论文部分内容阅读
数学学习重在触类旁通，下面以一个图形为基本模式，展现它在解题中的魅力，利用好它能够解决一系列难题。下面将笔者的所思与大家分享，以期得到进一步的提升。
基本模式：如图1，若点E是线段AB上的一点，且∠CAE=∠EBD=∠CED=90°则△CAE∽△EBD.（当CE=DE时，△CAE≌△EBD，如图2）。
图1、图2基本模式的证明思路：利用七年级“同角的余角相等”得到∠ACE+∠CEA=∠BED+∠CEA，得出∠ACE=∠BED又因为∠CAE=∠EBD，根据相似三角形的判定方法之“两角法”证出△CAE∽△EBD。如果要证明全等，就用所得条件，再结合已知CE=DE利用AAS或ASA即证得。
基本模式变式1：如图3，把△EBD平移使得点E和点A重合，此时CE和AD的交于点H，同时保证∠CHD=90°，这里同样可以利用基本模式的方法证明出两个三角形相似的结论，然后再把这样重叠后的两个三角形放入正方形（或者其他特殊图形中）就可演变为一道中考压轴题。
图4是图3在动态的情况下的特殊情况，即当点D作为动点，当该点和点F重合后的情形，此时在正方形内，△CAE和△EBD都变成了等腰直角三角形，如果点C和点E都作为动点的话，最后还会出现图5这个特殊情况。
一、利用模式引发“血案一”，轻松解决中难题
例1：如图6-1，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3.若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，则的长是
分析：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，利用基本模式（图2），证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质，可得BE=CD=3，再利用勾股定理列式求出AC=■的长，最后再由勾股定理或者利用等腰直角三角形的斜边等于直角边的■倍得结果AB=■AC=■×■=2■.
二、利用模式引发“血案二”，轻松解决图形变换题型
（一）一次折叠的血案
例2：如图7，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 cm2.
分析：利用基本模式得出△ABF∽△FCE，注意根据折叠的过程以及矩形的性质，得：AF=AD=BC，EF=DE=CD-CE=AB-CE=8-3=5.根据勾股定理求得CF=4，再设BF=x，由相似性质：■=■，解得求得S△ABF+S△CEF=■AB·BF+■FC·CE=30cm2。
（二）两次折叠的血案
例3 ：将矩形纸片ABCE按如图8的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，BE=■，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC和CF的长为（ ）。
A.3■和2 B.3和2■ C.4■和■ D.4和2
（1）BC的思路分析：由折叠的性质，可得：∠AEB=∠AEC1，EC=EC1，又由四边形ABCE是矩形，得出AD∥BC，证出∠AEC1=∠AEB=∠EAC1=60°，证得△AEC1是等边三角形，可得EC1=AE，等量代换得EC=AE，又由30°直角三角形的性质，得AE=2BE=2■，则BC=AE+EC=3■.（2）解CF的简要过程：由（1）得EC=2■，AB=3，又由基本模式，易得△ABE∽△ECF，∴■=■，∴CF=2。故选A.
三、利用模式引发“血案”——添加辅助线，轻松解决动态压轴题
（一）静态压轴题的血案
例4：如图9，边长为4的正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的动点（不与点O，A重合），EP⊥CE，且EP交正方形外角的平分线AP于点P。
（1）如图9-1，当点E是边的中点OA时，证明CE=EP；
（2）如图9-1，当点E是OA边的中点时，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图9-2，当点E是OA边上的任意一点时（点E不与点O，A重合），设点E坐标为E（t，0）（0 （1）利用基本模式，作出相应辅助线，如图9-3，过P作PH⊥x轴，交x轴于点H，易证得△OCE∽△HEP，由相似性质得到关于HP的方程，得到HP的值；在Rt△OCE与Rt△HEP中，分别利用勾股定理求出CE与EP，即证到CE=EP；
（2）利用基本模式变式1中的图4原理作辅助线。如图9-3，过B作BM∥PE，由CE⊥EP，推出CE⊥BM，利用同角的余角相等可得∠OCE=∠CBM，又∵BC=CO，利用ASA证得△BCM≌△COE，∴BM=CE，而EP=CE，可得出EP=BM及四边形BMEP为平行四边形，由全等的性质得CM=OE=2，求出OM的长即求得M坐标；
（3）理由与（1）同理，如图9-4过点P作PH⊥x轴，由基本模式得△COE∽△EHP，∴利用■=■，得HP=t，EH=4-t+GP=4，最后利用勾股定理得出结论.
