种数为C12·C12·C12·C12·C15.
3.若两本数学书都没把英语书隔开，则两头放数学书，排列数为A22，此时需要用语文书隔开英语书，故为A22，即此时的排列数为A22·A22.
4.若两本数学书全放在两本英语书之间，则数学书排列数为A22，此时需要在英语书两个空中选择一个空放数学书，故为C12，此时需要用语文书把数学书和英语书的另外一个空隔开，故为A22，即此时排列数为A22·C12·A22.
综上，排列总数为A33（A22·A26 C12·C12·C12·C12·C15 A22·A22 A22·C12·A22）.
4.整体与局部的思想
通过局部的性质来揭示整体的性质，又通过整体性质来研究局部性质，是一个经常用到的重要方法.
例8已知圆O为单位圆，A、B为圆上两点，以AB为边作正方形ABCD，则OD的取值范围为.
解析：此题方法较多，现介绍一种基于整体与局部思想指导下的解法.我们这样考虑：在圆O上固定一点A，点B在圆O上运动，点D满足AD⊥AB且AD=AB.故B点绕A点旋转π2即可得到点D.苏州陈兆华老师曾说：“当每一部分都在做一件事情时，当然是这个整体在做这件事情.”故把圆O绕绕A点旋转π2得到的圆O′即为D点轨迹，如右图.易得OD2≤OD≤OD1，即OD∈[2-1，2 1].
5.一般与特殊的思想
由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程是人们认识世界的基本过程之一.我们在平常的数学解题中，也经常遇到一些通过构造特殊函数、特殊数列，寻找特殊点、特殊位置，利用特殊值、特殊方程等由特殊到一般，或由一般到特殊的试题.
例9设函数f（x）=ax2 bx c（a<0）的定义域为D，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）构成一个正方形区域，则a的值为.
解析：由题意可知，若所有点（s，f（t））（s，t∈D）能构成一个正方形区域，则a的值为一个定值.不妨取f（x）=ax2 4，为了使得所有点（s，f（t））（s，t∈D）能构成一个正方形区域，易得a=-4.
把一般模型转化为特殊模型进行求解，实际上是一次演绎推理的过程，这就要求题目中需要存在开放条件，即对任意的某个模型，都有这个确定的结果，那么对于某个特殊的符合条件的模型，也应是这个结果.若题目中没有出现这样的开放条件，则用特殊解决一般的做法在逻辑上是行不通的.
三、微观探究，挖掘题目的本质及背景
解题如果仅限于把题目做出来，对于自身知识的储备是没有太大帮助的.深入探究一道题目的命题背景，更能让自己对题目所蕴含的知识做更深刻透彻的了解，从而达到举一反三的效果.
例10已知函数f（x）=exex，其导数记为f′（x）（e为自然对数的底数）.
（1）求函数f（x）的极大值；
（2）解方程f（f（x））=x.
解析：（1）f′（x）=e（1-x）ex，列表易知f（x）极大=f（1）=1；
（2）①当f（x）=exex=x时，解得x=0或x=1；
②当f（x）≠x时，必有两点M（m，n），N（n，m），（m≠n）位于函数y=f（x）图象上，且两点关于直线y=x对称.又因为f（x）≤1，所以m，n≤1.因为当x≤1时，
f′（x）≥0，f（x）单调递增.即对m，n≤1，f（m）-f（n）m-n>0≠-1，所以不存在两点连线率为-1.
综上，f（f（x））=x解为x=0或x=1.
探究：当f（f（x））=x时，满足题意的x应符合什么条件？
1.当f（x）=x时，此时显然f（f（x））=f（x）=x，即函数y=f（x）与直线y=x的交点满足题意.
2.当f（x）≠x时，设f（m）=n，则必有f（f（m））=f（n）=m，即f（m）=n，f（n）=m.
也即两点M（m，n），N（n，m）位于函数y=f（x）图象上.又因为两点连线斜率k=m-nn-m=-1，且中点（m n2，n m2）在直线y=x上，所以两点关于直线y=x对称.
综上，当f（f（x））=x时，满足题意的x的几何意义为函数y=f（x）与直线y=x的交点横坐标或函数y=f（x）图象上关于直线y=x对称的两点的横坐标（通常称为稳定点）.
四、独立思考，敢于发表不同见解
很多人解题时过于依赖答案，喜欢说“标准答案”如何如何.我认为所谓“标准答案”的说法本身就不恰当.数学研究提倡推陈出新，且对题目不同的理解方式决定了不同的解题策略，何来“标准”之说？称之为“参考答案”更为恰当，其作用只是限于参考，相当于学步工具，学会走路了，会跑了，自然就不需要了，当然也不是束之高阁，而是说不能依赖答案.我认为数学解题一定要有自己的见解和看法，不能书云亦云，人云亦云，学习和解题的过程应当提倡对知识和权威存疑，大胆假设，小心求证.
例11若关于x的不等式14x2 x-a2-a-3≤0（a∈[0，2]）在区间x∈[0，b]上恒成立，则实数b的最大值为.
错解：易解得x∈[-2-2a2 a 4，
-2 2a2 a 4]，又因为不等式在区间x∈[0，b]上恒成立，所以b≤-2 2a2 a 4，又因为a∈[0，2]，所以b≤210-2.
解析：此题犯了不注意数学语言表达严密性的常见错误，此解也是对题目的错解.为更清晰的展现题意，我们可以用模型简化的方式进行理解.如：已知函数f（x）=x2 a2（a∈R），则函数f（x）的最小值为.显然此题的答案为a2而不是0.在一道题目中，条件若对字母a无描述，则应视a为常量，而不是变量.在例1中，b的最大值应该是关于a的表达式，而不能把a视为变量继续求最大值.
总之，数学问题灵活多变，对于解题，肯定远远不止这些做法，每个人都有自己的思维特点，对题目的不同角度的理解，会产生多种奇妙的解法，让我们静下心来，潜心钻研，将解题研究进行到底.
（作者：陈志华，泰兴市第二高级中学）