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摘 要：模糊描述逻辑的提出是针对现实生活中存在的模糊现象，而模态逻辑解决的是现实生活中具有的状态和状态转换现象等。将模态逻辑中的模态思想和模糊逻辑中的模糊理论相结合，同时结合描述逻辑，形成模态模糊描述逻辑（M-FALC）。考虑不同论域中的可能存在的模糊概念，关系，公式等，本文给出M-FALC的形式化公理体系及其推理，既能解决现实问题中的状态现象又解决模糊现象。
关键词：模糊描述逻辑；模态逻辑；模态模糊描述逻辑
中图分类号：TP182
针对现实生活中，有许多的信息具有模态属性[1]并且带有模糊性，不精确性的特点，将模态逻辑与模糊描述逻辑进行结合。模糊描述逻辑是描述逻辑的模糊扩展，而模态逻辑可以表达模态词的含义[2]。两者都具有模糊的性质，其中模糊逻辑是对经典逻辑的语义进行了扩充，而模态逻辑是对经典逻辑的语构进行的扩充。这里将模态描述逻辑与模糊描述逻辑相结合，增强语义表达的能力。
1 基础知识简介
1.1 模糊描述逻辑（Fuz-ALC）
近年来，用模糊论来表达本体中的不确定性知识，越来越多地得到学术界研究者的广泛关注，成为不确定人工智能，知识发现和智能数据分析等领域中的重要研究方向。1965年，Zadeh最早提出模糊集理论[3]，从此被广泛应用在人工智能领域，数据挖掘以及决策分析中。由此产生了表达模糊思想的描述逻辑-模糊描述逻辑（FALC）以及基于此的多种扩展的模糊描述逻辑。
1.2 模态描述逻辑（Modal-ALC）
用描述逻辑不能表示动态的知识，如基于时间，不同智能主体的，主观的知识等，但是可以用模态逻辑来表示。模态逻辑是研究形如“必然的”或“可能”这种表达式的推理行为[4]，引入了两个模态算子：□（必然）和◇（可能）[5]。将模态逻辑和描述逻辑进行整合产生的模态描述逻辑（MALC）可以作带不确定信息的语义Web的逻辑基础，比描述逻辑ALC有更强的表达能力[6][7]。
2 基于模态的模糊描述逻辑（M-FALC）的形式化公理体系
传统的模态算子有□和◇，分别表示“必然”和“可能”，在M-FALC中，将传统的两个模态算子扩展到广义模态算子上，如同时态逻辑中时态算子就可以有多个。现定义如下：
定义2.1：设W是非空集合，称为宇宙，其成员称为可能世界，每一个可能世界用x，y，z…等表示，而每一个可能世界都有一个模态算子，模态算子可以分别用α，β，γ…等表示（如将现有状态作为默认状态，则其模态算子可以省略，退化为一般情况的描述逻辑）。
注：本文中涉及的广义模态算子和传统模态算子是相通的，比如，广义模态算子有α，β，γ…，考虑的是每个可能世界x，y，z…中的真和假，当某个事物在广义模态划分的所有可能世界中为真，等同于在传统模态划分的世界，即模态算子取□（“必然”）的情况下为真。反之等同于在传统模态划分的世界，即模态算子取◇（“可能”）的情况下为真。
2.1 M-FALC的语法
将经典逻辑的语义进行扩充得到的模糊逻辑和将经典逻辑的语构进行扩充得到模态逻辑相结合，得到的模态模糊描述逻辑（M-FALC）是1-型模糊描述逻辑FALC的语法的扩充。M-FALC的概念按如下规则定义：
定义3.2：设CN是M-FALC描述逻辑中原子概念的集合，R为关系，C和D是概念，α，β，γ…为模态算子，且α，β，γ…∈Δ（Δ为所有模态算子的集合），p表示概率值，则M-FALC中概念按照如下抽象语法定义：
（1）原子概念C，全概念T和空概念⊥都是M-FALC概念；
（2）对每一个概念CP∈CN，CP是M-FALC概念；
（3）如果CP和DP都是M-FALC概念，则 是M-FALC概念；
（4）如果CP是M-FALC概念，模态算子α∈Δ，则αCP是M-FALC概念；
2.2 M-FALC的语义
模态模糊描述逻辑（M-FALC）的语义模型用一个四元组K=（W，ω，Δ，FI）来表示：
（1）非空集合W，称为宇宙，是模态模糊描述逻辑模型中所有可能状态的集合，相当于每个可能世界中的x，y，z…等；
（2）非空集合ω，称为模态算子，是模态模糊描述逻辑中的可能世界对应的模态算子α，β，γ…等的集合。和前面所论述的一样，当某事物在所有模态算子限定的情况下都成立，相当于在□（“必然”）情况下成立，否则，相当于在◇（“可能”）情况下成立；
（3）非空集合Δ，是该系统中所讨论的所有个体对象的集合，又称为论域；
（4）FI是指对该系统中的个体常元，概念和关系加以模糊解释的映射I。
