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摘 要:Coullet混沌是典型的三阶非线性系统,采用Simulink软件进行仿真和反馈控制。采用Simulink软件建立仿真实验系统,并进行仿真实验。实验结果表明,反馈控制器能够进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。该仿真实验能够培养学生的工程意识,提高学生的学习兴趣,激发学生的创新精神。
关键词:反馈控制 Coullet混沌系统 仿真实验 Simulink软件
Abstract:Coullet chaos is a typical third-order nonlinear system, which is simulated and feedback control using Simulink software. Simulink software is used to establish the simulation experiment system and carry out the simulation experiment. The experiment results show that the feedback controller can balance the Coullet chaotic system, and the state variables gradually converge to zero. The simulation experiment can cultivate the students’ engineering consciousness, improve students’ interest in learning and stimulate students’ innovative spirit.
Key Words:Feedback control; Coullet chaotic system; Simulation experiment; Simulink software
混沌对初始条件极其敏感,微小的初值改变都会引起系统状态变量的剧烈波动。混沌是具有整体稳定、局部不稳定的非线性动力系统,广泛存在于自然界和人类社会中。混沌系统在保密通信和信息处理等領域都具有广泛的应用前景[1]。
本文以Coullet混沌系统为研究对象[2-3],采用Simulink软件进行混沌仿真和反馈控制,并对仿真结果进行了分析。Simulink是MATLAB软件的重要组成部分,是重要的教学和科研辅助手段,广泛应用于动态系统的仿真[11],只需要很少的代码就能实现复杂的功能。根据Coullet混沌系统的状态方程,设计反馈控制器进行系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。该仿真实验系统将理论学习和工程实践相结合,能够激发学生的学习兴趣,增强学生的编程能力和工程实践能力。
1 Coullet混沌系统
Coullet混沌系统结构简单,能够用硬件电路实现,是典型的三阶自治非线性混沌系统[4],只需要一个控制输入就能实现系统的平衡控制。Coullet混沌系统为三阶常微分方程,表示为
Coullet混沌系统具有奇对称性,具有3个平衡点,分别为,,。这三个平衡点都是不稳定的鞍焦点,Coullet混沌系统具有2个奇异吸引子,相图为两个涡卷。
2 Coullet混沌仿真
根据Coullet混沌系统的状态方程,采用ode45算法进行仿真。ode45算法是四阶-五阶Runge-Kutta算法。采用Simulink软件建立Coullet混沌的仿真系统,如图1所示。在图1中,Coullet混沌系统的初始状态设定为,,,仿真时间为200s。
Coullet混沌状态变量x1和x2的二维相图,如图2所示,状态变量x1和x3的二维相图,如图3所示,系统处于混沌状态。状态变量的响应曲线,如图4所示。
3 反馈控制器
采用反馈控制器进行Coullet混沌系统的平衡控制。对于Coullet混沌系统,带有控制输入的受控系统为
当k=-2时,该矩阵的特征值为,。特征值的实部均小于零,状态变量渐进收敛到零,能够实现Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,即。
4 仿真实验
本文主要采用Simulink中的MATLAB Function模块和积分模块等建立仿真实验系统。MATLAB Function模块采用MATLAB语言进行编程,非常适合建立仿真系统,很少的代码就能实现非常复杂的功能[5-7]。采用反馈控制器进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。采用Simulink软件建立的实验系统,如图5所示。在图5中,Coullet混沌系统的初始状态设定为,,。在反馈控制器中,参数设定为k=-2。状态变量和控制器通过示波器进行显示,并保存到MATLAB软件的工作空间中。在图5的仿真实验系统中,采用ode45算法,最大步长设置为0.001s,仿真时间为25s。
仿真实验系统运行后,Coullet混沌系统状态变量的响应曲线,如图6所示。在图6中,状态变量渐进收敛并在15s时基本收敛到零。反馈控制器的响应曲线,如图7所示。在图7中,反馈控制器比较平滑,最小值为-0.2,最后也收敛到零。仿真结果表明,反馈控制器能够进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,即。
5 结语
采用Simulink软件进行Coullet混沌系统的仿真和反馈控制。根据Coullet混沌系统的状态方程进行仿真,显示状态变量的响应曲线和二维相图。根据Coullet混沌系统的状态方程,设计反馈控制器进行系统的平衡控制。反馈控制器能够进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,并对仿真结果进行了分析。该实验采用Simulink软件进行建模和仿真,比较形象和直观,学生可以修改系统的参数,然后进行仿真实验。该仿真实验系统将理论学习和编程实践相结合,能够降低实验成本,培养学生的工程意识,激发学生的学习兴趣和创新精神。
参考文献
[1] 孙克辉. 混沌保密通信原理与技术[M]. 北京:清华大学出版社,2015.
[2] 刘扬正,林长圣,费树岷,等.Coullet系统异结构线性反馈混沌同步[J].系统工程与电子技术,2006(4):591-593.
[3] 刘扬正,钱仰德,姜长生,等.Coullet混沌系统的演化和控制实验[J].大学物理,2006(8):36-39.
[4] 张洁,马胜前,张新国,等.Genesio-Tesi系统和Coullet系统的电路实现[J].西北师范大学学报:自然科学版,2012,48(4):38-41.
[5] 石良臣.MATLAB/Simulink系统仿真超级学习手册[M].北京:人民邮电出版社,2014.
[6] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用(第3版)[M].北京:清华大学出版社,2012.
