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摘要：地震反应谱是进行结构抗震分析与设计的重要工具，反应谱的计算在反应谱法和时域逐步积分方法中有重要地位，引起了学者的重视和广泛研究。而对计算方法优劣的评定常取决于其计算的耗时、稳定性和精度等因素。本文基于数值算法的相关研究及应用现状，以MATLAB为平台，建立数值算法在不同影响因素下的三维图形，并结合理论进行对比分析。通过算例进一步分析验证，得出不同数值算法在实际计算中的表现，为工程实际计算中选取哪种积分算法更为合适提供参考。
关键词：地震反应谱；时域逐步积分算法；稳定性和精度；MATLAB
中图分类号：TU984 文献标识码：A 文章编号：
1、地震反应谱的基本假定
地震反应谱基于的三个基本假设[1]：
(1)结构物所处的地面假定为刚性面，认为体系各质点的运动是完全一致的。
(2)强震观测仪的记录为地面运动的过程。
(3)结构体系不能是双或多质点体系，必须是单质点体系；同时应是弹性体系状态。
这里所谓的单自由度体系结构，就是用无量刚的弹性杆件支承于地面上，将结构体
系中参与振动的质量用一点表示。同时，假定结构振动和地面运动不发生扭转，只是水平平移运动并且是单方向的。
2、基于MATLAB地震反应谱数值算法的稳定性和精度分析
2.1 概述
目前MATLAB地震反应谱数值理论算法主要有中心差分法[2]、Wilson-法、Houbolt法、线性加速度法及Newmark-法等，理论算法主要是以求解线性结构体系动力方程时所表现出的特性作为数值算法优劣的评价依据[3]，但是在实际工程运用中，人们常常凭借经验来判定选取较为合适的积分方法。
随着工程问题越来越复杂，在对大型复杂结构的结构动力反应分析更为复杂，要求高效率计算情况下获得较精确地计算结果。然而各计算方法的精度和稳定性对结构动力反应分析的发
————————————
作者简介：袁棪,（1984 — ），女，河南商丘人，助教，主要从事钢筋混凝土抗震和减震方面的研究。E-mail:skyuanyan@126.com
展引起了很大的影响和制约[4]。
2.2数值算法的稳定性分析
基于上述情况，本文对上述几种常用数值算法的稳定性方面通过图形进行比较分析，并结合算例进一步验证分析。对本文选取的几种数值积分算法，通过图形分析各积分算法的谱半径，验证积分格式实际算例与理论分析结果二者是否一致（图2.1）。
图2.1 逐步积分算法谱半径曲面图
从图2.1可得 ：常平均加速度法为无条件稳定的；对于Wilson-θ法有阻尼和无阻尼体系的稳定条件是相同的，即θ≥1.37时均能保证算法的无条件稳定性；而Newmark-β法中，控制参数β和γ的取值影响算法的精度与稳定性，一般取，0≤β≤1/4以保证算法的稳定。
2.3数值算法的精度分析
数值算法的精度可简单解释为其数值解与解析解的差值，这个差值的绝对值越小，则表明精度越高。其实，精度可更准确地解释为差分格式的数值积分方法的截断误差[5]。理论分析上述分析方法都具有二阶精度。为了进一步得出逐步积分方法在实际计算中的表现，下面通过算例进一步分析。
算例1：求取单自由度结构体系在简谐荷载下,各种算法1s内的反应（详见表2-1）。其中，取，，，初始条件为,。
基于上述分析可知，线加速度法的数值解与精确解基本一致，若取得比较小，则由分段线性逼近会使误差更小，更接近精确解；对于其它算法的区别不大，与精确解比较接近；而wilson-法则产生较大误差；为了满足稳定性各种数值积分算法时间步长不易取的过大，若时间步长选取过长就会由于数字舍入误差的存在使计算出的结果无意义。
算例2：仍采用上述算例，下面取时间步长分别为0.05、0.1、0.2，将各数值积分算法在0.2s、0.4s、0.6s、0.8s、1.0s的数值与精确解進行比较，并给出其相对误差（见表2-2）。可以发现随着时间步长的减小，各数值积分算法的计算精度都提高。
表2-1 不同算法1s内的内反应表2-2 不同积分算法的位移反应
2.4小结
基于上述分析验证得到：
1.有条件稳定的中心差分法计算结果精度高，且计算效率高；在运用线性加速度法时应该尽可能取较小的值；当θ≥1.37时，Wilson-θ法是无条件稳定的。但是，随着θ值的增大，其误差也显著增大。故此，在实际工程计算中，此算法的θ值不应取过大。
2.无阻尼情况下，中心差分法和线性加速度法计算结果与精确解相近，且计算结果较优。
参考文献
[1] 黄俊杰. 弹塑性时域反应谱和动力分析的时域反应谱法[D]. 上海：同济大学，2006.
[2] 汪梦甫，周锡元. 结构动力方程的更新精细积分法[J]. 力学学报，2004，36(2)：191-195.
[3] 李小军. 地震工程中动力方程求解的逐步积分方法[J]. 工程力学，1996，13 (2)：110-117.