（二）动态压轴题的血案
例5：如图10，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB.过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D.运动时间为t秒.当点B与D点重合时，t的值为 ；
分析：易得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE=OC，根据比例式，求得t=8。
四、利用模式，触类旁通
（一）从相似到三角函数的血案
例6：如图11，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使D点落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为 .
分析：根据折叠的性质和锐角三角函数.在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=BC=10，由勾股定理得BF=6，根据基本模式得∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF=■=■该题是证明基本模式过程中步骤的应用。
（二）利用模式，解决多种血案
例7：如图12，在矩形纸片ABCD中，已知AB：BC=2：3，点M在BC边上，将矩形折叠，使点D落在点M处，折痕为EF，若AE=2，CM=4，则AB的长为 .
分析：如图13，过点E作EG⊥BC，设AB=EG=2x，BC=3x，GM=BC-BG-MC=3x-6，EM=ED=BC-AE=3x-2，由勾股定理EG2+GM2=EM2，解得x1=4，2=2（舍去），故AB的长为8。
由以上“血案累累”可见，在考虑破案同时，一定要多角度、全方位、多层次的思考，以不变应万变。
基本模式：如图1，若点E是线段AB上的一点，且∠CAE=∠EBD=∠CED=90°则△CAE∽△EBD.（当CE=DE时，△CAE≌△EBD，如图2）。
图1、图2基本模式的证明思路：利用七年级“同角的余角相等”得到∠ACE+∠CEA=∠BED+∠CEA，得出∠ACE=∠BED又因为∠CAE=∠EBD，根据相似三角形的判定方法之“两角法”证出△CAE∽△EBD。如果要证明全等，就用所得条件，再结合已知CE=DE利用AAS或ASA即证得。
基本模式变式1：如图3，把△EBD平移使得点E和点A重合，此时CE和AD的交于点H，同时保证∠CHD=90°，这里同样可以利用基本模式的方法证明出两个三角形相似的结论，然后再把这样重叠后的两个三角形放入正方形（或者其他特殊图形中）就可演变为一道中考压轴题。
图4是图3在动态的情况下的特殊情况，即当点D作为动点，当该点和点F重合后的情形，此时在正方形内，△CAE和△EBD都变成了等腰直角三角形，如果点C和点E都作为动点的话，最后还会出现图5这个特殊情况。
一、利用模式引发“血案一”，轻松解决中难题
例1：如图6-1，l1∥l2∥l3，且l1，l2之间的距离为2，l2，l3之间的距离为3.若点A，B，C分别在直线l1，l2，l3上，且AC⊥BC，AC=BC，则的长是
分析：过点A作AD⊥l3于D，过点B作BE⊥l3于E，利用基本模式（图2），证明△ACD≌△CBE，根据全等三角形的性质，可得BE=CD=3，再利用勾股定理列式求出AC=■的长，最后再由勾股定理或者利用等腰直角三角形的斜边等于直角边的■倍得结果AB=■AC=■×■=2■.
二、利用模式引发“血案二”，轻松解决图形变换题型
（一）一次折叠的血案
例2：如图7，将矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上点F处，已知CE=3cm，AB=8cm，则图中阴影部分面积为 cm2.