[7] 薛定宇.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].4版.北京:清华大学出版社,2018.
关键词:反馈控制 Coullet混沌系统 仿真实验 Simulink软件
Abstract:Coullet chaos is a typical third-order nonlinear system, which is simulated and feedback control using Simulink software. Simulink software is used to establish the simulation experiment system and carry out the simulation experiment. The experiment results show that the feedback controller can balance the Coullet chaotic system, and the state variables gradually converge to zero. The simulation experiment can cultivate the students’ engineering consciousness, improve students’ interest in learning and stimulate students’ innovative spirit.
Key Words:Feedback control; Coullet chaotic system; Simulation experiment; Simulink software
混沌对初始条件极其敏感,微小的初值改变都会引起系统状态变量的剧烈波动。混沌是具有整体稳定、局部不稳定的非线性动力系统,广泛存在于自然界和人类社会中。混沌系统在保密通信和信息处理等領域都具有广泛的应用前景[1]。
本文以Coullet混沌系统为研究对象[2-3],采用Simulink软件进行混沌仿真和反馈控制,并对仿真结果进行了分析。Simulink是MATLAB软件的重要组成部分,是重要的教学和科研辅助手段,广泛应用于动态系统的仿真[11],只需要很少的代码就能实现复杂的功能。根据Coullet混沌系统的状态方程,设计反馈控制器进行系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。该仿真实验系统将理论学习和工程实践相结合,能够激发学生的学习兴趣,增强学生的编程能力和工程实践能力。
1 Coullet混沌系统
Coullet混沌系统结构简单,能够用硬件电路实现,是典型的三阶自治非线性混沌系统[4],只需要一个控制输入就能实现系统的平衡控制。Coullet混沌系统为三阶常微分方程,表示为
Coullet混沌系统具有奇对称性,具有3个平衡点,分别为,,。这三个平衡点都是不稳定的鞍焦点,Coullet混沌系统具有2个奇异吸引子,相图为两个涡卷。
2 Coullet混沌仿真
根据Coullet混沌系统的状态方程,采用ode45算法进行仿真。ode45算法是四阶-五阶Runge-Kutta算法。采用Simulink软件建立Coullet混沌的仿真系统,如图1所示。在图1中,Coullet混沌系统的初始状态设定为,,,仿真时间为200s。
Coullet混沌状态变量x1和x2的二维相图,如图2所示,状态变量x1和x3的二维相图,如图3所示,系统处于混沌状态。状态变量的响应曲线,如图4所示。
3 反馈控制器
采用反馈控制器进行Coullet混沌系统的平衡控制。对于Coullet混沌系统,带有控制输入的受控系统为
当k=-2时,该矩阵的特征值为,。特征值的实部均小于零,状态变量渐进收敛到零,能够实现Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,即。
4 仿真实验
本文主要采用Simulink中的MATLAB Function模块和积分模块等建立仿真实验系统。MATLAB Function模块采用MATLAB语言进行编程,非常适合建立仿真系统,很少的代码就能实现非常复杂的功能[5-7]。采用反馈控制器进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零。采用Simulink软件建立的实验系统,如图5所示。在图5中,Coullet混沌系统的初始状态设定为,,。在反馈控制器中,参数设定为k=-2。状态变量和控制器通过示波器进行显示,并保存到MATLAB软件的工作空间中。在图5的仿真实验系统中,采用ode45算法,最大步长设置为0.001s,仿真时间为25s。
仿真实验系统运行后,Coullet混沌系统状态变量的响应曲线,如图6所示。在图6中,状态变量渐进收敛并在15s时基本收敛到零。反馈控制器的响应曲线,如图7所示。在图7中,反馈控制器比较平滑,最小值为-0.2,最后也收敛到零。仿真结果表明,反馈控制器能够进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,即。
5 结语
采用Simulink软件进行Coullet混沌系统的仿真和反馈控制。根据Coullet混沌系统的状态方程进行仿真,显示状态变量的响应曲线和二维相图。根据Coullet混沌系统的状态方程,设计反馈控制器进行系统的平衡控制。反馈控制器能够进行Coullet混沌系统的平衡控制,状态变量渐进收敛到零,并对仿真结果进行了分析。该实验采用Simulink软件进行建模和仿真,比较形象和直观,学生可以修改系统的参数,然后进行仿真实验。该仿真实验系统将理论学习和编程实践相结合,能够降低实验成本,培养学生的工程意识,激发学生的学习兴趣和创新精神。
参考文献
[1] 孙克辉. 混沌保密通信原理与技术[M]. 北京:清华大学出版社,2015.
[2] 刘扬正,林长圣,费树岷,等.Coullet系统异结构线性反馈混沌同步[J].系统工程与电子技术,2006(4):591-593.
[3] 刘扬正,钱仰德,姜长生,等.Coullet混沌系统的演化和控制实验[J].大学物理,2006(8):36-39.
[4] 张洁,马胜前,张新国,等.Genesio-Tesi系统和Coullet系统的电路实现[J].西北师范大学学报:自然科学版,2012,48(4):38-41.
[5] 石良臣.MATLAB/Simulink系统仿真超级学习手册[M].北京:人民邮电出版社,2014.
[6] 薛定宇.控制系统计算机辅助设计-MATLAB语言与应用(第3版)[M].北京:清华大学出版社,2012.
[7] 薛定宇.高等应用数学问题的MATLAB求解[M].4版.北京:清华大学出版社,2018.