[4] 刘祥庆，刘晶波，丁桦. 时域逐步积分算法稳定性与精度的对比分析[J]. 岩石力学与工程学报，2007，26(增1)：3000-3008.
[5] 翟婉明. 大型结构动力分析的Newmark显示算法[J]. 重庆交通学院学报，1991，10(2)：33-40.
关键词：地震反应谱；时域逐步积分算法；稳定性和精度；MATLAB
中图分类号：TU984 文献标识码：A 文章编号：
1、地震反应谱的基本假定
地震反应谱基于的三个基本假设[1]：
(1)结构物所处的地面假定为刚性面，认为体系各质点的运动是完全一致的。
(2)强震观测仪的记录为地面运动的过程。
(3)结构体系不能是双或多质点体系，必须是单质点体系；同时应是弹性体系状态。
这里所谓的单自由度体系结构，就是用无量刚的弹性杆件支承于地面上，将结构体
系中参与振动的质量用一点表示。同时，假定结构振动和地面运动不发生扭转，只是水平平移运动并且是单方向的。
2、基于MATLAB地震反应谱数值算法的稳定性和精度分析
2.1 概述
目前MATLAB地震反应谱数值理论算法主要有中心差分法[2]、Wilson-法、Houbolt法、线性加速度法及Newmark-法等，理论算法主要是以求解线性结构体系动力方程时所表现出的特性作为数值算法优劣的评价依据[3]，但是在实际工程运用中，人们常常凭借经验来判定选取较为合适的积分方法。
随着工程问题越来越复杂，在对大型复杂结构的结构动力反应分析更为复杂，要求高效率计算情况下获得较精确地计算结果。然而各计算方法的精度和稳定性对结构动力反应分析的发
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作者简介：袁棪,（1984 — ），女，河南商丘人，助教，主要从事钢筋混凝土抗震和减震方面的研究。E-mail:skyuanyan@126.com
展引起了很大的影响和制约[4]。
2.2数值算法的稳定性分析
基于上述情况，本文对上述几种常用数值算法的稳定性方面通过图形进行比较分析，并结合算例进一步验证分析。对本文选取的几种数值积分算法，通过图形分析各积分算法的谱半径，验证积分格式实际算例与理论分析结果二者是否一致（图2.1）。
图2.1 逐步积分算法谱半径曲面图
从图2.1可得 ：常平均加速度法为无条件稳定的；对于Wilson-θ法有阻尼和无阻尼体系的稳定条件是相同的，即θ≥1.37时均能保证算法的无条件稳定性；而Newmark-β法中，控制参数β和γ的取值影响算法的精度与稳定性，一般取，0≤β≤1/4以保证算法的稳定。
2.3数值算法的精度分析
数值算法的精度可简单解释为其数值解与解析解的差值，这个差值的绝对值越小，则表明精度越高。其实，精度可更准确地解释为差分格式的数值积分方法的截断误差[5]。理论分析上述分析方法都具有二阶精度。为了进一步得出逐步积分方法在实际计算中的表现，下面通过算例进一步分析。
算例1：求取单自由度结构体系在简谐荷载下,各种算法1s内的反应（详见表2-1）。其中，取，，，初始条件为,。
基于上述分析可知，线加速度法的数值解与精确解基本一致，若取得比较小，则由分段线性逼近会使误差更小，更接近精确解；对于其它算法的区别不大，与精确解比较接近；而wilson-法则产生较大误差；为了满足稳定性各种数值积分算法时间步长不易取的过大，若时间步长选取过长就会由于数字舍入误差的存在使计算出的结果无意义。
算例2：仍采用上述算例，下面取时间步长分别为0.05、0.1、0.2，将各数值积分算法在0.2s、0.4s、0.6s、0.8s、1.0s的数值与精确解進行比较，并给出其相对误差（见表2-2）。可以发现随着时间步长的减小，各数值积分算法的计算精度都提高。
表2-1 不同算法1s内的内反应表2-2 不同积分算法的位移反应
2.4小结
基于上述分析验证得到：
1.有条件稳定的中心差分法计算结果精度高，且计算效率高；在运用线性加速度法时应该尽可能取较小的值；当θ≥1.37时，Wilson-θ法是无条件稳定的。但是，随着θ值的增大，其误差也显著增大。故此，在实际工程计算中，此算法的θ值不应取过大。
2.无阻尼情况下，中心差分法和线性加速度法计算结果与精确解相近，且计算结果较优。
参考文献
[1] 黄俊杰. 弹塑性时域反应谱和动力分析的时域反应谱法[D]. 上海：同济大学，2006.
[2] 汪梦甫，周锡元. 结构动力方程的更新精细积分法[J]. 力学学报，2004，36(2)：191-195.
[3] 李小军. 地震工程中动力方程求解的逐步积分方法[J]. 工程力学，1996，13 (2)：110-117.
[4] 刘祥庆，刘晶波，丁桦. 时域逐步积分算法稳定性与精度的对比分析[J]. 岩石力学与工程学报，2007，26(增1)：3000-3008.
[5] 翟婉明. 大型结构动力分析的Newmark显示算法[J]. 重庆交通学院学报，1991，10(2)：33-40.