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运动变化问题是初中综合运用知识的一道最美丽的风景,也是最近几年中考的热点且常在中考的压轴题里出现。解这类问题的关键是要抓住“动中含静”的解题思想,动中窥静,在变化中求不变,以静制动。动时则存在两个变量间的函数关系,静时则存在两个量间的等量关系。根据我多年的教学经验,下面谈谈这类题的解法。
首先,应认真读题。解决数学问题,读懂题意是非常关键的,尤其是这类问题文字叙述较长的题,往往读一遍两遍都无济于事。教学时,可以让学生静下心仔细阅读,必要时可在图形处作一些标记,如动点速度、运动方向等,特别需要注意的是:两个动点或两个运动图形是否是同时出发、各自运动速度是多少、运动方向怎样,当一点(或一个图形)运动到终点,另一点(图形)随之停止,还是继续运动,所求函数关系式是形成的阴影部分的周长还是面积?例如,菱形OABC的边长为4cm,∠B=60,动点P从O出发,以1cm/s的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2s后,动点Q从O出发,在OA上以1cm/s的速度在AB上以2cm/s的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线。设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为y,求y与x之间的函数关系。
此题是动点问题,有两个动点P、Q,P、Q不是同时出发,且动点Q不是匀速运动,但P、Q的运动路线是一样的。这时,要根据菱形边长及P、Q运动速度考虑在运动过程中Q点能否追上P点,点P、Q谁先到达终点。特别需要注意的是,所求问题是“周长”而不是“面积”。因为运动变化问题大多数涉及的都是图形面积,所以学生容易造成“思维定势”。为此,一定要引导学生仔细审题,这是解决运动变化问题的前提。
其次,应静中想动。这类问题所给的图形一般是运动前的原始图形,或者说点、线、图形等都是静止的。教学时,要以运动变化的眼光去看问题,抽象概括出运动过程中可能出现的几种可能,这对学生来说有一定的难度,因为学生习惯于在静止的图形中分析数量关系,所以一定要加以引导。如上例,抽象出整个运动过程出现的情况:(1)P在OA上,Q没有出发,形成的图形是等边三角形。(2)P在OA上,Q出发也在OA上,形成的图形是等腰梯形。(3)P在AB上,Q仍在OA上,形成的图形是六边形。(4)P、Q都在AB上,形成的图形是等腰梯形。(5)P、Q同时到达终点B。总之,要在静中想动,在动中寻找两个变量间的函数关系。
第三,应动中窥静。分析过运动时的几种情况后,要根据每种情况画出一个静止的图形,图形所代表的是一般情况,要体现用一般代替特殊的思想。如P、Q都在OA边上形成等腰梯形时,一般不要用P和A重合的那种特殊情况来表示,而是把特殊包含在一般之中,同时把所画图形标上与原图形相应的字母。
第四,确定自变量的取值范围。把整个运动过程用几个静止的图形表示后,要把每一种情况的自变量(时间)变化范围确定出来,这时往往要根据特殊位置去确定范围。如P出发了,Q没出发,即2s内,0≤x≤2;Q已出发,P仍在OA上时,2≤x≤4;P在AB上,Q在OA上时,6≤x≤8;P、Q在AB上,6≤x≤8。
最后,确定函数关系式。以静制动后,对于静止的情况都存在两个量间的等量关系,寻找等量关系运用的几何知识比较多。如周长公式、面积公式、图形的性质、三角函数的相似性等,特别是求多边形面积的问题。所以说,运动变化问题是融“综合性、实践性、探索性”于一体的,是从运动的角度考查学生的探究能力的。
首先,应认真读题。解决数学问题,读懂题意是非常关键的,尤其是这类问题文字叙述较长的题,往往读一遍两遍都无济于事。教学时,可以让学生静下心仔细阅读,必要时可在图形处作一些标记,如动点速度、运动方向等,特别需要注意的是:两个动点或两个运动图形是否是同时出发、各自运动速度是多少、运动方向怎样,当一点(或一个图形)运动到终点,另一点(图形)随之停止,还是继续运动,所求函数关系式是形成的阴影部分的周长还是面积?例如,菱形OABC的边长为4cm,∠B=60,动点P从O出发,以1cm/s的速度沿O→A→B路线运动,点P出发2s后,动点Q从O出发,在OA上以1cm/s的速度在AB上以2cm/s的速度沿O→A→B路线运动,过P、Q两点分别作对角线AC的平行线。设P点运动的时间为x秒,这两条平行线在菱形上截出的图形的周长为y,求y与x之间的函数关系。
此题是动点问题,有两个动点P、Q,P、Q不是同时出发,且动点Q不是匀速运动,但P、Q的运动路线是一样的。这时,要根据菱形边长及P、Q运动速度考虑在运动过程中Q点能否追上P点,点P、Q谁先到达终点。特别需要注意的是,所求问题是“周长”而不是“面积”。因为运动变化问题大多数涉及的都是图形面积,所以学生容易造成“思维定势”。为此,一定要引导学生仔细审题,这是解决运动变化问题的前提。
其次,应静中想动。这类问题所给的图形一般是运动前的原始图形,或者说点、线、图形等都是静止的。教学时,要以运动变化的眼光去看问题,抽象概括出运动过程中可能出现的几种可能,这对学生来说有一定的难度,因为学生习惯于在静止的图形中分析数量关系,所以一定要加以引导。如上例,抽象出整个运动过程出现的情况:(1)P在OA上,Q没有出发,形成的图形是等边三角形。(2)P在OA上,Q出发也在OA上,形成的图形是等腰梯形。(3)P在AB上,Q仍在OA上,形成的图形是六边形。(4)P、Q都在AB上,形成的图形是等腰梯形。(5)P、Q同时到达终点B。总之,要在静中想动,在动中寻找两个变量间的函数关系。
第三,应动中窥静。分析过运动时的几种情况后,要根据每种情况画出一个静止的图形,图形所代表的是一般情况,要体现用一般代替特殊的思想。如P、Q都在OA边上形成等腰梯形时,一般不要用P和A重合的那种特殊情况来表示,而是把特殊包含在一般之中,同时把所画图形标上与原图形相应的字母。
第四,确定自变量的取值范围。把整个运动过程用几个静止的图形表示后,要把每一种情况的自变量(时间)变化范围确定出来,这时往往要根据特殊位置去确定范围。如P出发了,Q没出发,即2s内,0≤x≤2;Q已出发,P仍在OA上时,2≤x≤4;P在AB上,Q在OA上时,6≤x≤8;P、Q在AB上,6≤x≤8。
最后,确定函数关系式。以静制动后,对于静止的情况都存在两个量间的等量关系,寻找等量关系运用的几何知识比较多。如周长公式、面积公式、图形的性质、三角函数的相似性等,特别是求多边形面积的问题。所以说,运动变化问题是融“综合性、实践性、探索性”于一体的,是从运动的角度考查学生的探究能力的。