在M-FALC中的语义是将概念解释为某一论域或某一模态下的表征模糊度的隶属度值，关系是该论域或该模态下的模糊关系。本文应用的模糊解释，也就是M-FALC的映射关系表示为FI=（ω，ΔFI，·FI），其中，模态算子ω限制的是某一个可能世界，或者是某一特定状态；解释论域ΔFI是非空的个体集合；·FI是从模态模糊概念和关系到某个模态下的隶属度值的映射函数，也就是将概念解释为某一模态ω下，在论域ΔFI下的模糊值，关系也是该模态ω下，该论域ΔFI下的模糊二元关系。现将基于模态的模糊描述逻辑的语法和语义如表1所示：
表1给出了M-FALC的语法及语义。与FALC不同的地方在于，这里有模态算子的限定，我们用α代替；另外，M-FALC中ΔFI是[0，1]区间内数值的集合，我们这里用u来表示，其中u∈[0，1]。
3 结论
模态模糊描述逻辑的提出是为了表达现实生活中许多问题不仅具有模糊现象，而且该模糊现象也具有一定模态限制；既能保持描述逻辑的优点，又扩展了描述逻辑的语义和语构，增强了描述逻辑的表达能力。本文只是在理论上提出了新的观点，进一步的工作不仅是要完善语法，语义及知识库的解释，也期望能在实际的推理机上得到应用和实现。
参考文献：
[1]BaaderF，LauxA.TerminologicalLogicswithModalOperators[C].Procofthe14thInt’lJointConfonArtificalIntel-ligence，1995：808-814.
[2]余泉，王驹.模态描述逻辑的模型[J].南京大学学报，2007，24（2）：222-237.
[3]ZadehLA.FuzzylogicComputingwithwords.IEEETrans.onFuzzySystems，1996，4（2）：103-111.
[4]JiangYC，TangY，WangJ.FuzzyERmodelingwithdescriptionlogics.JournalofSoftware，2006，17（1）：20-30（inChinesewithEnglishabstract）.http：//www.jos.org.cn/1000-9825/17/20.htm.
[5]StoilosG，StamouG，PanJZ.Handlingimpreciseknowledgewithfuzzydescriptionlogic.In：ParsiaB，SattlerU，TomanD，eds.Proc.oftheInt’lWorkshoponDescriptionLogics.Aachen：CEUR-WS.orgPublishers，2006：71-79.
[6]余泉，王驹.模态描述逻辑的模型[J].南京大学学报数学半年刊学报2007，24（2）：222-237.
[7]余泉，张维，王驹.模态描述逻辑MALC模型的几个代数性质[J].计算机工程与科学，2010，32（10）：135-138.
关键词：模糊描述逻辑；模态逻辑；模态模糊描述逻辑
中图分类号：TP182
针对现实生活中，有许多的信息具有模态属性[1]并且带有模糊性，不精确性的特点，将模态逻辑与模糊描述逻辑进行结合。模糊描述逻辑是描述逻辑的模糊扩展，而模态逻辑可以表达模态词的含义[2]。两者都具有模糊的性质，其中模糊逻辑是对经典逻辑的语义进行了扩充，而模态逻辑是对经典逻辑的语构进行的扩充。这里将模态描述逻辑与模糊描述逻辑相结合，增强语义表达的能力。
1 基础知识简介
1.1 模糊描述逻辑（Fuz-ALC）
近年来，用模糊论来表达本体中的不确定性知识，越来越多地得到学术界研究者的广泛关注，成为不确定人工智能，知识发现和智能数据分析等领域中的重要研究方向。1965年，Zadeh最早提出模糊集理论[3]，从此被广泛应用在人工智能领域，数据挖掘以及决策分析中。由此产生了表达模糊思想的描述逻辑-模糊描述逻辑（FALC）以及基于此的多种扩展的模糊描述逻辑。
1.2 模态描述逻辑（Modal-ALC）
用描述逻辑不能表示动态的知识，如基于时间，不同智能主体的，主观的知识等，但是可以用模态逻辑来表示。模态逻辑是研究形如“必然的”或“可能”这种表达式的推理行为[4]，引入了两个模态算子：□（必然）和◇（可能）[5]。将模态逻辑和描述逻辑进行整合产生的模态描述逻辑（MALC）可以作带不确定信息的语义Web的逻辑基础，比描述逻辑ALC有更强的表达能力[6][7]。
2 基于模态的模糊描述逻辑（M-FALC）的形式化公理体系
传统的模态算子有□和◇，分别表示“必然”和“可能”，在M-FALC中，将传统的两个模态算子扩展到广义模态算子上，如同时态逻辑中时态算子就可以有多个。现定义如下：
定义2.1：设W是非空集合，称为宇宙，其成员称为可能世界，每一个可能世界用x，y，z…等表示，而每一个可能世界都有一个模态算子，模态算子可以分别用α，β，γ…等表示（如将现有状态作为默认状态，则其模态算子可以省略，退化为一般情况的描述逻辑）。