分析：利用基本模式得出△ABF∽△FCE，注意根据折叠的过程以及矩形的性质，得：AF=AD=BC，EF=DE=CD-CE=AB-CE=8-3=5.根据勾股定理求得CF=4，再设BF=x，由相似性质：■=■，解得求得S△ABF+S△CEF=■AB·BF+■FC·CE=30cm2。
（二）两次折叠的血案
例3 ：将矩形纸片ABCE按如图8的方式折叠，AE、EF为折痕，∠BAE=30°，BE=■，折叠后，点C落在AD边上的C1处，并且点B落在EC1边上的B1处，则BC和CF的长为（ ）。
A.3■和2 B.3和2■ C.4■和■ D.4和2
（1）BC的思路分析：由折叠的性质，可得：∠AEB=∠AEC1，EC=EC1，又由四边形ABCE是矩形，得出AD∥BC，证出∠AEC1=∠AEB=∠EAC1=60°，证得△AEC1是等边三角形，可得EC1=AE，等量代换得EC=AE，又由30°直角三角形的性质，得AE=2BE=2■，则BC=AE+EC=3■.（2）解CF的简要过程：由（1）得EC=2■，AB=3，又由基本模式，易得△ABE∽△ECF，∴■=■，∴CF=2。故选A.
三、利用模式引发“血案”——添加辅助线，轻松解决动态压轴题
（一）静态压轴题的血案
例4：如图9，边长为4的正方形OABC的顶点O在坐标原点，顶点A，C分别在x轴、y轴的正半轴上，点E是OA边上的动点（不与点O，A重合），EP⊥CE，且EP交正方形外角的平分线AP于点P。
（1）如图9-1，当点E是边的中点OA时，证明CE=EP；
（2）如图9-1，当点E是OA边的中点时，在y轴上是否存在点M，使得四边形BMEP是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由；
（3）如图9-2，当点E是OA边上的任意一点时（点E不与点O，A重合），设点E坐标为E（t，0）（0
（2）利用基本模式变式1中的图4原理作辅助线。如图9-3，过B作BM∥PE，由CE⊥EP，推出CE⊥BM，利用同角的余角相等可得∠OCE=∠CBM，又∵BC=CO，利用ASA证得△BCM≌△COE，∴BM=CE，而EP=CE，可得出EP=BM及四边形BMEP为平行四边形，由全等的性质得CM=OE=2，求出OM的长即求得M坐标；
（3）理由与（1）同理，如图9-4过点P作PH⊥x轴，由基本模式得△COE∽△EHP，∴利用■=■，得HP=t，EH=4-t+GP=4，最后利用勾股定理得出结论.
（二）动态压轴题的血案
例5：如图10，在平面直角坐标系中，点C的坐标为（0，4），动点A以每秒1个单位长的速度，从点O出发沿x轴的正方向运动，M是线段AC的中点.将线段AM以点A为中心，沿顺时针方向旋转90°，得到线段AB.过点B作x轴的垂线，垂足为E，过点C作y轴的垂线，交直线BE于点D.运动时间为t秒.当点B与D点重合时，t的值为 ；
分析：易得Rt△CAO∽Rt△ABE；当B、D重合时，BE=OC，根据比例式，求得t=8。
四、利用模式，触类旁通
（一）从相似到三角函数的血案
例6：如图11，沿AE折叠矩形纸片ABCD，使D点落在BC边的点F处已知AB=8，BC=10，则tan∠EFC的值为 .
分析：根据折叠的性质和锐角三角函数.在Rt△ABF中，有AB=8，AF=AD=BC=10，由勾股定理得BF=6，根据基本模式得∠EFC=∠BAF，故tan∠EFC=tan∠BAF=■=■该题是证明基本模式过程中步骤的应用。
（二）利用模式，解决多种血案
例7：如图12，在矩形纸片ABCD中，已知AB：BC=2：3，点M在BC边上，将矩形折叠，使点D落在点M处，折痕为EF，若AE=2，CM=4，则AB的长为 .
分析：如图13，过点E作EG⊥BC，设AB=EG=2x，BC=3x，GM=BC-BG-MC=3x-6，EM=ED=BC-AE=3x-2，由勾股定理EG2+GM2=EM2，解得x1=4，2=2（舍去），故AB的长为8。
由以上“血案累累”可见，在考虑破案同时，一定要多角度、全方位、多层次的思考，以不变应万变。