注：本文中涉及的广义模态算子和传统模态算子是相通的，比如，广义模态算子有α，β，γ…，考虑的是每个可能世界x，y，z…中的真和假，当某个事物在广义模态划分的所有可能世界中为真，等同于在传统模态划分的世界，即模态算子取□（“必然”）的情况下为真。反之等同于在传统模态划分的世界，即模态算子取◇（“可能”）的情况下为真。
2.1 M-FALC的语法
将经典逻辑的语义进行扩充得到的模糊逻辑和将经典逻辑的语构进行扩充得到模态逻辑相结合，得到的模态模糊描述逻辑（M-FALC）是1-型模糊描述逻辑FALC的语法的扩充。M-FALC的概念按如下规则定义：
定义3.2：设CN是M-FALC描述逻辑中原子概念的集合，R为关系，C和D是概念，α，β，γ…为模态算子，且α，β，γ…∈Δ（Δ为所有模态算子的集合），p表示概率值，则M-FALC中概念按照如下抽象语法定义：
（1）原子概念C，全概念T和空概念⊥都是M-FALC概念；
（2）对每一个概念CP∈CN，CP是M-FALC概念；
（3）如果CP和DP都是M-FALC概念，则 是M-FALC概念；
（4）如果CP是M-FALC概念，模态算子α∈Δ，则αCP是M-FALC概念；
2.2 M-FALC的语义
模态模糊描述逻辑（M-FALC）的语义模型用一个四元组K=（W，ω，Δ，FI）来表示：
（1）非空集合W，称为宇宙，是模态模糊描述逻辑模型中所有可能状态的集合，相当于每个可能世界中的x，y，z…等；
（2）非空集合ω，称为模态算子，是模态模糊描述逻辑中的可能世界对应的模态算子α，β，γ…等的集合。和前面所论述的一样，当某事物在所有模态算子限定的情况下都成立，相当于在□（“必然”）情况下成立，否则，相当于在◇（“可能”）情况下成立；
（3）非空集合Δ，是该系统中所讨论的所有个体对象的集合，又称为论域；
（4）FI是指对该系统中的个体常元，概念和关系加以模糊解释的映射I。
在M-FALC中的语义是将概念解释为某一论域或某一模态下的表征模糊度的隶属度值，关系是该论域或该模态下的模糊关系。本文应用的模糊解释，也就是M-FALC的映射关系表示为FI=（ω，ΔFI，·FI），其中，模态算子ω限制的是某一个可能世界，或者是某一特定状态；解释论域ΔFI是非空的个体集合；·FI是从模态模糊概念和关系到某个模态下的隶属度值的映射函数，也就是将概念解释为某一模态ω下，在论域ΔFI下的模糊值，关系也是该模态ω下，该论域ΔFI下的模糊二元关系。现将基于模态的模糊描述逻辑的语法和语义如表1所示：
表1给出了M-FALC的语法及语义。与FALC不同的地方在于，这里有模态算子的限定，我们用α代替；另外，M-FALC中ΔFI是[0，1]区间内数值的集合，我们这里用u来表示，其中u∈[0，1]。
3 结论
模态模糊描述逻辑的提出是为了表达现实生活中许多问题不仅具有模糊现象，而且该模糊现象也具有一定模态限制；既能保持描述逻辑的优点，又扩展了描述逻辑的语义和语构，增强了描述逻辑的表达能力。本文只是在理论上提出了新的观点，进一步的工作不仅是要完善语法，语义及知识库的解释，也期望能在实际的推理机上得到应用和实现。
参考文献：
[1]BaaderF，LauxA.TerminologicalLogicswithModalOperators[C].Procofthe14thInt’lJointConfonArtificalIntel-ligence，1995：808-814.
[2]余泉，王驹.模态描述逻辑的模型[J].南京大学学报，2007，24（2）：222-237.
[3]ZadehLA.FuzzylogicComputingwithwords.IEEETrans.onFuzzySystems，1996，4（2）：103-111.
[4]JiangYC，TangY，WangJ.FuzzyERmodelingwithdescriptionlogics.JournalofSoftware，2006，17（1）：20-30（inChinesewithEnglishabstract）.http：//www.jos.org.cn/1000-9825/17/20.htm.
[5]StoilosG，StamouG，PanJZ.Handlingimpreciseknowledgewithfuzzydescriptionlogic.In：ParsiaB，SattlerU，TomanD，eds.Proc.oftheInt’lWorkshoponDescriptionLogics.Aachen：CEUR-WS.orgPublishers，2006：71-79.
[6]余泉，王驹.模态描述逻辑的模型[J].南京大学学报数学半年刊学报2007，24（2）：222-237.
[7]余泉，张维，王驹.模态描述逻辑MALC模型的几个代数性质[J].计算机工程与科学，2010，32（10）：135-138.